Eixo Órtico

Sejam P um ponto do plano do triângulo ABC e P_aP_bP_c os vértices do seu triângulo ceviano. H é o ortocentro. Determinemos os pontos A’, B’, C’ tais que:
- A’ a intersecção do lado BC com a perpendicular por A à recta HP_a;
- B’ a intersecção do lado AC com a perpendicular por B à recta HP_b;
- C’ a intersecção do lado BA com a perpendicular por C à recta HP_c.

Os pontos A´, B’, C’ são colineares e a recta que definem é perpendicular a HP.



[A.A.F.]

Se P for o baricentro G, tal recta é o “eixo órtico”




[A.A.F.]

Propriedade do eixo antiórtico

Tomemos um ponto qualquer P sobre o eixo antiórtico. e calculemos as distâncias de P a cada lado. Uma das distâncias é a soma das outras duas.



[A.A.F.]

Pode movimentar os pontos A,B, C e P para verificar a invariância do resultado.

Propriedade do eixo antiórtico

Para cada par de circunferências exinscritas, há uma homotetia positiva que transforma uma das circunferências na outra: o centro obtem-se pela intersecção das tangentes comuns exteriores; como podemos considerar três pares de circunferências, temos três centros de homotetia. Os três centros de homotetia situam-se sobre o eixo antiórtico.



[A.A.F.]

Propriedade do eixo antiórtico

As bissectrizes externas de um triângulo ABC passam pelos pontos definidores da polar trilinear do seu incentro ou eixo antiórtico. Ou seja, os pés das bissectrizes externas estão sobre o eixo antiórtico.



[A.A.F.]

Eixo antiórtico

O eixo antiórtico de um triângulo ABC é a polar trilinear do seu incentro.



[A.A.F.]

Propriedade da recta de Gergonne

De um triângulo ABC, consideremos os dois triângulos EaEbEc dos exincentros e MaMbMc dos pontos médios dos lados. Existe uma homologia que transforma um no outro, cujo eixo é a recta de Gergonne.




A.A.F.]

Recta de Gergonne

No triângulo ABC, Ge é o seu ponto de Gergonne. Se determinarmos a sua polar trilinear, obtemos a “recta de Gergonne”.



[A.A.F.]

Polar trilinear

Há uma homologia que transforma o triângulo ABC no seu triângulo ceviano PaPbPc: o centro é o ponto P, o eixo é a recta p; esta recta é a “polar trilinear” de P em relação a ABC; P é o “pólo trilinear” de p em relação a ABC.

Sejam Pa’ a intersecção de p com a recta BC , Pb’ a intersecção de p com a recta AC, Pc’ a intersecção de p com a recta AB. Verifica-se que:
Pa’ é conjugado harmónico de Pa em relação a B e C
Pb’ é conjugado harmónico de Pb em relação a A e C
Pc’ é conjugado harmónico de Pc em relação a A e B.




[A.A.F.]

Triângulos ceviano e anti-ceviano

No plano do triângulo ABC tomemos um ponto P não pertencente a nenhum dos lados. Seja Pa a intersecção de AP com o lado a, Pb a intersecção de AP com o lado b, Pc a intersecção de AP com o lado c. O triângulo PaPbPc é o “triângulo ceviano” do triângulo ABC em relação ao ponto P.
Se partirmos do triângulo PaPbPc, o triângulo ABC é o seu anticeviano; ou seja, o anticeviano de ABC é um triângulo em relação ao qual ABC é o triângulo ceviano.



[A.A.F.]

Outra propriedade do Ponto de Bevan com círculos

Propriedade:
No triângulo ABC, consideremos o triângulo I_aI_bI_c dos exincentros; por cada um dos seus vértices, tiremos perpendiculares às bissectrizes de ABC: obtém-se o triângulo A₁B₁C₁. Verifica-se que:
- o circuncentro do triângulo A₁B₁C₁ é o incentro I do triângulo ABC;
- o centro do círculo de nove pontos do triângulo A₁B₁C₁ é o ponto de Bevan do triângulo ABC.




