Razão simples de 3 pontos. Abcissa baricêntrica.

Em muitas entradas ao longo dos anos abordámos problemas com razões de segmentos e coordenadas. Do estudo de geometria projetiva que nos ocupou nos últimos meses, nas entradas de Julho de 2012, estudámos as razões cruzadas, os cálculos com abcissas ilustrando as relações entre as construções euclideanas e projetivas, a invariância de razões pelas transformações projetivas; pontos e retas do infinito. São elas:

• Representações projetivamente corretas (paralelismo). Uma transformação projetiva para ilustrar a representação. Representações de (AA)(BB)(CH∞) e notas a propósito
• Pontual de abcissas inteiras. Adição. Mutliplicação. Divisão
• Divisão. Subtração
• Razões de diferenças. Razão cruzada
• Invariância da razão cruzada
• Invariância da razão quadrada por projetividade. Da relação harmónica à respetiva razão harmónica. Duas determinações da razão cruzada de 4 posições harmónicas

Servimo-nos de abcissas na reta orientada (confundindo pontos com as suas abcissas e tomando pontos para representar a origem ou a abcissa 0, e pontos da reta para representar pontos no inifinito, etc) e/ou distâncias... Não nos referimos propriamente a coordenadas (para além das abcissas primordiais em que a cada ponto fazíamos corresponder um só número real).
Nesta entrada, voltamos aos pontos da reta orientada para, de outro modo, associar pontos a números (suas coordenadas na reta) e dar novos sentidos ao que chamamos pontos no infinito.
Comecemos por tomar uma reta r e consideremos o sentido da esquerda para a direita (como se mostra na figura com a seta a verde +) e sobre ela três pontos A, B, P. Pensemos nas diferenças A-B=BA (abcissa de A subtraída da abcissa de B num mesmo referencial qualquer de r) e B-A=AB. Claro que, nessas condições,

1. quando escrevemos A-B estamos a pensar num número positivo quando A está à direita de B e num número negativo quando A está à esquerda de B
2. BA+AB=(A-B)+(B-A)=(B-A)+(A-B)=AB+BA=0.

Se tivermos três pontos A, B, C podemos considerar várias diferenças. A-B, B-A, A-C, C-A, B-C e C-B.
E toma sentido pensar em razões entre as diferenças umas mais interessantes que outras
(A-B)/(B-A)=(A-C)/(C-A)=(B-C)/(C-B)=-1 ou, por exemplo,
(A-B)/(A-C), (B-A)/(B-C) ou (C-A)/(C-B) que designamos por razões simples de 3 pontos e representamos por (ABC), (BAC) ou (CAB) respetivamente. Na construção a seguir, temos uma reta r, um sentido + e três pontos A, B, P sobre r.
E, supondo A e B fixos, debruçamo-nos sobre a razão (PAB) simples dos 3 pontos a que chamamos λ, (P-A)/(P-B). A abrir λ=2 com um significado bem preciso: PA=2.PB.
O que se recomenda é que verifique como variam os valores de λ quando variam as posições de P.

Pode deslocar A e B sobre r.
Pode deslocar P manualmente (ou usando o controlador da animação).
Mantendo as posições de A e B, verá que

• para cada posição de P há um só valor de λ associado;
• λ toma valores negativos quando P está situado entre A e B já que (P-A) e (P-B) têm sinais contrários;
• λ toma valores positivos quando P não está entre A e B, já que (P-A) e (P-B) têm o mesmo sinal;
• λ toma o valor 0 só quando P toma a posição de A já que P-A=0 e, em valor absoluto será tão grande quanto queira (±∞), só quando P se aproxima da posição de B (até P-B=0);
• |λ|=1 quando P toma uma posição a igual distância de A e de B e |λ|<1 ou |λ|>1 conforme P está à esquerda ou direita dessa posição.

Quando P percorre o intervalo entre A e B, λ toma todos os valores negativos de 0 a -∞. Por fora do intervalo limitado A a B, às posições de P correspondem todos os números positivos de +∞ a 0 ou de 0 a +∞ para λ. λ=-1 quando PA=-PB ; λ=1 quando PA=PB (fora do intervalo) que é o ponto impróprio da reta r. Dados A e B, tem sentido falarmos de λ=(PAB) como coordenada ou abcissa de P. Não tem?
Izquierdo Asensi chama-lhe abcissa baricêntrica, sendo A e B os pontos fundamentais de referência, por ser 0 e ∞ os valores das suas respetivas abcissas baricêntricas.
Se P se afasta infinitamente pela direita ou pela esquerda, a abcissa baricêntrica tomará um valor λ=(PAB)=+1 para uma única posição de P. Fica assim lustrado que uma reta não tem mais que um ponto impróprio (ou um ponto no infinito)

Tem interesse lembrar que (PBA)=(P-B)/(P-A)= 1:[(P-A)/(P-B)] = (PBA)^-1

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Richter-Gebert. Perpsectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
F. I. Asensi, Geometria Desscriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004