Feixes perspetivos. Retas duplas de uma homografia.

Tomemos uma perspetividade entre dois feixes {a_i: i=1, 2, 3,..} e {b_i: i=1, 2, 3,..}, (sendo A∈ a_i e B∈ b_i, ∀ i; A≠B ), projetivos. Sabemos que fica determinada se os pontos a_i.b_i (i=1,2,3) forem colineares.
No caso da nossa construção ∃ r tal que a₁.b₁, a₂.b₂, a₃.b₃ ∈ r.
A imagem de qualquer reta do feixe centrado em A, a_i, é uma reta b_i do feixe centrado em B, obtida como a reta a passar por B e por a_i.r
Dizemos que AB é uma reta dupla já que é simultaneamente original e imagem para a homografia (no caso, perspetividade entre feixes).
A reta a' do feixe centrado em A interseta r no seu ponto do infinito e a sua imagem para a homografia considerada só pode ser b' que interseta r no seu ponto do infinito.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Na figura, pode fazer variar os pontos visíveis.

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004