[A.A.F.]

Ponto de Bevan, Circuncentro e Incentro

Propriedade:
De um triângulo qualquer ABC, são colineares o ponto de Bevan, o circuncentro e o incentro. O circuncentro é o ponto médio do segmento de extremos nos ponto de Bevan e incentro.



[A.A.F]

Ortocentro, pontos de Bevan e Spieker

Propriedade:
Os pontos de Bevan e Spieker são colineares com o ortocentro, sendo o ponto de Spieker médio do segmento que une o ponto de Bevan ao ortocentro.



[A.A.F.]

Outra determinação do Ponto de Bevan

O circuncentro do triângulo dos exincentros I_a, I_b e I_c é o ponto de Bevan, o que é o mesmo que dizer que as mediatrizes do triângulo dos exincentros se intersectam no ponto de Bevan.

Ponto de Bevan

No triângulo ABC, tomemos os três exincentros I_a, I_b, I_c. Por cada um deles tiremos perpendiculares respectivamente aos lados a, b, c. As três perpendiculares intersectam-se num ponto: “ponto de Bevan” Bv.



[A.A.F.]

Pontos Mediano,Incentro e de Lemoine

Propriedade:
O ponto mediano Md, o incentro I e o ponto simediano K (Lemoine) são colineares. [A.A.F.]

Pontos Mediano, Spieker e Ortocentro

Propriedade:
Num triângulo, os pontos mediano Md, de Spieker Sp e ortocentro H são colineares.


[A.A.F.]

Pontos Mediano, Gergonne e Baricentro

Propriedade:
Num triângulo, os pontos mediano Md, baricentro G e de Gergonne Ge são colineares. Verifica-se que d(G, Ge) = 2 d(G, Md).



[A.A.F.]

Ponto Mediano (?) (mitten punkt, middle point)

Dado o triângulo ABC, tomemos o triângulo I_aI_bI_c dos seus exincentros
Vamos determinar o ponto simediano de I_aI_bI_c; teremos, como se sabe, de determinar as simétricas das medianas em relação às bissectrizes. Como se pode verificar na construção feita em relação ao vértice I_b, a simétrica da mediana I_bM_b' passa pelo ponto médio M_b do lado b do triângulo ABC. Para obter o ponto semi-mediano de I_aI_bI_c basta, portanto, traçar as rectas I_aM_a,I_bM_b, I_cM_c. O ponto de intersecção destas três cevianas (uma por cada triângulo) é o chamado "ponto mediano" M_d.



[A.A.F.]

Pontos de Feuerbach e Euler

O ponto de Feuerbach é o ponto de reflexão de Euler da recta OI relativamente ao triângulo dos pontos de tangência do incirculo com o triângulo [ABC].
A recta OI é a recta de Euler do triângulo dos pontos de tangência do incírculo com o triângulo [ABC].


[M.I.H.B.S.]

Ponto de Euler

A recta e de Euler pode reflectir-se em cada um dos lados a=BC, b=CA e c=AB sendo as imagens de e por essa reflexão as retas e_a, e_b e e_c respectivamente. E estas têm um ponto comum designado por E - ponto de Euler.

Esta construção é, em certa medida e em parte, repetida na construção que se segue:

---

No triângulo [ABC], tomemos os centros A', B' e C' dos triângulos equiláteros construídos sobre os seus lados. As quatro circunferências definidas pelos ternos de pontos ABC, AB'C', BC'A' e CA'B' intersectam-se no ponto E de Euler.

Nota: As etapas 2 a 5 respondem ao enunciado acima. A etapa 6 chama-nos à atenção para o seguinte:
Se é verdade que as circunferências ABC, AB'C', BC'A' e CA'B' têm um ponto comum, então,
também têm um ponto comum as circunferências A'B'C', A'BC, B'CA e C'AB que é o ponto E' = F de Feuerbach.

