Projetividade entre pontuais de uma reta ou de um círculo.

Na construção que se segue, temos uma projetividade entre pontuais definida por 3 pares de pontos correspondentes A→A', B→B' e C→C' todos sobre uma mesma base r. Isso está feito tomando dois feixes perspetivos V.ABC e V'.A'B'C', de tal modo que os pontos VA.V'A'=A'', VB.V'B'=B'' e VC.V'C'=C'' estão sobre uma mesma reta r''. Para determinar a imagem de um ponto qualquer D por essa projetividade, toma-se D''=VD.r'' e vem D'=V'D''.r
Esta projetividade é composta das duas perspetividades centradas em V e V'.
Deslocando D sobre r, pode verificar que há dois pontos de r que são imagens de si mesmos por essa projetividade, a saber o ponto P de intersecção da reta VV' com r e o ponto Q de intersecção de r'' com r (poderia este último ser o ponto do infinito de r). Não há outros pontos duplos.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Fizemos uma construção em tudo similar à anterior para definir uma projetividade entre duas pontuais ABC... e A'B'C'... de uma mesma base circular.
Por razões que se prendem com a boa definição de correspondência um a um, para centros dos feixes perspetivos tomámos dois pontos V e V' sobre a circunferência: As retas correspondentes dos feixes intersetam-se em pontos de r'': A''= VA.V'A', B''=VB.V'B' e C''=VC.V'C'.
Para determinar a imagem de um ponto D qualquer da circunferência, tomo a reta VD e D''=VD.r'', para determinar D' como intersecção de V'D''com a circunferência.
Deslocando D sobre a circunferência poderá verificar que os pontos de intersecção da circunferência com r'' são imagens de si mesmos para essa projetividade. E não há outros pontos duplos para tal projetividade. Fácil é verificar, com esta construção, que podemos determinar projetividades (entre pontuais sobre uma mesma base circular) com 0, 1 ou 2 pontos duplos (conforme r'' corte a circunferência em 0, 1 ou 2 pontos).

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004