Dualmente, terá sentido falar de razão simples de um feixe de três retas a, b, c incidentes num ponto comum V=a.b.c tendo escolhido uma orientação em torno desse ponto?
Na construção que se segue, temos um ponto V, um sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, três retas a, b, c incidentes em V.
Definimos a razão simples de a, b, c do seguinte modo:
(abc)=sen(ab)/sen(ac), em que (ab) e (ac) são ângulos orientados de duas retas, sempre que <)ab está entre 0º e 180º; sen(ab) ≥ 0 e sempre que está entre 180º e 360º, sen(ab) ≤ 0 o que dá para efeitos da razão simples os mesmos valores caso considerássemos <)ab entre -180º e 0º.
(abc) = sen(ab)/sen(ac) tem comportamento semelhantes a
- (ABC) = AB/AC:
- quando a = b, (abc) = 0
- quando a = c, (abc) = ±∞
- quando a< está entre b e c, (abc)<0
- ...
Pode fazer variar a, b, c e r na figura.
Ilustra-se na figura que AB / sen(ab) = VB / sen(ar).
Do mesmo modo será AC / sen(ac) = VC / sen(ar) e, em consequência, sen(ab) = VB e AC / sen(ac) = VC e (AB / AC) = (sen(ab) / sen(ac)) . (VB / VC).
Conclui-se assim que:
(ABC) = (abc) . (VB / VC)
(ABC) = (abc) sse VB =VC. (ABC) = (abc) sse VB =VC.
- F. I. Asensi, Geometria Desscriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
- Richter-Gebert. Perpsectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
- H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
- C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004
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