Steiner:Cónica como lugar geométrico dos polos trilineares de um feixe de retas

Na construção desta entrada, procuramos o lugar geométrico dos polos trilineares de um feixe de retas de centro O distinto de qualquer dos vértices de um triângulo ABC (em relação ao qual se estabelece a polaridade trilinear). Sobre o polo trilinear, pode consultar as entradas

1. Polar trilinear, em que se faz referência específica às relações harmónicas estabelecidas na determinação do triângulo ceviano de ABC da relação entre polo e polar trilinear relativamente a ABC e da homologia que relaciona os dois triângulos
2. Da polar ao polo em que se apresenta uma construção, passo a passo, em resposta a pergunta de um leitor anónimo.

Relativamente ao triângulo ABC, a determinação da polo trilinear X de uma qualquer das retas x a passar por um ponto O é feita assim:

• Determinam-se os pontos de intersecção da recta x com os lados do triângulo ABC - X'_a=BC.x, X'_b=AC.x e X'_c=AB.x.
• O ponto X_c determina-se como conjugado harmónico de X'_c relativamente aos pontos A e B. O ponto x.CX_c será conjugado harmónico de X'_c relativamente X'_a e X'_b.
• Determinado X_c, imediatamente se determinam X_a e X_b tirando as rectas X'_a X_c e X'_b X_c que intersectam os lados AC em X_b e BC em X_a respetivamente. A reta X'_cX_a passa por X_b e, por isso X_aX_bX_c determinam um triângulo inscrito em ABC com lados a intersectar x nos pontos de intersecção desta com o triângulo original.
• As cevianas AX_a, BX_b e CX_c intersetam-se no pólo X, correspondente à polar trilinear x.

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A cada reta x, variável, do feixe centrado em O, corresponde AX_a, por um lado, e BX_b por outro, afinal dois feixes projetivos mas não perspetivos nas condições da definição de Steiner para uma cónica. O lugar geométrico dos pontos de intersecção das retas correspondentes dos dois feixes projetivos não perspetivos X=AX_a.BX_b é uma cónica que passa por A, B e C.
Fazendo variar a reta x, fará variar as retas AX_a e BX_b, em consequência, variar X. Pode ver quais são as tangentes em A, B ou C (distintas sempre de AB, BC, CA)
Pode também deslocar O e ver o que acontece quando O está no exterior ou interior de ABC, sobre algum dos lados, sobre algum dos vértices.

Steiner: a outra definição de cónica

Numa entrada Definição projetiva de cónicas, de Setembro de 2012, já abordámos a definição de uma cónica como lugar geométrico dos pontos de interseção das retas correspondentes em dois feixes projetivos, mas não perspetivos. Nas entradas posteriores, definimos cada cónica como o lugar geométrico dos pontos auto-conjugados (ou retas auto-conjugadas) numa dada polaridade (seguindo Von Staudt, escreve Coxeter)
O enunciado do provado Teorema de Steiner garante que
Sendo x e y retas a passar por pontos de uma cónica, R comum, variável, e outros dois fixos P e Q (x=PR e y=RQ), x e y são projetivas que é o mesmo que dizer que,
se para uma dada polaridade (ABC)(Pp) em que ABC é o triângulo auto-polar diagonal de quadrângulo de que se conhecem três vértices P, Q, R auto-conjugados (da cónica) os feixes das retas x=PR e y=QR (R variável) são projetivos.
O procedimento alternativo à definição de cónica como polaridade hiperbólica (com pontos auto-conjugados) é: Sejam os feixes de retas variáveis x e y passando por P e Q (fixos) projetivos mas não perspetivos. O lugar geométrico dos pontos x.y é uma cónica que passa por P e por Q.
Se pela projetividade entre os feixes for pdx →dqy, em que d=PQ, então p e q são as tangentes em P e Q.

Se a projetividade x→y não é uma perspetividade, a reta d=PQ não é transformada em si mesma. Por isso, há obrigatoriamente duas retas p e q que a projetividade relaciona com d, assim: p→d e d→q. Como sabemos há uma única cónica a passar por PQ e x.y=R e tal que p e q são tangentes.

Novos pontos sobre a cónica de que se dão três pontos e as tangentes em dois deles

Uma cónica fica determinada por 3 dos seus pontos P,Q, R e pelas tangentes p e q em dois deles, P e Q respetivamente.
Retomamos nesta entrada a construção feita na entrada anterior, mas tomamos agora um ponto C de PQ diferente de RD.PQ
A polar c de C∈ PQ passará forçosamente por D, polo de PQ=d e pelo conjugado harmónico de C relativamente a P e Q, C₁ determinado sobre PQ: c=C₁D. Essa cónica é a mesma cónica associada à polaridade determinada pelo quadrângulo PQRS autoconjugados que admite ABC como triângulo diagonal auto-polar: A=RQ.c, B=RQ.c e S=AP.BQ ou seja (ABC)(Pp)
Fixado C sobre PQ, c é agora uma polar de C comum a todas as cónicas do "feixe" de cónicas que se tocam em P e Q. Pode verificar isso, fazendo variar unicamente R.
Sendo C₂= RC.c, RS é um par da involução (CC)(C₂C₂) sobre h=RC.
Concluímos assim que:
De todas as cónicas tangentes a duas retas em pontos dados, aquelas que encontram uma terceira reta (que não passe por quaisquer dos outros pontos) fazem-no em pares de pontos de uma involução.

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Repare que pode tomar qualquer ponto C sobre a reta d=PQ e, a cada posição de C corresponderá um ponto S de tal modo que RS é um par da involução (CC)(C₂C₂). Este resultado aponta o processo para determinar pontos da cónica definida por (ABC)(Pp).

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"Feixe" de cónicas

Uma cónica fica determinada por 3 dos seus pontos P,Q, R e pelas tangentes p e q em dois deles, P e Q respetivamente.
Na construção dinâmica desta entrada, a cónica fica determinada por (PQR)(Dp), em que p=DP. p=DP é a polar de P (ou tangente à cónica em P) e q=DQ é a polar de Q (ou tangente à cónica em Q) D=DP.DQ=p.q é polo de PQ. Sobre a reta PQ tomamos C=PQ.RD e, depois o seu conjugado harmónico C₁. Sobre a reta c=C₁D, tomamos A=c.RQ e B=c.RP. O ponto S=AQ.BP quarto vértice do quadrângulo PQRS que admite ABC como triângulo diagonal (auto-polar).

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Nas condições da construção, para cada (P,Q, R, D) há uma cónica a passar por P, Q e R da qual PD e QD são tangentes.
Faça variar unicamente R (deslocando na construção) e verifique que cada diferente posição de R corresponde uma única cónica e uma diferente reta c a passar por D.
As cónicas correspondentes às diferentes posições de R constituem um feixe de cónicas duplamente tangentes (em P e Q sendo as tangentes comuns DP e DQ). Este feixe de cónicas tem dois centros, no sentido de que todas as suas cónicas têm dois pontos em comum. As retas c formam um feixe centrado num só ponto D, no sentido de que que todas essas retas tem um só ponto em comum.

