Pontuais projetivas sobre uma mesma reta. Pontos limite.

Na construção que se segue, temos uma projetividade entre pontuais definida por 3 pares de pontos correspondentes A→A', B→B' e C→C' todos sobre uma mesma base.
No caso presente, tomamos um ponto V que não pertence a r e sobre uma reta r₀ paralela a r, tomamos os pontos A₀=A'V.r₀, B₀=B'V.r₀ e C₀=C'V.r₀ (perspetividade entre as pontuais A'B'C' e A₀B₀C₀ ).
A projetividade é composta da perspetividade A'B'C'→^V→ A₀B₀C₀) com a projetividade ABC → A₀B₀C₀ de eixo definido pelas interseções A₀B com AB₀ e A₀C com AC₀. A imagem de um ponto D é obtida do seguinte modo: A₀D interseta o eixo num ponto que com A define uma reta que interseta r₀ em D₀. Finalmente: D'=r.VD₀. Deslocando D sobre r, pode verificar que, pela projetividade, o ponto J é o original do ponto do infinito de r e o ponto K' é a imagem do ponto no infinito de r pela mesma projetividade. Estes pontos tomam o nome de pontos limite para a projetividade ABC→→A'B'C' sobre r.

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• F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
• Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
• H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
• C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

Projetividade entre pontuais de uma reta ou de um círculo.

Na construção que se segue, temos uma projetividade entre pontuais definida por 3 pares de pontos correspondentes A→A', B→B' e C→C' todos sobre uma mesma base r. Isso está feito tomando dois feixes perspetivos V.ABC e V'.A'B'C', de tal modo que os pontos VA.V'A'=A'', VB.V'B'=B'' e VC.V'C'=C'' estão sobre uma mesma reta r''. Para determinar a imagem de um ponto qualquer D por essa projetividade, toma-se D''=VD.r'' e vem D'=V'D''.r
Esta projetividade é composta das duas perspetividades centradas em V e V'.
Deslocando D sobre r, pode verificar que há dois pontos de r que são imagens de si mesmos por essa projetividade, a saber o ponto P de intersecção da reta VV' com r e o ponto Q de intersecção de r'' com r (poderia este último ser o ponto do infinito de r). Não há outros pontos duplos.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Fizemos uma construção em tudo similar à anterior para definir uma projetividade entre duas pontuais ABC... e A'B'C'... de uma mesma base circular.
Por razões que se prendem com a boa definição de correspondência um a um, para centros dos feixes perspetivos tomámos dois pontos V e V' sobre a circunferência: As retas correspondentes dos feixes intersetam-se em pontos de r'': A''= VA.V'A', B''=VB.V'B' e C''=VC.V'C'.
Para determinar a imagem de um ponto D qualquer da circunferência, tomo a reta VD e D''=VD.r'', para determinar D' como intersecção de V'D''com a circunferência.
Deslocando D sobre a circunferência poderá verificar que os pontos de intersecção da circunferência com r'' são imagens de si mesmos para essa projetividade. E não há outros pontos duplos para tal projetividade. Fácil é verificar, com esta construção, que podemos determinar projetividades (entre pontuais sobre uma mesma base circular) com 0, 1 ou 2 pontos duplos (conforme r'' corte a circunferência em 0, 1 ou 2 pontos).

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

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Da pontual retilínea à pontual circular.

Chamámos pontuais ou fileiras de primeira categoria ou ordem a conjuntos de pontos colineares, isto é, pontos de uma mesma reta. À reta dos pontos da pontual chamámos base da pontual. Por ser uma reta a base das pontuais estudadas, usámos frequentemente o nome de pontual retilínea.
Mais recentemente, levantámos a necessidade de designar conjuntos de pontos de base cónica. Notámos que Izquierdo, por exemplo, classifica-as como pontuais de segunda categoria. E que a todas elas chama pontuais elementares (de base retilínea ou base cónica)
Definições, propriedades e processos das transformações projetivas entre pontuais podem ser estendidas da primeira para a segunda ordem.
Nesta entrada, apresentamos a construção da correspondência um para um entre os pontos de uma reta (pontual retilínea) e os pontos de uma circunferência (a palavra círculo é usada muitas vezes com o mesmo sentido e, por isso, pontual circular)
Para estabelecer essa correspondência entre os pontos de um círculo e de uma reta r, tomamos o ponto P do círculo em que a tangente respetiva interseta r no seu ponto do infinito e o feixe elementar de primeira ordem centrado em P {a, b, c, d, ...}. A reta a que interseta a circunferência em A, interseta a reta r em A' correspondente... E a reta p que interseta o círculo em P, interseta a reta r no seu ponto do infinito.

da antiga dinâmica:Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Na figura, pode fazer variar as retas do feixe centrado em P.
Para esta correspondência um a um, para centro do feixe da projeção não podemos tomar, como é óbvio, um ponto P exterior nem interior ao círculo.
Por este processo (ou análogo) aqui descrito, podemos sempre fazer corresponder a cada ponto de uma pontual retilínea um ponto de pontual cónica.