Ponto de reflexão de Euler

Os circuncentro, ortocentro e baricentro estão alinhados sobre a recta de Euler. As transformadas da recta de Euler por reflexão relativamente a cada um dos lados do triângulo [ABC] (como eixos da reflexão) encontram-se num ponto do circuncírculo a que damos o nome de ponto de reflexão de Euler.



[A.A.F.]

Ponto de Fhurmann

Consideremos o triângulo ABC e o seu círculo circunscrito.
Tomemos sobre a circunferência A' ponto médio do arco BC, B' ponto médio do arco AC e C' ponto médio do arco AB.
Chama-se "triângulo de Fhurmann" ao triângulo A''B''C'', sendo A'' simétrico de A' em relação a BC, B'' simétrico de B' em relação a AC, C'' simétrico de A' em relação a AB,
O circuncírculo de A''B''C'' é o "círculo de Fhurmann" e o seu centro é o "ponto de Fhurmann.

[A.A.F.]

---

O segmento definido pelo incentro I e pelo ponto de Fhurmann Fh tem o centro N do círculo de nove pontos como ponto médio: Fh é simérico de I em relação a N.

O segmento definido pelo circuncentro O e pelo ponto de Fhurmann Fh tem o ponto Sp como ponto médio: Fh é simétrico de O em relação a Sp.


[A.A.F.]

Ponto de Schiffler

Seja I o centro do círculo inscrito a [ABC]. Definamos os seguintes triângulos: [AIB], [AIC], [BIC].
Schiffler provou que as rectas de Euler dos quatro triângulos têm um ponto comum; designámo-lo por Sch.



[A.A.F]


e – recta de Euler do triângulo [ABC]
e1 – recta de Euler do triângulo [AIB]
e2 – recta de Euler do triângulo [BIC]
e3 – recta de Euler do triângulo [AIC]

Ponto de Exeter

Foi na Phillips Exeter Academy em 1986 que "nasceu" mais este ponto. Obtem-se do seguinte modo:
- dado o triângulo [ABC], traça-se o seu circuncírculo;
- desenha-se o triângulo [A'B'C'] formado pelas tangentes ao circuncírculo nos pontos A, B, C (triângulo tangencial);
- traçam-se as medianas de [ABC] e sejam A'', B'', C'' as intersecções das medianas com o circuncírculo;
- as rectas A'A'', B'B'', C'C'' intersectam-se no "ponto de Exeter", Ex.



[A.A.F]

Como se verifica na construção, o ponto Ex é o centro de perspectiva dos triângulos [A'B'C'] e [A''B''C''].

Ponto de Spieker

Construamos o triângulo [M_aM_bM_c] cujos vértices são os pontos médios do triângulo dado [ABC]. O ponto Sp de Spieker é o ponto de intersecção das três bissectrizes internas do triângulo [M_aM_bM_c].



[A.A.F.]


Tracemos as circunferências exinscritas no triângulo ABC; sejam E_a, E_b, E_c os seus centros.
Estes três pontos definem uma circunferência. Esta circunferência define, com cada uma das exinscritas, um eixo radical; vamos designá-los por e_a, e_b, e_c.
O triângulo formado pelas rectas e_a, e_b, e_c é homotético do triângulo medial de [ABC]; o centro de homotetia é o ponto de Spiecker.



[A.A.F.]

Triângulo pedal de um dos pontos de Kenmotu

Tomemos o ponto Ke₁ de [ABC] e construamos o seu triângulo pedal [A’B’C’].
Um dos pontos de Vecten deste triângulo obtido com quadrados interiores é o próprio ponto Ke₁.
De modo análogo se podia fazer para o triângulo pedal de Ke₂.



[A.A.F]

Pontos de Kenmotu, Brocard, Beltrami e Schoute

No triângulo ABC, sejam Ke₁ e Ke₂ os pontos de Kenmotu e Br₁ e Br₂ os pontos de Brocard. Consideremos uma inversão relativamente ao circuncírculo; sejam K₁ e K₂ os inversos dos pontos de Kenmotu e Be₁ e Be₂ os inversos dos pontos de Brocard (designados por “pontos de Beltrami”).
Os pontos K₁, K₂, Be₁, Be₂ são os vértices de um quadrado. O ponto de intersecção das diagonais é o “ponto de Schoute”, Sch.