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Cónica de que se conhecem 3 pontos e as tangentes em dois deles

Na última entrada, ao fazer a demonstração do Teorema de Steiner, tomámos 3 pontos sobre uma cónica - dois fixos P e Q e um outro variável R. E tomámos uma reta c a passar por D polo de uma reta PQ para polaridade associada à cónica da qual P e Q são pontos (auto-conjugados, portanto): Para uma dada posição de R, tomamos C=RD.PQ e a reta c=AB,em que A=RQ.c e B=RP.c e de tal modo que ABC seja o triângulo diagonal de um quadrângulo PQRS, ou seja, em que S=AP.BQ, convenientemente.
O ponto C₁=c.PQ é o polo da reta CD, e é o conjugado harmónico de C relativamente a P e Q.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella). Se não tivéssemos dado a cónica, mas, só os pontos P,Q, R e D, podíamos ter construído C=PQ.RD e o seu conjugado harmónico C₁. A reta c ficaria determinada como c=C₁ que nos daria A=c.RQ e B=c.RP e ficaria assim determinada uma cónica que pode ser descrita como ser descrita como o lugar geométrico dos pontos auto-conjugados (ou a envolvente das retas autoconjugadas) na polaridade (ABC)(Pp) em que p=PD (ou (ABC)(Qq) em que q=QD)
E podemos assim concluir: Uma cónica fica determinada por 3 dos seus pontos e pelas tangentes em dois deles.

Relação entre pontos conjugados e retas conjugadas por polaridade associada a cónica

Se um triângulo PQR está inscrito numa cónica, qualquer reta conjugada comum dos seus lados encontra os outros em pontos conjugados. (Teorema de Seydewitz)
De facto, uma reta conjugada com PQ é a polar de algum ponto C de PQ. Seja S o ponto de intersecção da reta RC com a cónica. Os pontos diagonais de o quadrângulo PQRS formam um triângulo auto-polar cujo lado c incide nos pontos A e B, conjugados, A incidente em QR e B inicidente em PR.

( Dualmente: De um triângulo circunscrito a uma cónica, qualquer ponto conjugado com um dos seus vértices liga-se aos outros dois vértices por retas conjugadas)

Na construção, consideramos R um ponto variável sobre a cónica e P e Q pontos fixos sobre a cónica e chamámos x a PR e y a PQ. Podemos deslocar R sobre a cónica e verificar que quando R coincide com P (ou com Q) x=y=d=PQ.
Sendo x e y retas a passar por pontos de uma cónica, R comum, variável, e outros dois fixos P e Q (x=PR e y=RQ), x e y são projetivas. (Teorema de Steiner)
Já sabemos que as tangentes p (em P) e q (em Q) se encontram em D=p.q que é o polo de PQ. Seja uma reta c que passe por D, mas não passe por P nem por Q.
Como x.c=B e y.c=A, AB é um par em involução de pontos conjugados em c. Fazendo variar R=x.y sobre a cónica verá que x→B→A→y x e y são projetivos, ficando concluida assim a demonstração do teorema de Steiner.

Sendo d=PQ e C₁=c.d, P e Q são posições possíveis para R. Quando R=P, y=d, A=C₁, B é ponto conjugado de D, e x=p. Do mesmo modo, quando R=Q, x=d, B=C₁, A=D e y=q. Quando y é d, x é p quando x é d, y é q
( Dualmente: Considere-se uma tangente a uma cónica, variável, que interseta duas outras tangentes à mesma cónica, fixas, em dois pontos X e Y. X e Y são projetivos)

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Coxeter. Introduction to Geometry, Wiley & Sons. NY:1969
Coxeter. Projective Geometry. Springer. NY:1994 " width="700">

Tangente a uma cónica por um ponto a ela exterior

E como é que se determina a polar de um ponto auto-conjugado para uma dada polaridade? Ou, dito de outro modo, como é que se determina a tangente (polar) a uma cónica de que conhecemos o ponto de tangência (seu polo)?
Consideremos a cónica (vermelha) e sobre ela um ponto (negro) P.
1. Tracemos uma secante à cónica que passe por P, seja PQ.
2. O polo de PQ será o ponto de intersecção p.q, em que p é a polar de P e q a polar de Q ( p e q serão tangentes à cónica em P e Q, respetivamente)
3. Como se determina o polo p.q de PQ? Tome-se um quadrilátero PQRS inscrito na cónica que terá um ponto diagonal C sobre PQ. Deste quadrilátero, o triângulo ABC autopolar, em que a polar de C é c=AB. Tome-se também um outro ponto de PQ, C₁, e por ele duas secantes à conica R₁S₁ e P₁Q₁. P₁Q₁R₁S₁ é um quadrilátero inscrito na cónica sendo A₁B₁C₁ o seu triângulo diagonal, auto-polar. A polar de C₁ é c₁= A₁B₁. PQ=CC₁ tem polo p.q=c.c₁.
4. A tangente à cónica, p, em P será a reta que passa por c.c₁ e por P.

da antiga dinâmica:Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Tangente à cónica num dos seus pontos

E como é que se determina a polar de um ponto auto-conjugado para uma dada polaridade? Ou, dito de outro modo, como é que se determina a tangente (polar) a uma cónica de que conhecemos o ponto de tangência (seu polo)?
Consideremos a cónica (vermelha) e sobre ela um ponto (verde) P.
1. Tracemos uma secante à cónica que passe por P, seja PQ.
2. O polo de PQ será o ponto de intersecção p.q, em que p é a polar de P e q a polar de Q ( p e q serão tangentes à cónica em P e Q, respetivamente)
3. Como se determina o polo p.q de PQ? Tome-se um quadrilátero PQRS inscrito na cónica que terá um ponto diagonal C sobre PQ. Deste quadrilátero, o triângulo ABC autopolar, em que a polar de C é c=AB. Tome-se também um outro ponto de PQ, C₁, e por ele duas secantes à conica R₁S₁ PQ. PQR₁S₁ é um quadrilátero inscrito na cónica sendo A₁B₁C₁ o seu triângulo diagonal, auto-polar. A polar de C₁ é c₁= A₁B₁. PQ=CC₁ tem polo p.q=c.c₁.
4. A tangente à cónica, p, em P será a reta que passa por c.c₁ e por P.

da antiga dinâmica:Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Polar de um ponto relativamente a uma cónica

As construção e demonstração da entrada anterior pretendem convencer que cada cónica, qualquer que ela seja, induz uma polaridade que fica definida por qualquer quadrângulo de vértices P,Q,R,S sobre a cónica para o qual se prova que o triângulo diagonal ABC é auto-polar. Antes disso já se tinha definido cónica como lugar geométrico dos pontos auto-conjugados para uma polaridade (ABC)(Pp).
Desse modo, ficou também indicado o método para determinar a polar de um ponto qualquer não incidente na cónica. Para determinar a polar de um ponto C bastaria traçar duas retas por C, secantes à cónica (seguindo a figura dessa entrada) PQ e RS para, em seguida, obter os restantes pontos de intersecção de lados opostos de PQRS: A=PS.QR e B=PR.QS
A reta AB=c (lado oposto a C no triângulo diagonal ABC, como vimos, auto-polar) é a polar de C.