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AVISO DE ACIDENTE

Nesta última semana, por algum motivo, os originais corrigidos das publicações (entradas) desapareceram. Estamos a tentar recuperar e repor na medida das nossas possibilidades. Os cuidados de Aurélio Fernandes dão-nos provas de que as reposições são documentos provisórios cheios de gralhas e imprecisões. De facto, nós corrigíamos diretamente sobre o servidor.... de onde deixámos voar os papéis. Mantemos as portas abertas e as publicações (indecentes) porque assim podem ver as construções feitas e isso é o que nos importa mais.
De resto, podemos pedir desculpa pelos inconvenientes e incómodos de alguns leitores, mas..... isto é um blog e já vivemos vários períodos de servidores que fecharam sem aviso, construções degradadas, atualizações de aplicações (java, jar) que afastaram da nossa vista construções feitas, etc. Amadores!!! Pois.
Até logo.
Entretanto, procuramos o que falta e tentamos rever e corrigir as versões dos textos visíveis.
Os (ir)responsáveis (falando geometricamente :-) e não só),
Arsélio, Aurélio e Mariana.

Projetividade entre pontuais. Ponto duplo e pontos limite de uma homografia

Tomemos duas pontuais {A_i ∈ a: i=1, 2, 3,...} e {B_i ∈ b: i=1, 2, 3,...} com a≠b. Uma projetividade entre as duas pontuais fica bem definida por três pares de pontos correspondentes, no caso, (A₁, B₁), (A₂, B₂) e (A₃, B₃). A partir destes dados, tomando dois feixes centrados em
A₁: A₁B₁, A₁B₂, A₁B₃, e
em B₁: B₁A₁, B₁A₂, B₁A₃,
fica determinado o eixo da projetividade a passar pelos pontos (12)=A₁B₂.B₁A₂ e (13)= (12)=A₁B₃.B₁A₃. Uma projetividade é composta de duas perspetividades, precisamente A_i → (1i)= A_iB₁.[(12)(13)]→ B_i=b.[(1i)A₁.
Assim se obtém o transformado de A_∞, K de b: tira-se por B₁ uma reta (paralela) que intersete a no seu ponto do infinito e interseta o eixo de projetividade no ponto ∞1. A reta A₁∞1 interseta b em K. K é um ponto limite da homografia (neste caso, projetividade), imagem de A_∞.
Analogamente, vimos que J=(1∞)B₁.a, em que A₁(1∞) é paralela a b, é um ponto limite da projetividade por ser o original de B_∞.
O ponto a.b é o único ponto duplo dessa homografia.

da antiga dinâmica:
Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Na figura, pode fazer variar os pontos visíveis.

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Feixes perspetivos. Retas duplas de uma homografia.

Tomemos uma perspetividade entre dois feixes {a_i: i=1, 2, 3,..} e {b_i: i=1, 2, 3,..}, (sendo A∈ a_i e B∈ b_i, ∀ i; A≠B ), projetivos. Sabemos que fica determinada se os pontos a_i.b_i (i=1,2,3) forem colineares.
No caso da nossa construção ∃ r tal que a₁.b₁, a₂.b₂, a₃.b₃ ∈ r.
A imagem de qualquer reta do feixe centrado em A, a_i, é uma reta b_i do feixe centrado em B, obtida como a reta a passar por B e por a_i.r
Dizemos que AB é uma reta dupla já que é simultaneamente original e imagem para a homografia (no caso, perspetividade entre feixes).
A reta a' do feixe centrado em A interseta r no seu ponto do infinito e a sua imagem para a homografia considerada só pode ser b' que interseta r no seu ponto do infinito.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Na figura, pode fazer variar os pontos visíveis.

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Pontuais perspetivas. Ponto duplo e ponto limite de uma homografia.

Nesta entrada rememoramos a definição e a determinação de elementos homólogos por uma homografia (perspetividade para começar). Para exemplo, tomamos uma perspetividade entre duas pontuais {A_i ∈ a : i=1, 2, 3,..} e {B_i ∈ b : i=1, 2, 3,..}, sendo a≠b ou de bases diferentes, projetivas. Sabemos que fica determinada se as retas A_iB_i (i=1,2,3) forem concorrentes.
No caso da nossa construção A₁B₁.A₂B₂.A₃B₃={V}.
A imagem de qualquer ponto de a, A_i, é um ponto B_i de b obtido como interseção de V.A_i com b.
Chamamos ainda a atenção para no caso de a e b serem concorrentes, haver um ponto de a que é imagem de si próprio. Chamamos A=B=a.b e a reta VA (do feixe por V) interseta b em B=A. Diz-se que é um ponto duplo já que é simultaneamente original e imagem para essa perspetividade. É o único ponto duplo para essa perspetividade.
Aproveitamos a nossa construção para determinar a imagem do ponto do infinito de a que é a interseção da reta VA_∞ com a reta b, VA_∞.b=A'_∞. Por essa perspetividade, o ponto B'_∞=VB_∞.a é o original do ponto do infinito de b, B_∞.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Na figura, pode fazer variar os pontos visíveis.
Aos pontos correspondentes por homografia aos pontos do infinito de cada pontual chamamos pontos limite dessa homografia. Aos pontos que são imagens de si mesmos por uma homografia chamamos pontos duplos dessa homografia.