[A.A.F.]

Nota: A construção é instável quando os pontos Ke passam de dentro para fora do circuncírculo já que os pontos K da figura são os seus inversos e são calculados para uma das situações.

Pontos de Kenmotu, Lemoine e circuncentro

No triângulo ABC, sejam O o circuncentro e K o ponto de Lemoine. Estes dois pontos situam-se na recta definida pelos pontos Ke₁ e Ke₂.
Ke₁ e Ke₂ separam harmonicamente O e K.



[A.A.F.]

Pontos de Kenmotu

Tomemos as três cevianas do triângulo ABC que se intersectam em Vc1; as suas conjugadas isogonais intersectam-se num ponto Ke1, isogonal de Vc1 – “primeiro ponto de Kenmotu” . Procedendo de igual modo com Vc2 para determinar o seu isogonal, obtemos o “segundo ponto de Kenmotu”, Ke2. (Apenas se apresenta a construção de Ke1).


[A.A.F.]

Pontos de Vecten, Lemoine e outro

No triângulo ABC, os pontos K (de Lemoine) e N (centro do círculo de nove pontos) pertencem à recta definida pelos pontos de Vecten; os pontos Vc1 e Vc2 estão harmonicamente separados pelos pontos K e N. (Permitam-nos uma observação pessoal: não é espantosa esta tendência “gregária” dos pontos notáveis de um triângulo?! Há-de haver sempre vários na mesma recta ou na mesma circunferência, ou na mesma cónica e frequentemente a separarem-se em harmonia !).


[A.A.F.]

Segundo Ponto de Vecten

Tomemos agora os centos dos quadrados construídos interiormente sobre os lados a, b, c; sejam Q_a, Q_b, Q_c. As rectas AQ_a, BQ_b, CQ_c intersectam-se num ponto: segundo ponto de Vecten, Vc₂.
É o ponto X(486) do catálogo de Kimberling.


[A.A.F.]

Primeiro Ponto de Vecten

Dado um triângulo ABC, tomemos os centros dos quadrados construídos exteriormente sobre os lados a, b, c; sejam Pa, Pb, Pc. As rectas APa, BPb, CPc intersectam-se num ponto: primeiro ponto de Vecten, Vc₁.
É o ponto X(485) do catálogo ETC de Kimberling.


[A.A.F.]

Segundo triângulo de Brocard

Existe uma circunferência de diâmetro [OK] que passa por A₁, B₁, C₁: “círculo de Brocard”. Os três pontos A₁, B₁, C₁ definem o “primeiro triângulo de Brocard”.

As simedianas do triângulo intersectam-se em K, como vimos. E, portanto, intersectam o primeiro círculo de Brocard em K e em mais três pontos: A₂, B₂, C₂. Estes três pontos definem o “segundo triângulo de Brocard”. Estes três pontos também se situam sobre o círculo de Brocard.
O círculo de Brocard é, assim, o “círculo dos dez pontos”: O, K, Br₁, Br₂, A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂.



Os dois triângulos de Brocard são homológicos, por uma homologia de eixo e. O centro da homologia é a intersecção das rectas A₁A₂, B₁B₂ e C₁C₂ que é afinal o centro de gravidade do triângulo ABC.

Círculo e primeiro triângulo de Brocard

Projectemos o ponto K de Lemoine sobre as mediatrizes dos lados do triângulo: sejam A₁, B₁, C₁ essas projecções. Os triângulos [A₁BC], [B₁CA], [C₁AB] são isósceles (o vértice definido pelos lados iguais pertence à mediatriz da base) e a medida dos ângulos (iguais) da base é u.

Existe uma circunferência de diâmetro [OK] que passa por A₁, B1₁, C₁: “círculo de Brocard”. Os três pontos A₁, B₁, C₁ definem o “primeiro triângulo de Brocard”.



[A.A.F.]