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Insistimos na determinação da polar. Como determinamos a polar de um ponto A (ponto negro) relativamente à cónica (vermelha) da figura?
Por A traçámos duas secantes à cónica QR e PS. Em seguida, determinados B=PR.QS e C=PQ.RS, pontos de intersecção dos restantes lados opostos de PQRS. ABC é o triângulo auto-polar de PQRS inscrito na cónica e, por isso, a polar de A é a=BC.

da antiga: Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Nesta entrada, se deslocar A, alterando a posição de A do interior para o exterior, pode verificar a relação entre as posições relativas de A e a relativamente à cónica. Pode deslocar o ponto P sobre a cónica para verificar que a não depende das secantes tiradas por A. Deixámos o ponto R (de que o desenho depende) para poder variar a cónica.

Da cónica para a polaridade associada

Na entrada anterior, tomámos a polaridade (ABC)(Pp) em que P incide em p. P é um ponto da cónica associada sendo p a tangente à cónica em P. Outros três pontos da cónica Q, R e S ficaram determinadas como conjugados harmónicos de P sobre as secantes CP (relativamente a C e CP.c), BP (relativamente a B e BP.b), AP (relativamente a A e AP.a).
A_p=AP.a, B_p=BP.b e C_p=CP.c são pontos de p, polar de P, conjugados de P. Aliás todos os pontos da reta p (tangente em P) são conjugados de P. Determinados os pontos Q, R e S deste modo a partir de (ABC)(Pp), a construção sugere que A=RQ.PS, B=PR.QS e C=PQ.RS ou que o triângulo auto-polar ABC é o triângulo diagonal do quadrângulo PQRS.
O último parágrafo da entrada anterior sugere que se se os vértices de um quadrângulo PQRS completo forem pontos auto-conjugados para uma dada polaridade, então o triãngulo diagonal ABC do quadrângulo é um triângulo auto-polar.
O lugar geométrico dos pontos autoconjugados de uma polaridade (hiperbólica) é uma cónica.
Será que se tivermos quatro pontos de uma cónica P, Q, R, S , o seu triângulo diagonal ABC é um triângulo auto-polar?
A construção seguinte ilustra isso mesmo

da antiga:Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella). Os pontos diagonais são as intersecções dos lados opostos do quadrângulo: A=PS.QR, B=PR.QS e C=RS.PQ. Tomemos ainda os pontos de intersecção com o lado AB do triângulo diagonal oposto ao vértice C, a saber: E=AB.RS e F=AB.PQ
Sabemos das relações harmónicas H(AB,EF), H(PQ,CF) ou H(RS,CE) e, em consequência, ficamos a saber que C é conjugado de E e também conjugado de F, ou seja, C é polo de AB=c, seu lado oposto. De modo análogo, ficaremos a saber que B é polo de AC e A é polo de BC.
É auto-polar o triângulo diagonal ABC de um quadrângulo qualquer PQRS de vértices incidentes numa cónica.
Sabíamos que, sendo P∈p, a polaridade (ABC)(Pp) determina uma cónica.
Esta construção ilustra bem que uma cónica induz uma polaridade e mostra como ela se determina. Serve também para sugerir um método construtivo para determinar a polar de um qualquer ponto C que não seja ponto da cónica.
Já agora, pode reparar que
Um ponto interior, no caso C, tem uma polar que não interseta a cónica (é não secante). A polar de um ponto exterior, A por exemplo, interseta a cónica (é secante). A polar de um ponto da cónica, P por exemplo, passa por um só ponto da cónica (é tangente).

Construção de uma polaridade (cónica) com um triângulo auto-polar e um ponto auto-conjugado

Na entrada anterior, fixámos uma definição de cónica como figura auto-dual: lugar geométrico dos pontos auto-conjugados de uma polaridade e envolvente das retas auto-conjugadas .
Essa polaridade com pontos auto-conjugados pode ser bem descrita por (ABC)(Pp), em que P incide em p (P é auto-conjugado e p é auto-conjugada) e ABC é um triângulo auto-polar (i.e., as polares de A é a=BC, de B é b=AC e de C é c=AB). O problema agora é construir um triângulo auto-polar, uma reta p e sobre ela o seu polo P que fique associada a uma cónica. Para isso, retomamos a construção da entrada Polaridade a partir de um triângulo auto-polar, publicada a 26 de Maio de 2012, em que provámos que uma correlação projetiva que relacione cada um dos três vértices de um triângulo com o seu lado oposto é uma polaridade. Na construção, que apresentamos a seguir, consideramos a correlação ABCP → abcp, em que a, b, c, são os lados opostos respetivamente a A, B, C e p é uma reta que não passa por qualquer dos vértices do triângulo, sendo P um ponto de p. O ponto P e a reta p correspondente, determinam 6 pontos sobre os lados do triângulo ABC, a saber: P_a=a.AP, P_b=b.BP, P_c=c.CP, A_p=a.p, B_p=b.p, C_p=c.p

da antiga:Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

A correlação, transformando A,B,C em a,b,c, transforma a=BC em b.c=A, b=AC em a.c=B, c=AB em a.b=C, AP em a.p=A_p, BP em b.p=B_p, CP em c.p=C_p.
Claro que transforma o triângulo (cada vértice no lado oposto, cada lado no vértice oposto) como uma polaridade.
Falta ver que, para além de transformar P em p, também transforma p em P.
A correlação transforma cada ponto X de c numa certa reta que interseta c em Y. Como se trata de uma correlação projetiva, X e Y são projetivos. Quando X é A, Y é B e quando X é B, Y é A. Dito de outro modo a correlação transforma A em B e B em A. Já que a correlação transforma P_c=c.CP em CC_p, como vimos para A e B, P_c→C_p e C_p→P_c. A correlação transforma ainda C_p=c.p em CP_c=CP. E do mesmo modo, a correlação transforma A_p=a.p em AP e B_p=b.p em BP. Finalmente, podemos concluir que esta correlação transforma p=A_pB_p=(a.p)(b.p) em AP.BP=P.

Ficou assim provado que a correlação ABCP→abcp é a polaridade (ABC)(Pp), sendo P o polo de p. P é um ponto de p, auto-conjugado.
Já sabemos que sobre p não há outros pontos autoconjugados, mas também sabemos que em cada reta tirada por P, que não seja p, há um e só um ponto conjugado de P e auto-conjugado na polaridade. Sobre cada uma das retas da figura que passam por P, determinamos os conjugados harmónicos de P: S relativamente a A e P_a, R relativamente a B e P_b, Q relativamente a C e P_c. P, Q, R e S são pontos auto-conjugados para a polaridade (ABC)(Pp), em que p é uma reta auto-conjugada.
A cónica associada passa por P, Q, R, S e p só tem um ponto autoconjugado que é P.

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Pode realizar esta construção e verificar que, nas condições da construção, A está nas retas RQ e PS, B e, S são vértices de um quadrângulo completo cujo triângulo diagonal é ABC. Para ilustrar estes factos, traçámos após todo o trabalho da construção, na figura as retas QS, RQ e RS.