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Homografias e cónicas

As definições de projetividade eunciadas na entrada anterior são todas equivalentes.
Trabalhámos com projetividades definidas por quatro elementos e seus transformados.
Especialmente trabalhámos com projetividades entre pontuais e entre feixes. A projetividade definida entre duas pontuais {A, B, C, D} e {A', B', C', D'} sobre uma mesma base (reta), pode ter no máximo dois pontos duplos. Se as pontuais projetivas estiverem sobre retas diferentes não poderão ter mais que um ponto duplo que, caso exista, será o ponto comum às duas pontuais, ou seja, será o ponto de interseção das retas base das pontuais projetivas. Também se demonstrou que, dados três pares de pontos correspondentes A e A', B e B, C e C' de duas pontuais projetivas, podemos sempre determinar uma cadeia de projeções e secções para relacionar uma com outra pontual e que qualquer que seja a cadeia utilizada obtemos sempre a mesma projetividade (Teorema Fundamental da Projetividade),o que equivale a dizer que uma projetividade entre pontuais retilíneas fica bem determinada por três pares de pontos correspondentes ou homólogos.
É claro que estes resultados se aplicam tanto a pontuais retilíneas projetivas como a feixes projetivos. À pontual ou conjunto de pontos colineares (sobre uma reta ou base) e ao feixe de retas concorrentes (a passar por um mesmo ponto ou centro) Izquierdo chama formas de primeira categoria ou ordem
Claro que, após todo o trabalho com projetividades usando formas de primeira categoria, acabámos por chegar a definições de outras formas: Por exemplo, chegamos à noção de cónica como lugares geométricos dos pontos de interseção das retas correspondentes de feixes projetivos não perspetivos, como pode ver-se na entrada Definição projetiva de cónicas, onde se pode ver que pontuais perspetivas definem um ponto (o centro da perspetividade que é o centro da projeção ou centro do feixe de que as duas pontuais são secções) e que as retas de dois feixes perspetivos se intersetam em pontos sobre uma reta ou que dois feixes perspetivos definem uma reta.

Nessa entrada, são apresentadas construções de pontos e retas como lugares geométricos de pontos e retas relaciondas por perspetividade, e de cónica como lugares geométricos de pontos e retas relacionados por projetividade não perspetiva.
Retomamos a construção da definição de cónicas usando projetividades
Na figura, pode fazer variar os pontos visíveis para verificar a variação das diversas razões.
Tomaram-se duas pontuais {A_i: i=1, 2, 3, 4,...} (de a) e {B_i: 1, 2, 3, 4,...} (de b), projetivas não perspetivas, sendo para cada i, A_i → B_i. Cada uma das retas A_iB_i é tangente a uma cónica num dos seus pontos.
Tomámos também os feixes de retas - {a_i =AA_i: i=1, 2, 3, 4,...} (de centro A) e {b_i =BB_i: i=1, 2, 3, 4,...} (de centro B) - projetivos não perspetivos sendo para cada i, a_i→b_i. O lugar geométrico dos pontos a_i.b_i é uma cónica.

Chamamos a atenção para o facto de termos usado em todos os casos, projetividades que relacionam pontuais com pontuais (pontos para pontos) e feixes com feixes (retas com retas), isto é, os elementos homólogos ou correspondentes são da mesma espécie. Estas projetividades chamam-se homografias.
Há projetividades que não são homografias: já estudámos as correlações que fazem corresponder pontos a retas ou retas a pontos ...

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Projetividade e razão dupla

Já abordámos em diversas circunstâncias e por diversos motivos as razões a que chamámos razões cruzadas (cross-ratio) e mais recentemente razões duplas (na terminaologia de Izquierdo) para cada quaterno de pontos colineares que representámos por (A,B;C,D) ou (ABCD), tendo o cuidado de escolher um sentido sobre a (reta dos 4 pontos), por exemplo de A para B.

Verificámos também em várias ocasiões que, sempre que há uma projetividade que transforma pontos A, B, C, D de a respetivamente em A', B', C', D' de a', então (ABCD)=(A'B'C'D'). Verificámos ainda que o mesmo acontece para razões duplas de feixes de retas projetivos.

Na construção que se segue, repetimos a construção relativa à noção de projetividade (como sequência de projeções e secções) definida por Coxeter, apresentada em Projetividade, de modo a ilustrar a invariância da razão cruzada ou dupla de dois quaternos de pontos colineares projetivos.

Pode verificar-se ainda que cada razão simples (ABC) pode não manter-se invariante por projetividade enquanto que a razão dupla (razão de razões simples) se mantém invariante.




Na figura, pode fazer variar os pontos visíveis para verificar a variação das diversas razões.

Izquierdo, a (ABCD), chama razão dupla ou anarmónica quando (ABCD)≠-1 e razão harmónica quando (ABCD)=-1. Do mesmo modo, chama quaterno anarmónico ou harmónico conforme o valor da razão dupla respetiva. Como vimos a razão dupla de um feixe de 4 retas tem o mesmo valor de qualquer pontual que seja obtida por secção determinada por uma reta que não passe pelo centro ou vértice do feixe.