Segundo Ponto de Brocard

Conhecido Br₁ - primeiro ponto de Brocard, ficamos a conhecer a medida do ângulo ∠ u. Assim podemos determinar a posição do
“segundo ponto de Brocard”, Br₂.
Um processo mais expedito para obter Br₂ é o seguinte: sabe-se que as projecções ortogonais dos pontos Br₁ e Br₂ sobre os lados do triãngulo são concíclicos; projectamos ortogonalmente Br₁ sobre a, b, c; a circunferência definida pelos três pontos intersecta a, b, c em outros três pontos que são as projecções de Br₂.



[A.A.F.]

Pontos de BROCARD

Brocard encontrou dois pontos referentes ao triângulo [ABC] (sejam Br₁ e Br₂), tais que verificam a seguinte propriedade:
São iguais os ângulos ∠ Br₁AB = ∠ Br₁BC =∠ Br₁CA = ∠ Br₂AC = ∠ Br₂CB = ∠ Br<sub>2vBA = u.

O ângulo ∠u é o “ângulo de Brocard”; a recta definida pelos pontos Br1 e Br2 é a “recta de Brocard”.


[A.A.F.]


Um dos modos de obter o “primeiro ponto de Brocard”, Br1, é o seguinte:
- tracemos três circunferências:
- de corda [AB]; centro na mediatriz de AB; tangente a BC em B;
- de corda [BC]; centro na mediatriz de BC; tangente a AC em C;
- de corda [CA]; centro na mediatriz de CA; tangente a AB em A.
O “primeiro ponto de Brocard” é a intersecção das três circunferências.</sub>

Ponto isogonal do ponto do infinito de uma recta

Determinar o ponto, R, isogonal do ponto do infinito da recta r relativamente ao triângulo ABC.
As isogonais das rectas paraleltas a r tiradas pelos vértice A, B e C, têm um ponto comum, R, que é o isogonal do ponto do infinito de r.

Triângulos inversamente semelhantes

Dado o triângulo ABC, sejam V₁ e V₂ os seus pontos de Fermat e W₁ e W₂ os pontos isodinâmicos. Os triângulos [V₁V₂W₁] e [V₁V₂W₂] são inversamente semelhantes. De facto, são iguais os ângulos ∠V₁V₂W₂ = ∠ W₁V₁V₂, etc



[A.A.F.]

Pontos Isodinâmicos e de Napoleão

Recordemos que para obter os pontos isogónicos (ou de Fermat), W₁ e W₂, construímos triângulos equiláteros sobre os lados do triângulo ABC exteriormente (interiormente) e unimos o ápice de cada um com o vértice oposto. Para obter os pontos de Napoleão, Np₁ e Np₂, unimos os centros dos triângulos externos (internos) com os vértices opostos.



[A. A. F.]

Verifica-se que:
- as rectas W₁Np₁ e W₂Np₂ se intersectam no ortocentro H;
- as rectas W₁Np₂ e W₂Np₁ se intersectam no ponto médio do segmento definido pelo circuncentro O e pelo centro do círculo de nove pontos N.

Outro processo de obter pontos isodinâmicos

Para obter os pontos isodinâmicos de um triângulo ABC, tomemos

• os simétricos de A relativamente a BC (A₂), de B relativamente a AC (B₂) e de C relativamente a AB (C₂);


• os ápices dos triângulos equiláteros construídos sobre os lados de ABC, externamente A₁, B₁ e C₁ ou internamente A_1*, B_1* e C_1*

As rectas A₁A2, B₁B₂ e C₁C₂ encontram-se num dos pontos isodinâmicos de ABC e as rectas A_1*A₂, B_1*B₂ e C_1*C₂ encontram-se no outro.




[A.A.F.]

Pontos Lemoine e Isodinâmicos

Determinar os pontos de Lemoine e Isodinâmico (primeiro) do triângulo [ABC].

Mais uma propriedade dos pontos isodinâmicos

As distâncias dos pontos isodinâmicos do triângulo ABC aos vértices são inversamente proporcionais aos comprimentos dos lados opostos.