Uma polaridade, uma cónica

Na entrada anterior, tratámos da definição projetiva de cónicas com recurso às perspetividades e projetividades entre pontuais e entre feixes. Ocupar-nos-emos agora de uma outra abordagem da cónica; usando polaridades - correspondências que, associando a cada ponto A uma só reta a, fazem corresponder à reta a o ponto A, caso particular de correlação projetiva.
Algumas notas sobre polaridades já abordadas antes:

• Se, por uma polaridade, ao ponto A corresponde uma reta a, chamamos a A polo da reta a e desta dizemos que é a polar de A.
• Por ser uma correlação projetiva, as polares dos pontos de a formam um feixe de retas passando por A.
• Qualquer polaridade dualiza incidências e isso signica que se A incide em b a sua polar a passa pelo polo B de b. Quando isto acontece dizemos que A e B são pontos conjugados e que a e b são retas conjugadas.
• Se A incidir na sua polar a, diz-se que A é auto-conjugado: A pertence à sua polar a ou a passa pelo seu polo.
• Uma reta que tem dois pontos auto-conjugados não pode ser uma reta autoconjugada e
• Uma reta nunca pode ter mais que dois pontos auto-conjugados
• Uma polaridade induz uma involução de pontos conjugados em qualquer reta que não seja auto-conjugada. De facto, sobre uma reta c não auto-conjugado, a projetividade que faz corresponder a um ponto qualquer X o ponto Y de intersecção de c com a reta x polar de X transforma um ponto B não auto-conjugado num outro ponto A=c.b, cuja polar é BC e, do mesmo modo, transforma A em B. Esta projetividade permuta dois pontos de c é uma involução em c. Dualmente, as retas x e CX são emparelhadas pela involução de retas conjugadas tiradas por C.
• A um triângulo, em que cada vértice tem como polar o lado oposto (em que quaisquqer dois vértices são conjugados e quaisquer dois lados são retas conjugadas) chamamos triângulo auto-polar
• À semelhança do que pensámos para as involuções, podemos dividir as polaridades em dois tipos: as que admitem pontos auto-conjugados e as que não admitem qualquer ponto autoconjugado. Claro que é o mesmo que dizer se admitem ou não admitem retas auto-conjugadas.

Uma polaridade com pontos auto-conjugados também admite obviamente retas autoconjugadas. E pode ficar bem descrita simbolicamente por (ABC)(Pp), sendo P incidente em p.
A existência de um tal ponto P auto-conjugado basta, já que a sua existência garante que, para além dele, em cada reta diferente de p que passa por P há um outro ponto auto-conjugado.
Como sabemos o único ponto auto-conjugado de uma reta auto-conjugada é o seu polo (que é único). Dualmente, a única reta auto-conjugada a passar por um ponto P auto-conjugado é a sua polar p (única). Sobre qualquer reta, não seja p, tirada por P, é induzida uma involução de pontos conjugados. Por esta involução, essa reta que tem P como ponto invariante (duplo), terá um segundo ponto invariante Q, o qual é um outro ponto auto-conjugado da polaridade.
Quer isto dizer, que a existência de um ponto auto-conjugado para uma dada polaridade implica a existência de muitos pontos auto-conjugados. Ao lugar geométrico dos pontos auto-conjugados numa dada polaridade chamamos cónica. E às polares dos pontos auto-conjugados chamaremos tangentes à cónica. Fica assim estabelecida uma definição de cónica como figura auto-dual: lugar geométrico dos pontos auto-conjugados de uma polaridade e envolvente das retas auto-conjugadas .
E, a partir de agora, consideramos que falar de uma cónica é o mesmo que falar da polaridade associada,se falamos de polo (ou polar) pode ser e é no sentido de polo (ou polar) relativamente a uma cónica, e, em vez de conjugado para a polaridade, conjugado relativamente a cónica. Uma tangente tem um só ponto (o seu polo) em comum com a cónica, chamado ponto de contato ou de tangência. Qualquer outra reta é secante ou não secante conforme corte a cónica em dois pontos ou não corte, isto é, conforme a involução de pontos conjugados tem ou não pontos invariantes.

Definição projetiva de cónicas

O nosso estudo (dos últimos meses) e as nossas construções em geometria projetiva plana quase exclusivamente consideraram pontos e certos subconjuntos de pontos (retas) do plano. As figuras do plano em que trabalhámos foram sempre definidas e constituídas por pontos e retas - triângulos (três pontos e três retas), quadrângulos (quatro pontos e seis retas ou quatro retas e seis pontos), etc - e as relações de incidência (por dois pontos passa uma reta, duas retas intersetam-se num ponto, ligar ou juntar, encontrar-se,etc). E definimos as transformações projetivas (a começar pelas perspetividade e projetividade do plano em que as imagens de pontos são pontos e de retas são retas, etc e pelas quais as relações de incidência entre pontos e retas são preservadas).

• Perspetividades
  
  1. Sejam duas retas a e b relacionadas por uma perspetividade, para a qual A₁→B₁, A₂→B₂, ..., A_i→B_i, ... em que os pontos A_i incidem em a e B_i incidem em b. O lugar geométrico dos pontos de interseção das retas A₁B₁, A₂B₂, ..., A_iB_i, ... reduz-se a um ponto A que é chamado o centro dessa perpetividade. Por isso, se fala de uma perspetividade relativamente a um ponto (ou centro). Como já vimos antes as razões cruzadas (A₁, A₂; A₃, A₄) e (B₁, B₂; B₃, B₄) são iguais. E por via desta invariância dizemos que essa é a razão cruzada (A₁B₁, A₂B₂; A₃B₃, A₄B₄) do feixe das retas de centro A.
  2. De modo análogo, dualmente:
     Sejam dois pontos A e B e os feixes de retas a₁, a₂, ..., a_i, ... passando por A e b₁, b₂, ..., b_i, ...por B, relacionados por uma perspetividade para a qual a₁→b₁, a₂→b₂, ..., a_i→b_i, ... O lugar geométrico dos pontos de intersecção das retas a₁.b₁, a₂.b₂, ..., a_i.b_i, ... é uma reta a. Por isso se fala de perspetividade de dois feixes relativamente a uma reta. Como já vimos antes, são iguais as razões cruzadas (a₁, a₂; a₃, a₄), (b₁, b₂; b₃, b₄) e (a₁.b₁, a₂.b₂; a₃.b₃, a₄.b₄).
• Projetividades
  Na construção que se segue, pode ver-se a ilustração equivalente para projetividades (não perspetivas)
  Na construção dinâmica acima, há dois feixes, um centrado em A e outro em B; do primeiro tomamos uma secção pela reta a e do segundo uma secção pela reta b, nas seguintes condições:
  a₁→A₁, a₂→A₂, ..., a_i→A_i, ...
  A₁→B₁, A₂→B₂, ..., A_i→B_i, ... é uma projetividade entre as pontuais baseadas em a e em b
  B₁→b₁, B₂→b₂, ..., B_i→b_i, ...
  garantindo assim que a₁→b₁, a₂→b₂, ..., a_i→b_i, ... é uma projetividade entre os dois feixes
  As razões cruzadas entre quaternos de retas dos feixes é o mesmo número que tomam as iguais razões entre os quaternos de pontos de qualquer das secções por a e b dos feixes centrados em A e B.
  1. Da projetividade entre as pontuais baseadas em a e em b
     A₁→B₁, A₂→B₂, ..., A_i→B_i, ...
     resulta que A₁B₁, A₂B₂, ..., A_iB_i, ... não constituem um feixe, mas cada uma delas tem um só ponto de contacto com uma cónica, a vermelho na construção (?).
     Se quisermos, o conjunto desses pontos de contacto forma uma pontual de 2ª ordem (noção até agora não considerada) e que se distingue das pontuais de 1ª ordem sobre retas. Uma cónica aparece como envolvente das retas entre pontos (de pontuais de 1ª ordem) relacionadas por uma projetividade (não perspetividade). Há autores que consideram as cónicas como feixes de 2ª ordem.
  2. Da projetividade entre os feixes centrados em A e em B
     a₁→b₁, a₂→b₂, ..., a_i→b_i, ...
     resulta que os pontos de interseção das retas correspondentes U = a₁.b₁, D = a₂.b₂, T = a₃.b₃, Q = a₄.b₄, ..., I = a_i.b_i, ... não são pontos colineares, mas são pontos de uma cónica, a preto na construção.
     Dizemos que estes pontos de interseção formam uma pontual de 2ª ordem e há autores que definem as cónicas como pontuais de 2ª ordem, obtidas como intersecções de retas de dois feixes de 1ª ordem com centros diferentes, projetivos e não perspetivos.