Conforme Izquierdo, Projetividade pode ser definida como correspondência um a um, que transformando pontos em pontos e retas em retas, mantém invariantes as razões duplas de pontuais ou feixes, i.e, duas formas de primeira categoria são projetivas se estão relacionadas harmónica ou anarmonicamente ou podem deduzir-se por projeções ou secções. Cita, a propósito,
Chasles: Duas formas de primeira categoria (pontuais ou feixes) são projetivas se estão relacionadas anarmonicamente,
von Staudt: duas formas de primeira categoria são projetivas se estão relacionadas harmonicamente e
Poncelet: duas formas de primeira categoria são projetivas se podem obter-se uma da outra por meio de projeções e secções

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Ângulos de retas e cónicas

Na segunda, tomamos uma cónica e dois feixes centrados em dois pontos da cónica a intersetar-se em outros 4 pontos da cónica que corresponde a fazer a cruzar retas tiradas de dois pontos para os outros quatro (ver definição de cónica por Steiner ou construção de Braikenbridge-McLaurin). Sabemos que os pontos da cónica são intersecções de retas correspondentes em feixes projetivos. Verificamos que são iguais as razões duplas dos dois feixes projetivos assim definidos.

Na figura (actual, não) podíamos fazer variar os pontos visíveis sobre a cónica. Mas sempre podemos fazer outra para agora: br>
Fica assim respondida a pergunta
Será que esta congruência de ângulos para pares de retas correspondentes em feixes projetivos que definem a cónica circunferência, acontece para todas as cónicas?
deixada na entrada Feixes projetivos no círculo e congruência de ângulos.
A resposta é dada pela observação simples das figuras. O que se mantém é a razão dupla das retas dos feixes que é uma razão dupla (razão de razões dos senos dos ângulos formados por pares de retas).

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F. I. Asensi, Geometria Desscriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
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Dois feixes projetivos têm a mesma razão dupla

Feixes perspetivos têm a mesma razão dupla.

Na anterior entrada vimos que a razão dupla (abcd) de quatro retas de um feixe é igual à razão dupla (ABCD) de uma pontual obtida como secção por uma reta r do feixe (A = a.r, B = b.r, C = c.r, D = d.r)
A figura ilustra que são iguais as razões duplas de dois feixes perspetivos (abcd) =(a'b'c'd') que são tais que as retas correspondentes se intersetam em pontos de uma mesma reta.
Seja a.b.c.d={V}, a'.b'.c'.d'={V'} e r que não passe por V nem por V'. Se A=r.a=r.a', B=r.b=r.b', C=r.c=r.c' e D=r.d=r.d', então (abcd)=(a'b'c'd')=(ABCD).

Na figura, pode fazer variar a,b,c,d, r, A,B,C,D. Podia!

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Razão dupla de quatro retas de um feixe.

Tal como fizemos com a definição de razão dupla de quatro pontos colineares, definiremos razão dupla de 4 retas concorrentes num ponto. Lembramos que    (ABCD)= (ACD)/(BCD).
Como na entrada anterior definimos    (abc)= sen(ab)/sen(ac),       para razão dupla das quatro retas  a, b, c, d  concorrentes em    V     tomaremos    (abcd)=(acd)/(bcd)    =     (sen(ac)/sen(ad))  /   (sen(bc)/sen(bd)).
Na construção abaixo, consideramos um ponto    V     para centro do feixe de retas    a, b, c, d,     um sentido representado no arco vermelho, duas retas    r     e    r'     e respetivas pontuais obtidas por secção do feixe    (A=a.r, ..., A'=a.r', ...).



Pode fazer variar   a,  b, c, d,  r  e  r'  na figura.

Ficam ilustrados vários resultados:

1. quando a=b,  (abcd)=1; quando a=c,  (abcd)=0 ; quando a=d,  (abcd)=±∞
2. (abcd)=(ABCD),  já que, como vimos antes,  (acd).(VC/VD)=(ACD)  e  (bcd).(VC/VD)=(BCD)  e, dividindo ordenadamente,  (acd)/(bcd)=(ACD)/(BCD)
3. (ABCD) = (A'B'C'D') = (abcd)
4. ....

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Razão simples de 3 retas de um feixe.

Definimos recentemente a razão simples uma pontual de três pontos  A, B, C  incidentes numa reta  r=ABC  tendo escolhido uma orientação (positiva) :  (ABC) = AB/AC  (segmentos orientados da mesma direção  r,  no caso  AB=B-A  é positivo se  A  está à esquerda de  B).
Dualmente, terá sentido falar de razão simples de um feixe de três retas  a, b, c  incidentes num ponto comum  V=a.b.c  tendo escolhido uma orientação em torno desse ponto?
Na construção que se segue, temos um ponto  V, um sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, três retas  a, b, c  incidentes em  V.
Definimos a razão simples de  a, b, c  do seguinte modo:
 (abc)=sen(ab)/sen(ac), em que   (ab)   e  (ac)   são ângulos orientados de duas retas, sempre que   <)ab   está entre   0º  e  180º;  sen(ab) ≥ 0  e sempre que está entre  180º  e  360º,  sen(ab) ≤ 0  o que dá para efeitos da razão simples os mesmos valores caso considerássemos   <)ab   entre   -180º  e  0º.
 (abc) = sen(ab)/sen(ac)  tem comportamento semelhantes a  

1.  (ABC) = AB/AC:
2. quando  a = b,  (abc) = 0
3. quando  a = c,  (abc) = ±∞
4. quando  a<  está entre   b   e  c,  (abc)<0
5. ...

Na construção abaixo, também considerámos uma secção por uma reta  r  não incidente em   V:   A = a.r,  B = b.r,  C = c.r, podendo constatar que a razão simples  (ABC)  não é igual à razão simples  (abc)  e que  (ABC)  varia com  r.



Pode fazer variar  a, b, c  e  r  na figura.