Mais propriedades do ponto isodinâmico

Cada ponto isodinâmico forma com os três vértices do triângulo [ABC] um quadrângulo isodinâmico: é constante o produto dos comprimentos dos lados opostos.



O transformado por inversão do triângulo [ABC] em relação a um dos seus pontos isodinâmicos é um triângulo equilátero.



Dado um triângulo ABC e a sua circunferência circunscrita, tomemos para centro de uma projecção um dos pontos W isodinâmicos do triângulo. Nesta projecção, os vértices do triângulo ao serem projectados sobre o circuncírculo dão vértices de um triângulo equilátero.

PONTOS ISOGÓNICOS. PONTOS ISODINÂMICOS.

Vimos em artigos anteriores que:
construindo sobre os lados de um triângulo [ABC], externamente, três triângulos equiláteros [BCL], [CAM], [ABN], as rectas AL, BM, CN são concorrentes num ponto V (“primeiro ponto de Fermat” ou “ponto de Torricelli” ou "ponto de Viviani") e os segmentos AL, BM, CN são iguais;


construindo sobre os lados de um triângulo [ABC], internamente, três triângulos equiláteros [BCL’], [CAM’], [ABN’], as rectas AL’, BM’, CN’ são concorrentes num ponto V’ (“segundo ponto de Fermat”) e os segmentos AL’, BM’, CN’ são iguais.




Os pontos V e V’ dizem-se “pontos isogónicos” ou “pontos gémeos” ou “pontos de Fermat”.
Se determinarmos os pontos isogonais dos pontos isogónicos obtemos os “pontos isodinâmicos”, W e W’.
As distâncias de W e W’ aos vértices do triângulo são inversamente proporcionais aos lados do triângulo.
Os pontos W e W’ pertencem à recta OK e separam harmonicamente O e K.




Os três círculos de Apolónio relativos ao triângulo passam pelos pontos isodinâmicos.
Este pode ser, portanto, um processo mais expedito para obter W e W’. Recordamos a construção dos círculos de Apolónio: designando, como temos feito, os pés da bissectrizes internas por Ta, Tb, Tc e os pés das bissectrizes externas por Sa, Sb, Sc, os diâmetros dos círculos de Apolónio são TaSa, TbSb, TcSc.



Consideremos apenas os pontos V e W. Seja Va a projecção de V a partir de A sobre BC, Vb a projecção de V a partir de B sobre AC e Vc a projecção de V a partir de C sobre AB. Os pontos V e W são os focos de uma elipse que passa por Va, Vb, Vc.
O mesmo se passa com os pontos V’ e W’.

Alguns pontos isogonais especiais

O ponto isogonal do ortocentro H é o circuncentro O.

O incentro é isogonal de si próprio; o mesmo com os exincentros.

---

O ponto isogonal do ponto de Gergonne, designado por X(55) na Encyclopedia Triangle Centers de Kimberling, é o centro de homotetia interno entre o circuncírculo e o incírculo.
Na construção seguinte, deslocando o cursor do topo (n=1 a 8), pode ver cada uma das etapas com que pretendemos ilustrar as afirmações anteriores. No último passo - n=8 - pode deslocar ou variar as posições dos pontos K e L da circunferência circunscrita a que correspondem (por homotetia de centro X55) pontos da circunferência inscrita M e N.....


O ponto isogonal do ponto de Nagel, designado por X(56) na E T C de Kimberling, é o centro de homotetia ex/ul>terno entre o circuncírculo e o incírculo.

Mais propriedades do Ponto Lemoine

• Sobre os lados de um triângulo, e externamente, construamos três quadrados. As rectas a que pertencem os lados do quadrado paralelos aos lados do triângulo formam um triângulo [A’B’C’]. As rectas AA’, BB’, CC’ intersectam-se em K.
  
  Na construção que se segue, pode acompanhar as etapas deste novo processo de determinar o ponto Lemoine de um dado triângulo Δ[ABC].