Posições harmónicas numa reta

Em "Perpectives on Projective Geometry", Richter-Gebert escreve que há algumas (poucas) coleções notáveis de posições relativas de pontos que geram conjuntos harmónicos e apresenta como exemplo uma coleção de equações em x e y, a saber:

1. (-x, x; 0, ∞) = -1
2. (0, 2x; x, ∞) = -1
3. (x, y; (x+y)/2, ∞) = -1
4. (-1, 1; 0x, 1/x) = -1
5. (-x, x; 1, x2) = -1

em que para facilitar se identificam pontos numa reta com correspondentes números reais incluindo o ponto ∞ para o ponto no infinito.
Para explicitar, começa por verificar que para um ponto x arbitrário (ou número real arbitrário), recorrendo à definião de razão cruzada e às operações com expressões algébricas de variável real,
(-x, x; 1, x2) = -1, no seguinte sentido
(-x, x; 1, x2)=[(1+x).(x2-x)]/[(x2+x).(1-x)]=[(1+x).x.(x-1)] /[x.(x+1).(1-x)]=-1
Por exemplo, o par (1,4) separa harmonicamente o par (-2,2), Fixados -2, 2, 1 a posição 4 é interseção de -2'2'.r não dependendo de O nem de P (este último ponto arbitrario de 1P).

Duas determinações da razão cruzada de 4 posições harmónicas

Primeira.
Na entrada anterior, concluíamos com a afirmação de que se entre os pontos A, B, C e D colineares se estabelecesse uma relação harmónica, então a razão cruzada (a,b;c,d) seria -1. Este facto decorre do anterior resultado sobre permutações de pontos e de razões cruzadas que relembramos agora as que nos interessam para calcular a razão cruzada de quatro pontos em relação harmónica :

• (a,b;c,d)=(b,a;d,c)=(c,d;a,b)=(d,c;b,a)
  e os equivalentes resultados com conjuntos harmónicos H(AB, CD) sse H(BA, DC) sse H(CD,AB) sse H(DC,BA)
• (a,b;c,d)=1/(a,b;c,d)
  sendo que, para o caso das relações harmónicas, se provou que H(AB,CD) sse H(AB,DC), obrigando
  (a,b;c,d)=(a,b;d,c) e, portanto, (a,b;c,d).(a,b;c,d)=1 e, em consequência, (a,b;c,d)=1 ou (a,b;c,d)=-1.
  Para pares (a,b) e (c,d) em posições harmónicas em que a é distinto de b e c é distinto de d, como c-b e d-b são de sinais diferentes a razão (a,b;c,d) não pode ser positiva e só resta ser (a,b;c,d)=-1.

Assim é natural dizermos que a razão cruzada (a,b;c,d)=-1 é a razão harmónica e às razões cruzadas diferentes de -1 chamamos razões anarmónicas.

---

Segunda.
Para a construção que se segue, tomamos 3 pontos colineares A, B, C sobre uma mesma reta. Para determinar um conjunto harmónico de que esses três pontos sejam elementos, tomámos um ponto auxiliar O e traçamos AO, BO e CO. Sobre CO tomamos um novo ponto auxiliar P e traçamos AP e BP. A'=AO.BP e B'=BO.AP. O quarto ponto D do conjunto harmónico é AB.A'B'=D. A e B são pontos diagonais de A'PB'O, C e D são pontos de AB dos lados opostos do quadrângulo OP e A'B'.
Pretendemos ilustrar que quaisquer escolhas para O e P dão sempre o mesmo D e ver como a relação harmónica se mantémm por permutação dos elementos de um dos pares do quaterno, e tem como consequência o valor -1 para a razão cruzada correspondente.
[A.A.M.]
O ponto O pode ser tomado como centro de uma perspetividade que transforma ABCD em A'B'C'D. Por isso, (a,b;c,d)=(a',b';c',d').
De modo análogo, P é o centro de uma perspetividade que transforma A'B'C'D em BACD e, por isso, (a',b';c',d)=(b,a;c,d). Conclui-se finalmente que (a,b;c,d)=(b,a;c,d). E, como (b,a;c,d)=1/(a,b;c,d), (a,b;c,d)=-1.

Da relação harmónica à respetiva razão harmónica

Primeira.
Na entrada anterior, concluíamos com a afirmação de que se entre os pontos A, B, C e D colineares se estabelecesse uma relação harmónica, então a razão cruzada (a,b;c,d) seria -1. Este facto decorre do anterior resultado sobre permutações de pontos e de razões cruzadas que relembramos agora as que nos interessam para calcular a razão cruzada de quatro pontos em relação harmónica :

• (a,b;c,d)=(b,a;d,c)=(c,d;a,b)=(d,c;b,a)
  e os equivalentes resultados com conjuntos harmónicos H(AB, CD) sse H(BA, DC) sse H(CD,AB) sse H(DC,BA)
• (a,b;c,d)=1/(a,b;c,d)
  sendo que, para o caso das relações harmónicas, se provou que H(AB,CD) sse H(AB,DC), obrigando
  (a,b;c,d)=(a,b;d,c) e, portanto, (a,b;c,d).(a,b;c,d)=1 e, em consequência, (a,b;c,d)=1 ou (a,b;c,d)=-1.
  Para pares (a,b) e (c,d) em posições harmónicas em que a é distinto de b e c é distinto de d, como c-b e d-b são de sinais diferentes a razão (a,b;c,d) não pode ser positiva e só resta ser (a,b;c,d)=-1.

Assim é natural dizermos que a razão cruzada (a,b;c,d)=-1 é a razão harmónica e às razões cruzadas diferentes de -1 chamamos razões anarmónicas.

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Segunda.
Para a construção que se segue, tomamos 3 pontos colineares A, B, C sobre uma mesma reta. Para determinar um conjunto harmónico de que esses três pontos sejam elementos, tomámos um ponto auxiliar O e traçamos AO, BO e CO. Sobre CO tomamos um novo ponto auxiliar P e traçamos AP e BP. A'=AO.BP e B'=BO.AP. O quarto ponto D do conjunto harmónico é AB.A'B'=D. A e B são pontos diagonais de A'PB'O, C e D são pontos de AB dos lados opostos do quadrângulo OP e A'B'.
Pretendemos ilustrar que quaisquer escolhas para O e P dão sempre o mesmo D e ver como a relação harmónica se mantémm por permutação dos elementos de um dos pares do quaterno, e tem como consequência o valor -1 para a razão cruzada correspondente.
[A.A.M.] O ponto O pode ser tomado como centro de uma perspetividade que transforma ABCD em A'B'C'D. Por isso, (a,b;c,d)=(a',b';c',d'). De modo análogo, P é o centro de uma perspetividade que transforma A'B'C'D em BACD e, por isso, (a',b';c',d)=(b,a;c,d). Conclui-se finalmente que (a,b;c,d)=(b,a;c,d). E, como (b,a;c,d)=1/(a,b;c,d), (a,b;c,d)=-1.