Ao fundo da construção estão ilustrados os resultados da lei dos senos e permitem estudar a relação entre  (abc)  e  (ABC):
Ilustra-se na figura que  AB  / sen(ab) = VB / sen(ar).
Do mesmo modo será  AC / sen(ac) = VC / sen(ar)  e, em consequência,  sen(ab) = VB  e  AC / sen(ac) = VC  e  (AB / AC) = (sen(ab) / sen(ac)) . (VB / VC).
Conclui-se assim que:
(ABC) = (abc) . (VB / VC)
(ABC) = (abc)  sse   VB =VC. (ABC) = (abc)  sse   VB =VC.

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Razão dupla de 4 pontos colineares. Abcissa projetiva

Na última entrada, definimos razão simples de três pontos colineares sobre uma dada reta: (ABC)=AB/AC, sendo AB e BC segmentos orientados, e tomámos como abcissa (baricêntrica) de P relativamente a dois pontos fixos A e B a razão simples λ=(PAB)=PA/PB.
Ao tomarmos quatro pontos colineares A,B,C,D, consideramos a razão das razões simples de cada um dos dois primeiros A e B relativamente aos outros dois C e D, a que chamamos razão dupla: k=(ABCD)=(ACD)/(BCD)= (AC/AD):(BC/BD) Esta razão já foi abordada em várias ocasiões, chamando-lhe razão cruzada (a,b;c,d), por exemplo, tendo verificado que se mantém invariante por transformação projetiva. Aqui estamos a seguir Izquierdo Asensi para a introduzir como razão (dupla ou anarmónica) de razões simples. Já abordámos antes, que a um conjunto de quatro pontos {A, B, C, D} correspondem 24 quaternos ordenados distintos, mas só seis valores distintos para as razões duplas ou cruzadas associadas.
À semelhança do que fizemos para a razão simples, apresentamos uma construção com uma reta r e sobre ela três pontos A, B, C fixos e um ponto P variável, para "ver" que a cada posição X do ponto P corresponde um só valor da razão k=(XABC) e que a cada valor de k corresponde uma só posição X de P.
Assim, ao valor k associado à posição de P relativamente a A, B e C é natural que chamemos abcissa projetiva de P, chamando a A, B e C pontos de referência: unidade, origem e limite, por serem os pontos para os quais k é (AABC)=1, (BABC)=0 e (CABC)=∞ como pode "ver" deslocando P sobre a reta r

Pode deslocar  P  manualmente (ou usando o controlador da animação).

Ao abrir esta entrada, o ponto  P  está numa posição tal que  (PABC)=-1.  Estas posições relativas e a respetiva razão foram sempre associadas à palavra harmónica. O primeiro par  (P,A)  separa ou divide harmonicamente o segundo par  (B,C).

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Razão simples de 3 pontos. Abcissa baricêntrica.

Em muitas entradas ao longo dos anos abordámos problemas com razões de segmentos e coordenadas. Do estudo de geometria projetiva que nos ocupou nos últimos meses, nas entradas de Julho de 2012, estudámos as razões cruzadas, os cálculos com abcissas ilustrando as relações entre as construções euclideanas e projetivas, a invariância de razões pelas transformações projetivas; pontos e retas do infinito. São elas:

• Representações projetivamente corretas (paralelismo). Uma transformação projetiva para ilustrar a representação. Representações de (AA)(BB)(CH∞) e notas a propósito
• Pontual de abcissas inteiras. Adição. Mutliplicação. Divisão
• Divisão. Subtração
• Razões de diferenças. Razão cruzada
• Invariância da razão cruzada
• Invariância da razão quadrada por projetividade. Da relação harmónica à respetiva razão harmónica. Duas determinações da razão cruzada de 4 posições harmónicas

Servimo-nos de abcissas na reta orientada (confundindo pontos com as suas abcissas e tomando pontos para representar a origem ou a abcissa 0, e pontos da reta para representar pontos no inifinito, etc) e/ou distâncias... Não nos referimos propriamente a coordenadas (para além das abcissas primordiais em que a cada ponto fazíamos corresponder um só número real).
Nesta entrada, voltamos aos pontos da reta orientada para, de outro modo, associar pontos a números (suas coordenadas na reta) e dar novos sentidos ao que chamamos pontos no infinito.
Comecemos por tomar uma reta r e consideremos o sentido da esquerda para a direita (como se mostra na figura com a seta a verde +) e sobre ela três pontos A, B, P. Pensemos nas diferenças A-B=BA (abcissa de A subtraída da abcissa de B num mesmo referencial qualquer de r) e B-A=AB. Claro que, nessas condições,

1. quando escrevemos A-B estamos a pensar num número positivo quando A está à direita de B e num número negativo quando A está à esquerda de B
2. BA+AB=(A-B)+(B-A)=(B-A)+(A-B)=AB+BA=0.

Se tivermos três pontos A, B, C podemos considerar várias diferenças. A-B, B-A, A-C, C-A, B-C e C-B.
E toma sentido pensar em razões entre as diferenças umas mais interessantes que outras
(A-B)/(B-A)=(A-C)/(C-A)=(B-C)/(C-B)=-1 ou, por exemplo,
(A-B)/(A-C), (B-A)/(B-C) ou (C-A)/(C-B) que designamos por razões simples de 3 pontos e representamos por (ABC), (BAC) ou (CAB) respetivamente. Na construção a seguir, temos uma reta r, um sentido + e três pontos A, B, P sobre r.
E, supondo A e B fixos, debruçamo-nos sobre a razão (PAB) simples dos 3 pontos a que chamamos λ, (P-A)/(P-B). A abrir λ=2 com um significado bem preciso: PA=2.PB.
O que se recomenda é que verifique como variam os valores de λ quando variam as posições de P.