  ---

  
  
  
  Vale a pena demonstrar que esse ponto K, assim obtido, é o Ponto Lemoine do triângulo Δ[ABC].



• O triângulo [ABC] é homológico do triângulo formado pelas tangentes nos vértices ao circuncírculo ; K é o centro de homologia; o eixo é a polar de K em relação ao circuncírculo (logo é perpendicular a OK).



Ponto de Lemoine

Consideremos as três medianas de um triângulo: a sua interseção é o baricentro G. As três simedianas correspondentes intersectam-se no chamado “ponto de Lemoine”. O ponto isogonal do baricentro G é, assim, o ponto K de Lemoine que designaremos por K.



Como se pode ver na construção que se segue, o ponto de Lemoine é a intersecção de três rectas definidas pelos pontos médios dos lados de um triângulo e pelos pontos médios das correspondentes alturas.

Assim conhecemos uma outra forma de determinar o ponto de Lemoine de um triângulo ABC como ponto de intersecção dos segmentos que unem os pontos M_a, M_b e M_c médios, respectivamente dos lados a=BC, b=CA e c=AB e os pontos Mh_a, Mh_b e Mh_c médios das respectivas alturas tiradas por A, B, C, a saber AH_a, BH_b e CH_c.

---

Algumas propriedades do Ponto de Lemoine:

---

• As três cevianas que concorrem em K dividem cada lado do triângulo em partes proporcionais aos quadrados dos outros dois lados.


• A soma dos quadrados das distâncias de K aos lados do triângulo é um mínimo.


• O lugar dos pontos para os quais é constante a soma dos quadrados das distâncias aos lados do triângulo é um elipse de centro K.


• As distâncias de K aos lados são proporcionais aos comprimentos dos lados.





• As projecções ortogonais de K sobre os lados são vértices de um triângulo [KaKbKc] cujo baricentro é K.




[KaKbKc] é o triângulo inscrito em [ABC] cuja soma dos quadrados dos lados é mínima.

Rectas e pontos isogonais. Simedianas.

Duas rectas são “isogonais” se passam pelo mesmo vértice e são simétricas em relação à bissectriz do ângulo interno com esse vértice. Se duas rectas são isogonais, as distâncias dos pontos de uma aos lados do triângulo concorrentes com ele são inversamente proporcionais às distâncias análogas dos pontos da outra.
As rectas isogonais das medianas dizem-se “simedianas”.




As três cevianas que passam por um ponto M, têm por isogonais três rectas que passam por um ponto M’; os pontos M e M’ dizem-se isogonais ou inversos. As suas distâncias aos lados do triângulo são, entre si, inversamente proporcionais. De facto designando M_a, M_b, M_c as projecções ortogonais de M respectivamente sobre os lados a, b e c (analogamente para M', M'_a, M'_b, M'_c), obtemos |MM_b|.|M'M'_b|=|MM_c|.|M'M'_c|, como pode confirmar na construção que se segue:




As projecções ortogonais de de dois pontos isogonais sobre os lados do triângulo são seis pontos concíclicos; o ponto médio do segmento [MM’] é o centro desse círculo.

Recíproco do Ortocentro

Ao recíproco do Ortocentro damos o nome de Retrocentro. Assim:



Interessante é verificar que o Retrocentro e os primeiros pontos de Gergonne e de Nagel (recíprocos) são colineares. Como pode ver na construção seguinte:

Pontos recíprocos

Tomemos três cevianas do triângulo [ABC] que passam por um ponto P. Verifica-se que as suas conjugadas isotómicas se intersectam num ponto P’. Os pontos P e P´dizem-se “pontos recíprocos”.

---

Exerício interactivo: Determinar o primeiro ponto de Gergonne do triângulo [ABC] e o seu recíproco.





Determinado o ponto de Gergonne e o seu recíproco, verifique que esse recíproco coincide com o ponto de Nagel determinando o ponto de Nagel. Não é curioso? Em cada lado do triângulo, os pontos de tangência do incírculo e do exincírculo são simétricos relativamente ao ponto médio do lado.