Invariância da razão cruzada por projetividade

A construção que se segue pretende demonstrar que a razão cruzada de 4 pontos A, B, C, D de r se mantém invariante por projetividade
[A.A.M.]

Invariância da razão cruzada por perspetividade

A construção da entrada anterior também sugere (ou decorre mesmo) da verificação da invariância da razão quadrada por uma perspetividade de centro O.
A construção que se apresenta ilustra isso mesmo. A razão quadrada dos quatro pontos A,B,C,D sobre r é a mesma razão para os quatro pontos A', B', C', D', sobre s, obtidos como transformados de A, B, C, D pela perspetividade de centro O.
Pode deslocar os pontos O, A, B, C, D e também r e s para ver(ificar) esse resultado.

[A.A.M.]

Razão cruzada de um feixe de 4 retas

A "razão cruzada" (ou razão de razões de diferenças) de quatro pontos incidentes numa mesma reta que temos vindo a estabelecer mantém-se por projetividade. É, por isso, muito importante em Geometria Projetiva e há autores que usam a "razão cruzada" para definir projetividade como a transformação geométrica pela qual a razão cruzada se mantém invariante. Não é o caso nas notas de estudo que temos vindo a publicar.

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Não vamos provar essa afirmação. Limitar-nos-emos a ilustrá-la e a pedir que a aceitem a partir das ilustrações que permitem conjeturar tal resultado.
Como é habitual em Geometria Projetiva, verificamos a dualidade em cada conceito e, por isso, vamos ver(ificar) que há uma razão cruzada de quatro retas a incidir num mesmo ponto.
A construção seguinte apresenta quatro retas incidentes em O (um feixe) cortadas por uma reta r. Poderá deslocar a reta r e veriifcar que a razão cruzada dos quadros pontos da secção (ou pontual) do feixe por r não depende da reta r. Podemos, por isso, assimilar esta razão invariante como caraterística do feixe.

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Na nossa construção a reta r é determinada por dois pontos livres E e F, que lhe permitem verificar que a razão cruzada não depende da reta r

[A.A.M.]

Razão cruzada: Propriedades elementares

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Razões de diferenças. Razão cruzada.

Nas últimas entradas, associámos pontos de uma reta a números (suas abcissas) e estabelecemos construções (relações estabelecidas entre pontos e retas) que permitiram determinar pontos cujas abcissas eram resultados de operações sobre números, abcissas de pontos dados.
Para estas correspondências entre pontos de uma reta e números socorremo-nos sempre de alguns pontos particulares, depois de termos equipado a reta com uma dada orientação (sentido na reta).
De forma simples, se fizermos corresponder ao ponto A a abcissa a=x_A e a B a abcissa b=x_B, a orientação escolhida será de A para B se a distância euclideana em sentido direto entre A e B for x_B-x_A=|AB|. De resto escrevemos BA=-AB já que quando tomamos o sentido de A para B sobre a reta AB, AB=x_B -x_A= b-a=-(a-b)=-(x_A-x_B)=-BA. (segmentos orientados...)
A construção que se segue pretende ilustrar as considerações que antes fizemos, para além de introduzir a "razão de razões" ou "razão cruzada" que goza de propriedades interessantes intrínsecas e vinculando os seus valores a relações projetivas que se estabeleçam entre pontos e entre retas ou entre pontos e retas.
Tomam-se quatro pontos A, B, C, D sobre uma reta e define-se a razão das razões entre diferenças de abcissas. Pode deslocar os pontos para ver o que acontece às diferenças e às razões.
[A.A.M.]

Subtrair

Temos vindo a apresentar construções em que se determinam pontos cujas abcissas são resultados de operações sobre as abcissas de outros pontos dados. Faltava a determinação do ponto de abcissa x-y sobre a reta de que são dados os pontos de abcissas 0, x e y. Aqui ficam as construções.
Dados os pontos 0, x, y determinamos o ponto de abcissa x-y seguindo um procedimento apoiado na construção da soma, já que y+x-y=x.
Por um ponto exerior P à reta xy tiramos uma paralela a xy e, sobre esta tomamos um segundo ponto R. Pelo ponto Q_y=0P.yR tiramos uma paralela a xy e determinamos sobre ela o ponto Q_x de xR. O ponto de abcissa x-y será PQ_x.xy
Pode deslocar os pontos x ou y verificando o que acontece quando x=y, x=0, y=0, x à esquerda de y, y=x-y, etc
[A.A.M.]
Projetivamente as retas paralelas intersetam-se num ponto Z_∞.
[A.A.M.]

Dividir x por y

Na anterior entrada tratámos da determinação dos pontos de abcissas 1/n (n natural) conhecidos que fossem os pontos 0 e 1.
Nesta entrada, nas construções apresentadas (euclideana e projetiva correspondente) apresenta-se o processo de determinação do ponto de abcissa x/y conhecidos os pontos 0, 1, x, y.
Dados 0,1, x e y colineares, começa-se por tomar um ponto P qualquer fora da reta 01. Por P tira-se uma reta paralela a 01. E sobre ela, toma-se o ponto R qualquer. D=0P.1R. Para determinar o ponto x/y, toma-se yR e M=yM.0R. Em seguida, toma-se xM e S=xM.PR. Finalmente SD e o ponto x/y=SD.xy
Do feixe centrado em D cortado pelas retas paralelas 01 e PR, tira-se que 0(x/y)/PS=01/PR e, do feixe centrado em M cortado pelas mesmas paralelas tira-se que 0y/PR=0x/PS. Da primeira e segunda igualdades conclui-se que PS/PR=0(x/y)=0x/0y
Pode deslocar os pontos x e y e ver o que acontece quando x=0, x=y, x=1, y=0, y=x/y, etc

[A.A.M.]
Projetivamente, as retas paralelas intersetam-se num ponto Z_∞.

[A.A.M.]

Dividir x por n (n natural)

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Na entrada anterior, apresentou~se o processo para determinar o ponto de abcissa xy, conhecidos os pontos de abcissa 0, x e y. Esse processo é aliás em tudo análogo ao processo que permitia determinar pontos de abcissa inteira, conhecidos os pontos de abcissas 0 e 1.
O processo para determinar um ponto de abcissa 1/n (ou x/n) com n natural, conhecidos os pontos de abcissas 0, 1 parte sempre da determinação dos pontos de abcissa 2, 3, 4, ..., n (ou 2x, 3x, ..., nx)
. No caso da construção que segue como exemplo, faz-se a divisão por 3, determinando os pontos de abcissas 1/3 e 2/3. Essa construção começa com a determinação dos pontos 2 e 3, dados os pontos 0 e 1, utilizando 0, 1, P, R, 1'=0P.1R e as paralelas a 01, tiradas por P (PR) e por 1'.
Agora tomam-se os pontos 1', 2''=2R.0P, 3''=3R.0P, Q=PR.13''. E, ficam assim determinados os pontos de abcissas 1/3 e 2/3: 1/3=Q1'.01, 2/3=Q2''.01.