Pode deslocar A e B sobre r.
Pode deslocar P manualmente (ou usando o controlador da animação).
Mantendo as posições de A e B, verá que

• para cada posição de P há um só valor de λ associado;
• λ toma valores negativos quando P está situado entre A e B já que (P-A) e (P-B) têm sinais contrários;
• λ toma valores positivos quando P não está entre A e B, já que (P-A) e (P-B) têm o mesmo sinal;
• λ toma o valor 0 só quando P toma a posição de A já que P-A=0 e, em valor absoluto será tão grande quanto queira (±∞), só quando P se aproxima da posição de B (até P-B=0);
• |λ|=1 quando P toma uma posição a igual distância de A e de B e |λ|<1 ou |λ|>1 conforme P está à esquerda ou direita dessa posição.

Quando P percorre o intervalo entre A e B, λ toma todos os valores negativos de 0 a -∞. Por fora do intervalo limitado A a B, às posições de P correspondem todos os números positivos de +∞ a 0 ou de 0 a +∞ para λ. λ=-1 quando PA=-PB ; λ=1 quando PA=PB (fora do intervalo) que é o ponto impróprio da reta r. Dados A e B, tem sentido falarmos de λ=(PAB) como coordenada ou abcissa de P. Não tem?
Izquierdo Asensi chama-lhe abcissa baricêntrica, sendo A e B os pontos fundamentais de referência, por ser 0 e ∞ os valores das suas respetivas abcissas baricêntricas.
Se P se afasta infinitamente pela direita ou pela esquerda, a abcissa baricêntrica tomará um valor λ=(PAB)=+1 para uma única posição de P. Fica assim lustrado que uma reta não tem mais que um ponto impróprio (ou um ponto no infinito)

Tem interesse lembrar que (PBA)=(P-B)/(P-A)= 1:[(P-A)/(P-B)] = (PBA)^-1

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Richter-Gebert. Perpsectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
F. I. Asensi, Geometria Desscriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

Cónica, quadrilátero circunscrito e triângulo auto-polar

Na entrada Uma polaridade, uma cónica fixámos o seguinte: Ao lugar geométrico dos pontos auto-conjugados numa dada polaridade chamamos cónica. E às polares dos pontos auto-conjugados chamaremos tangentes à cónica. Fica assim estabelecida uma definição de cónica como figura auto-dual: lugar geométrico dos pontos auto-conjugados de uma polaridade e envolvente das retas auto-conjugadas.
Na entrada Construção de uma polaridade (cónica) com um triângulo auto-polar e um ponto auto-conjugado construímos uma polaridade (ABC)(Pp) em que ABC é um triângulo autopolar e P é um ponto autoconjugado (P inicide na sua polar p; p inicide no seu polo P)
Na entrada Da cónica para a polaridade associada retomámos o resultado já antecipado se os vértices de um quadrângulo PQRS completo forem pontos auto-conjugados para uma dada polaridade, então o triãngulo diagonal ABC do quadrângulo é um triângulo auto-polar para concluirmos que é auto-polar o triângulo diagonal ABC de um quadrângulo qualquer PQRS de vértices incidentes numa cónica .
Embora tenhamos tido sempre presente que uma cónica é a envolvente da retas autoconjugadas para uma dada polaridade, nunca nos preocupámos em definir o triângulo auto-polar para o quadrângulo circunscrito. Bastou-nos mostrar que é auto-polar o triângulo diagonal de um qualquer quadrângulo completo de vértices autoconjugados (pontos da cónica) (quadrivértice inscrito na cónica) para continuar o estudo.
No seu livro "Geometria Descriptiva Superior y Aplicada", sob o título Cuadrivértice y cuadrlátero inscrito y circunscrito a una cónica Fernando Izquierdo Asensi trata de dois enunciados:

1. En todo cuadrivértice inscrito a una cónica, su triángulo diagonal es autopolar respecto a la cónica
2. En todo cuadrilátero circunscrito a una cónica, los puntos de intersección de sus diagonales y de los pares de lados opuestos son vértices de un triángulo autopolar respecto a la cónica.

E é por isso que decidimos voltar a abordar a polaridade induzida por cada cónica.
A respeito de quadrângulos, lembramos a entrada Para escrever sobre quadriláteros (completos) em que esclarecíamos as noções de quandrângulos completos onde se pode ler:

1. o conjunto formado por quatro pontos {A,B,C,D}, dos quais não há 3 colineares, (vértices) e pelas 6 retas {AB,AC,AD,BC,BD,CD} definidas pelos pares de pontos existentes, a que chamamos lados. Dois lados consideram-se opostos quando se intersetam em pontos que não A, B, C, D, ou seja, em pontos que não são vértices, no caso, E,F,G. Esses 3 pontos tomam o nome de pontos diagonais
2. o conjunto formado pelas quatro retas {a,b,c,d}, das quais não há 3 incidentes num ponto,(lados) e pelos 6 pontos {a.b,a.c,a.d,b.c,b.d,c.d} definidos pelos 6 pares de retas existentes a que chamamos vértices. Dois vértices consideram-se opostos quando definem uma reta que não é qualquer dos 4 lados a,b,c ou d, a saber, a.d e b.c, a.c e b.d, a.b e c.d. As retas definidas por vértices opostos chamam-se retas diagonais, no caso, e,f,g.

