Homografias e cónicas

As definições de projetividade eunciadas na entrada anterior são todas equivalentes.
Trabalhámos com projetividades definidas por quatro elementos e seus transformados.
Especialmente trabalhámos com projetividades entre pontuais e entre feixes. A projetividade definida entre duas pontuais {A, B, C, D} e {A', B', C', D'} sobre uma mesma base (reta), pode ter no máximo dois pontos duplos. Se as pontuais projetivas estiverem sobre retas diferentes não poderão ter mais que um ponto duplo que, caso exista, será o ponto comum às duas pontuais, ou seja, será o ponto de interseção das retas base das pontuais projetivas. Também se demonstrou que, dados três pares de pontos correspondentes A e A', B e B, C e C' de duas pontuais projetivas, podemos sempre determinar uma cadeia de projeções e secções para relacionar uma com outra pontual e que qualquer que seja a cadeia utilizada obtemos sempre a mesma projetividade (Teorema Fundamental da Projetividade),o que equivale a dizer que uma projetividade entre pontuais retilíneas fica bem determinada por três pares de pontos correspondentes ou homólogos.
É claro que estes resultados se aplicam tanto a pontuais retilíneas projetivas como a feixes projetivos. À pontual ou conjunto de pontos colineares (sobre uma reta ou base) e ao feixe de retas concorrentes (a passar por um mesmo ponto ou centro) Izquierdo chama formas de primeira categoria ou ordem
Claro que, após todo o trabalho com projetividades usando formas de primeira categoria, acabámos por chegar a definições de outras formas: Por exemplo, chegamos à noção de cónica como lugares geométricos dos pontos de interseção das retas correspondentes de feixes projetivos não perspetivos, como pode ver-se na entrada Definição projetiva de cónicas, onde se pode ver que pontuais perspetivas definem um ponto (o centro da perspetividade que é o centro da projeção ou centro do feixe de que as duas pontuais são secções) e que as retas de dois feixes perspetivos se intersetam em pontos sobre uma reta ou que dois feixes perspetivos definem uma reta.

Nessa entrada, são apresentadas construções de pontos e retas como lugares geométricos de pontos e retas relaciondas por perspetividade, e de cónica como lugares geométricos de pontos e retas relacionados por projetividade não perspetiva.
Retomamos a construção da definição de cónicas usando projetividades
Na figura, pode fazer variar os pontos visíveis para verificar a variação das diversas razões.
Tomaram-se duas pontuais {A_i: i=1, 2, 3, 4,...} (de a) e {B_i: 1, 2, 3, 4,...} (de b), projetivas não perspetivas, sendo para cada i, A_i → B_i. Cada uma das retas A_iB_i é tangente a uma cónica num dos seus pontos.
Tomámos também os feixes de retas - {a_i =AA_i: i=1, 2, 3, 4,...} (de centro A) e {b_i =BB_i: i=1, 2, 3, 4,...} (de centro B) - projetivos não perspetivos sendo para cada i, a_i→b_i. O lugar geométrico dos pontos a_i.b_i é uma cónica.

Chamamos a atenção para o facto de termos usado em todos os casos, projetividades que relacionam pontuais com pontuais (pontos para pontos) e feixes com feixes (retas com retas), isto é, os elementos homólogos ou correspondentes são da mesma espécie. Estas projetividades chamam-se homografias.
Há projetividades que não são homografias: já estudámos as correlações que fazem corresponder pontos a retas ou retas a pontos ...

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004