[A.A.M.] Projetivamente as retas paralelas intersetam-se num ponto Z_∞.
[A.A.M.] Projetivamente as retas paralelas intersetam-se num ponto Z_∞. [A.A.M.]

Adição

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Os métodos antes apresentados, para determinar pontos a que correspondem abcissas inteiras sobre uma dada reta, permitem também determinar pontos correspondentes a somas de abcissas de pontos dados.
Na construção que se segue, tomamos um ponto 0 e dois pontos que designamos por X e Y (x, y: abcissas) sobre uma reta. Tomamos um ponto P não incidente em 0X e por ele tiramos uma paralela a 0X. Sobre esta, tomamos um ponto R. Por Q_x = OP.XR tiramos uma paralela a 0X e a interseção, Q_y, desta com YP.
O ponto correspondente a x+y estará sobre RQ_y. Mostramos uma confirmação(?) da correção desta determinação com valores das distâncias OX, OYe O(X+Y).
Pode deslocar os pontos X, Y, P e R para confirmar que OS=OX+OY, quaisquer que sejam as posições de X e Y.
[A.A.M.]
Projetivamente as retas paralelas intersetam-se todos no ponto Z_∞.



[A.A.M.]

Pontual de abcissas inteiras.

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Na entrada anterior, vimos como se podem determinar pontos correspondentes a um número inteiro, dados que fossem dois pontos a que se atribuissem as abcissas 0 e 1, usando um quadrilátero completo e a reta 01 passando pelas interseções dos lados opostos sem passar por qualquer dos seus vértices.Os pontos 0 e 2 são separados harmonicamente pelos ponto 1 e ∞ : (00)(22)(1∞) é um quaterno harmónico em que 1 e ∞ são conjugados.
A construção que se segue, ilustra bem um processo de von Staudt para obter pontos correspondentes aos números inteiros, conhecidos que sejam os pontos 0 e 1.
Toma-se um ponto P fora da reta 01 e por ele uma paralela a 01. Sobre a reta 0P tome-se um ponto Q qualquer e, por ele, passe-se uma paralela a 01. A reta 1Q interseta a paralela tirada por P em R.Em seguida tome-se a reta 1P e a sua interseção Q₁ com a reta paralela a 01 tirada por Q. O ponto 2 será a interseção de RQ₁ com 01.
O processo repete-se.
Em Geometria Projetiva as retas paralelas passam por um ponto Z_∞, marcado na figura que se segue.

Representações de (AA)(BB)(CH∞) e notas a propósito

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Na construção que apresentamos abaixo, temos duas representações diferentes de dois quadriláteros completos de vértices PQRS cortados por uma reta h=AB em que A=QR.PS e B=PR.QS
C= RS.h e PQ paralela a AB ou PQ.h=H_∞.

Na figura da esquerda temos um feixe de retas concorrentes em R cortadas por duas paralelas e em que S é o ponto de encontro das diagonais do trapézio AQPB e, por isso, RS passa pelos pontos médios de PQ e AB.
Tem-se assim um processo para determinar o ponto médio de AB. É tambem método para determinar segmentos geometricamente iguais.

Na figura da direita, temos uma representação projetivamente adequada da mesma situação em que o ponto do infinito H_∞ está à vista sobre h e as retas AB e PQ nele se intersetam. E isso não significa mais do que estabelecer uma relação harmónica H(AB,CH_∞)
Podemos dizer que a construção da direita é a mesma que está à esquerda e isso quer dizer que para um quadrilátero completo nas condições da figura se AB//PQ então C é o ponto médio de AB ou C é o conjugado harmónico do ponto do infinito H_∞.
[Por analogia ao escrito anteriormente para segmentos geometricamente iguais, podemos dizer que este é também um método para determinar sobre uma reta segmentos projetivamente iguais].
Para A, B e H_∞=PQ.AB, C é único. Se C é o ponto médio de AB, PQ e AB intersetam-se em ponto do infinito.
Ou ainda se, na reta h, a A atribuirmos, por exemplo, uma abcissa 0 e a C a abcissa 1,então B terá uma abcissa 2,...

Representações projetivamente corretas (paralelismo)

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Na geometria do que se vê realmente (geometria projetiva), um dos aspetos interessantes está na representação (projetivamente correta) das figuras. Como já abordámos antes, tomando o que vemos quando olhamos os carris do comboio, o paralelismo de retas como ausência de um ponto comum é antes a interseção das retas que à vista se intersetam num ponto, ainda que esse ponto se afaste à medida que avançamos para ele (ponto no infinito ou ponto do infinito comum a um conjunto de retas paralelas ou com a mesma direção). Dadas duas retas quaisquer, elas encontram-se sempre num ponto.
No nosso estudo de geometria projetiva construímos representações interativas usando algumas operações e relações tais como a incidência, ligar dois pontos (para uma reta), intersetar retas (para um ponto). "As restantes operações geométricas (tais como medir distâncias, calcular ângulos, criar perpendiculares) requerem um tratamento especial para serem tratadas se o quisermos fazer projetivamente". Richter-Gebert no seu livro "Perspectives on Projective Geometry", recentemente editado pela Springer, escreve isso, mas escreve também que é possível e fácil modelar a operação de paralelismo da geometria euclideana no quadro da geometria projetiva: desenhar uma paralela que passa por um ponto. Vamos dar passos nesse sentido.
Na figura que se segue, à esquerda temos um paralelogramo ABCD tal como nos habituamos a desenhá-lo em estudos da geometria euclideana. Para além dos vértices e dos lados, ainda desenhámos as diagonais e medianas do paralelogramo. Nesta figura da esquerda, as retas AB, FH, CD são paralelas. Dizemos que se intersetam num ponto do infinito, seja AB.CD.FH=P_∞. Do mesmo modo, AD, EG e BC se dizem paralelas ou que se encontram num ponto do infinito, seja AD.BC.EG=Q_∞. Claro que por dois pontos passa uma e uma só reta. A uma reta que passa por pontos do infinito chamamos reta do infinito, no caso r_∞ =P_∞Q_∞.

[A.A.M.] Tomemos quaisquer pontos ABCD para vértices, considerados por uma certa ordem cíclica. AC e BD são as diagonais do quadrângulo que se intersetam no ponto M=AC.BD, a que chamaríamos e chamamos centro. Como os lados opostos AB e CD são paralelos AB.CD=P_∞ e do mesmo modo, AD e BC se intersetam em Q_∞. Para quatro pontos, vértices de um quadrângulo que consideramos um paralelogramo, obtemos assim uma vísivel reta do infinito r_∞=P_∞Q_∞. As restantes retas são Na figura da direita na construção, de acordo com o que podemos ver (carris do comboio), a reta do inifinito r_∞ é visível como qualquer outra reta euclideana, coerente com o que vimos quando olhamos paralelas
Tomemos quaisquer pontos ABCD para vértices, considerados por uma certa ordem cíclica. AC e BD são as diagonais do quadrângulo que se intersetam no ponto M, a que chamaríamos e chamamos centro. Como os lados opostos AB e CD são paralelos AB.CD=P_∞ e do mesmo modo, AD e BC se intersetam em Q_∞. Para quatro pontos, vértices de um quadrângulo que consideramos um paralelogramo, obtemos assim uma vísivel reta do infinito MP_∞ e MQ_∞. E os pontos serão E= AB.MQ_∞, F=BC.MP_∞, G =CD.MQ_∞, H= AD.MP_∞.
Deste modo, obtivemos uma representação perspetivamente correta do paralelogramo com todos os pontos e retas que associámos....