A construção do quadrângulo completo inscrito na cónica para definir a polaridade associada já foi abordada repetidas vezes.
Vamos apresentar a construção do quadrângulo completo circunscrito à cónica e respetivo triângulo auto-polar.
Na construção que se segue, temos quatro retas t, u, v, w tangentes à cónica respetivamente em T, U, V, W (que é o mesmo que dizer que T é o polo de t ou que t é a polar de T, etc ). Essas quatro retas autoconjugadas intersetam-se duas a duas em P=u.v, Q=t.w, R=v.w e S=t.u; A=u.w, B=t.v e C=PQ.RS (vértices). O quadrilátero completo considera ainda as retas definidas pelas interseções pelos pares de pontos de intersecção de lados opostos, a saber a=BC, b=AC e c=AB que se chamam retas diagonais e formam o triângulo diagonal.
Para este triângulo ABC ser auto-polar foi preciso garantir que TV.UW=PQ.RS=C, já que B está sobre a polar de V também b (polar de B) tem de passar por V, etc Na figura, ainda indicamos a polar de P=u.v que é p=UV, Q=t.w que é q=TW, de S=t.u que é s=TU, de R=v.w que é r=VW.

Poderá deslocar os pontos T e U sobre a cónica e B so.bre t

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Para esta construção do triângulo autopolar de um quadrilátero em que os 4 lados são tangentes de uma cónica, começamos por tomar as tangentes t, u nos pontos T e U. Por um ponto B de t tirámos a tangente v à cónica. E a tangente w no segundo ponto de intersecção da reta BU com a cónica. Marcámos A=u.w, P=u.v, Q=t.w, R=v.w e S=t.u
Do feixe centrado em B, a e c são conjugadas harmónicas de t e v e como estas últimas são retas duplas (tangentes) a e c são conjugadas para a polaridade. O mesmo acontece com o feixe centrado em A, b e c são conjugadas harmónicas com u e w que são retas duplas (tangentes). São conjugadas as retas a com c e b com c. Os lados do triângulo abc são conjugados dois a dois, o que é o mesmo que dizer que cada vértice é polo do lado oposto: A=b.c é polo de a=BC, B=a.c é polo de b=BC e C=a.b é polo de c=AB. Das quatro retas a, c, v, t do feixe centrado em B, os seus polos A, C, V e T terão de pertencer à polar de B, b, isto é, AC=TV. De modo análogo, se verifica que BW=UW.

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F. I. Asensi, Geometria Desscriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994

Feixes projetivos no círculo e congruência de ângulos

Na anterior entrada demonstrámos que uma circunferência euclideana é uma cónica projetivamente falando (lugar geométrico dos pontos de interseção de retas correspondentes de dois feixes projetivos, não perspetivos).
Na construção que se segue A, B, C, P, Q são pontos da circunferência. Traçámos também as retas PA=a, PB=b e PC=c do feixe centrado em P e as respetivamente correspondentes QA=d, QB=e e QC=f do feixe centrado em Q Como já vimos, a correspondência a→d, b→e, c→f é uma projetividade. Considerados o par de ângulos APB ou ângulo das retas <)ab e <)de ou AQB, sabemos que são congruentes por serem ângulos inscritos num mesmo arco de uma mesma circunferência.
<)ab=<)de, <)bc=<)ef, <)ac=<)df Sendo A, B, C, P e Q concíclicos, há uma projetividade entre feixes associando os pares de retas PA→QA, PB→QB e PC→QC e associando como congruentes os pares de ângulos de retas correspondentes APB=AQB, BPC=BQC e APC=AQC.

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Poderá deslocar qualquer dos pontos sobre a circunferência.

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Será que esta congruência de ângulos para pares de retas correspondentes em feixes projetivos que definem a cónica circunferência, acontece para todas as cónicas?

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H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994

A circunferência é uma cónica :-)

Em termos de geometria projetiva, definimos cónica como lugar geométrico dos pontos auto-conjugados para uma dada polaridade ou como o lugar geométrico dos pontos de intersecção de retas correspondentes de dois feixes projetivos não perspetivos.
Interessante é responder à pergunta: Uma qualquer das cónicas que definimos euclideanamente, com recurso a distâncias, será uma cónica projetivamente falando? Será uma circunferência euclideana uma cónica projetivamente falando?
N construção que se segue, está desenhada uma circunferência em que APBQC são vértices consecutivos de um hexágono regular nela inscrito.
É claro que AQ.PC=R (centro da circunferência considerada), AB é mediana do triângulo equilátero APR e BC é mediana de CQR. Tomamos também um diâmetro variável (a verde) que interseta AB em M e BC em N. E tomamos PM.QN=X (variável com o diâmetro MN)

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Na construção dinâmica em Cinderella, lia-se:
Pode deslocar X movimentando o diâmetro verde.
Pode controlar a animação do diâmetro (e de X)
nos botões do controlador à esquerda.

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------ construção dinâmica com Geogebra ------

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1. Euclideanamente falando:
   
   Por PQR ser um triângulo equilátero, AB é mediatriz de PR (PM=MR) e também é bissetriz de PAR (BAP=BAR). Daí, para ângulos, podermos concluir que XPA=MPA=ARM. Ora ARM=QRN e, por razões análogas às consideradas para o triângulo APR, NQR=NRQ. Podemos, assim, concluir que XPA=XQA. sendo P e Q pontos da circunferência dada, para além de A e C (proposição 21 do livro 3 dos Elementos) Do triângulo isósceles PMR, o ângulo externo XMN=2(60º-APX)=120º-2.APX. E como o ângulo externo XNM do triângulo isósceles QRN é 2.APX, o ângulo MXN é 60º (120-2APX+2APX+MXN= 120+MXN=180º, MXN=60º) Do quadrilátero XPBQ em que PBQ são pontos da circunferência, sabemos agora que o ângulo X=60º se opôe ao ângulo PBQ=120º e XPB=120-APX enquanto o seu oposto XQB=60º+APX, ou seja, é um quadrângulo em que os ângulos opostos somam 2 retos e 3 dos seus vértices estão sobre uma dada circunferência (proposição 22 do livro 3 dos Elementos). E, assim, podemos concluir que, pela definição euclideana o lugar geométrico dos pontos X é a circunferência que passa pelos pontos A,P, B, Q.
2. Projetivamente falando:
   Com o diâmetro variável, o conjunto das retas PM constituem um feixe centrado em P e, do mesmo modo, as retas QN constituem um feixe de retas centrado em Q. Estes dois feixes são projetivos não perspetivos ( verifique que quando PM=PA, é QN=QA e X=A; quando PM=PC, é QN=CQ, X=B=N; etc (construção de Braikenbridge-Mclaurin), isto é, os pontos de intersecção das retas correspondentes pela projetividade que os associa determina uma cónica única que passa pelos pontos A, B, C, P, Q da circunferência). O lugar geométrico dos pontos X (intersecções de retas correspondentes de dois feixes projetivos não perspetivos) é uma cónica única definida projetivamente que coincide com a circunferência inicialmente definida euclideanamente.

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H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994

Experiência interativa: Ponto de intersecção de cónica com reta

Depois da experiência interativa da entrada anterior, podemos propor uma experiência dual, claro.
Onde dávamos cinco retas para definir uma cónica (o polígono circunscrito à cónica), aqui damos cinco pontos sobre a cónica (o polígono inscrito na cónica). Onde pedíamos o ponto de tangência de uma das retas (ou lados), aqui pedimos uma reta tangente num dos vértices. E, quem resolver um deles, pode resolver o outro usando o mesmo processo. Onde escrevíamos A, escrever a, e onde estava a.b, escrever AB, ...
Bom trabalho.

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1. Antes das ferramentos de marcação de pontos e traçado de retas por dois pontos, aparece uma ferramenta para deslocar elementos
2. Os passos dados usando as ferramentas disponíveis:
   • [a, "Um dos lados do polígono inscrito, sim"],p.ex. AB
   • [b,"Claro que todos os lados interessam"], BC,
   • [d,"Um lado do polígono inscrito"],CD,
   • [e, "Um lado do polígono inscrito"],DE,
   • [F, "Intersetar pares de lados sem vertices comuns"],AE.ED
   • [G, "Intersetar lados sem vértices comuns, claro"], ED.BC
   • [f, "Reta onde se encontram esses lados (opostos?)"], FG
   • [S,"Onde o lado AB encontraria um lado oposto, se tivessemos um hexágono ABCDDE"], S
   • [s, "s=SD é a tangente em D (DD oposto a AB)- Parabéns! "], DS - a tangente em D: DD ];

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H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994

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Teorema da Borboleta e ponto invariante da involução de Desargues

S. Schuster fixou o seguinte resultado:
Sejam P, Q, R, S, T cinco pontos, dos quais não há há três colineares. Então há uma cónica que passa pelos seis pontos A=QR.PS, B=RP.QS, C=PQ.RS
A'=QR.PT, B'=RP.QT, C'=PQ.RT

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

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A, B e C são intersecções de lados opostos de PQRS e A', B' C' são intersecções de lados opostos de PQRT. Ou seja, ABC é o triângulo diagonal do quadrângulo PQRS e A'B'C' é o triângulo diagonal de PQRT. Por isso, ABC e A'B'C' são dois triângulos auto-polares, em que nenhum dos vértices de qualquer deles incide em qualquer dos lados do outro. O resultado da entrada anterior garante que há uma só cónica a passar pelos seis vértices desses dois triângulos.

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H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994

Resultado de Schuster.

S. Schuster fixou o seguinte resultado:
Sejam P, Q, R, S, T cinco pontos, dos quais não há há três colineares. Então há uma cónica que passa pelos seis pontos A=QR.PS, B=RP.QS, C=PQ.RS
A'=QR.PT, B'=RP.QT, C'=PQ.RT

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

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A construção feita esclarece que ABC é o triângulo diagonal do quadrângulo PQRS e A'B'C' é o triângulo diagonal de PQRT. São dois triângulos auto-polares, em que nenhum dos vértices de qualquer deles incide em qualquer dos lados do outro. O resultado da entrada anterior garante que há uma só cónica a passar pelos seis vértices desses dois triângulos.

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H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994