Da memória:

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Cinderella e (ou mesmo em)
Jurgen Rishter-Gebert;Perspectives on Projective Geometry, A guided tour trough real and complex geometry. Springer-Verlag. Berlin:2012

Notas sobre involução - conjunto quadrangular

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Tomemos o conjunto dos pontos de intersecção dos lados de um quadrângulo completo por uma reta qualquer que não passe pelos seus vértices.
Na figura, a reta r interseta os lados do quadrângulo PQRS nos pontos A, B, C, D, E, F:
QR e PS são lados opostos que intersetam r em QR.r=D e PS.r=A
PR e QS são lados opostos que intersetam r em PR.r=E e QS.r=B
QP e RS são lados opostos que intersetam r em RS.r=C e PQ.r=F
A (AD)(BE)(CF) chamámos conjunto quadrangular que é equivalente a afirmar que a projetividade ABC→DEF é uma involução ou que ABCDEF→DEFABC


[A.A.M]
Os três pares de lados opostos do quadrângulo completo cortam qualquer reta que não passe pelos vértices em três pares de uma involução. E reciprocamente, quaisquer três pontos colineares e os seus correspondentes por involução formam um conjunto quadrangular
Daqui se retira que a construção de F, sendo dados A, B, C, D, E, pode ser vista como a determinação da imagem de E pela involução (AD)(BE).

Notas sobre a involução projetiva (unidimensional)

Há várias referências à palavra involução e definição de involução (formulada em termos dos conceitos não projetivos de distância e multiplicação aritmética) como uma relação entre pares de pontos de uma reta cujas distâncias a um ponto fixo têm produto constante (Desargues). Para exemplo, clique em Involução.
De um modo geral, designamos por involução qualquer transformação f que é inversa de si própria, i.e., tal que
∀x∈D_f, f(f(x)=x (ou f.f=id) de que é exemplo mais evidente a Reflexão entre as transformações geométricas do plano, para além da trivial identidade: id(x)=x. Lembre-se que o conjunto das reflexões munido da composição não é um grupo, mas que qualquer isometria do plano se pode obter como composta de reflexões.

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Interessa-nos agora uma definição de involução como transformação da geometria projetiva. Sem referência à palavra involução já foram usadas involuções na demonstração de teoremas da geometria projetiva do plano.
Por exemplo, considerámos as projetivades entre duas pontuais sobre uma mesma reta (que ficam definidas por 3 pares de pontos correspondentes).
Uma projetividade entre pontuais de uma reta r é uma involução se X→X' então X'→X ou XX'→X'X, ∀X. (von Staudt)
Prova-se que:
Se uma projetividade permuta dois pontos distintos é uma involução.
Sejam A e A', distintos, tais que, por uma dada projetividade, A é transformado em A' e A' é transformado em A AA'→A'A. E seja X um ponto qualquer de AA' que, pela mesma projetiviade, tem por imagem X'. Podemos escrever AA'X→A'AX' Como já provámos, quatro pontos colineares podem ser premutados aos pares por uma projetividade, ou seja, há uma projetividade para a qual AA'XX'→A'AX'X que permuta X com X' é a dada inicialmente, pois uma projetividade fica determinada quando são dados três pontos e os seus correspondentes (Teorema fundamental da Geometria Projetiva).
e, em consequência:
Uma inovução fica determinada por quaisquer dois dos seus pares de correspondentes
Quaisquer 4 pontos A, A', B, B' colineares determinam um projetividade AA'B→A'AB' que sabemos ser uma involução e que, de forma conveniente, representamos por (AA')(BB') ou (A'A)(BB') ou (BB')(AA'), etc notação que se mantém válida quando B'=B (B é um ponto duplo da involução). A projetividade determinada por AA'B→A'AB é uma involução que se representa por (AA')(BB).

Uma colineação perspetiva é produto de duas polaridades

Na figura dinâmica abaixo, mostra uma colineação perspetiva (homologia ou elação) com centro em Oe eixo o=CP que transforma A num outro ponto A' incidente na reta c=OA. C e P são pontos arbitrários sobre o eixo o (que passa por O para o caso da colineação ser uma elação). Sejam B um ponto arbitrário de c=OA e p uma reta tirada por O que interseta AC e A'C: Q=p.b=p.AC e Q'=p.b'=p.A'C.
Verificamos que aquela colineação perspetiva é a composta das duas polaridades (ABC)(Pp) e (A'BC)(Pp)

De fato, a primeira polaridade (ABC)(Pp) transforma os quatro pontos A=b.c, P, O=c.p, Q=b.p nas quatro retas a=BC, p, o=CP, BP. E a segunda polaridade (A'BC)(Pp) transforma estas últimas retas em A'=b'c, P, O=c.p, Q'=b'.p
A composta das duas polaridades transforma o quadrângulo APOQ em A'POQ' que é a única colineação projetiva que transforma um quadrângulo noutro (considerados os lados e os vértices por uma ordem determinada), como provámos anteriormente. Por ser única é a colineação perspetiva considerada inicialmente de centro O e eixo o que transforma A em A', seja ela homologia ou elação.

Homologia como produto de polaridades

A homologia de centro O e eixo o=JL que transforma A em A' e B em B' pode ser obtida como produto de duas polaridades (OJL)(Ap) e (OJL)(A'p) em que p pode ser um reta qualquer que não passe por qualquer dos vértices do triângulo ODF autopolar comum às duas polaridades. Para provar isso, basta ver que a homologia e a composta das duas polaridades transforma o quadrângulo OJLA em OJLA'.


[A.A.M.]
Os pontos O, J e L são pontos invariantes da homologia que transforma A em A' (B em B' e C em C').
Pela polaridade (OJL)(Ap) seguida da polaridade (OJL)(A'p), OJLA→o'j´l'p→OJLA' ou seja a composta transforma OJLA em OJLA'. Lembra-se que uma polaridade (OJL)(Ap) transforma O em o'=JL e esta o' em O,... e se transforma A em p e p em A, a polaridade (OJL)(A'p) transforma JL em O (e O em JL)... como transforma p em A' (e A' em p)

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É óbvio que esta construção (já várias vezes repetida...) e este raciocínio feito para provar que uma homologia pode ser expressa como produto de duas polaridades não pode ser estendido para a elação em que O incide sobre o.
Com outra construção, provaremos que uma colineação perspetiva (homologia ou elação) é sempre um produto de duas polaridades.

Pentágono autopolar

Considere o pentágono de vértices A, B, C, D, E e a correlação que transforma B em b=DE, C em c=AE, D em d=AB e E em e=BC que também transforma e=BC em b.c=E, CD=a em c.d=a, b=DE em d.e=B e o ponto diagonal b.e=F na reta BE=f.
Esta correlação projetiva que transforma cada vértice do triângulo FBE no seu lado oposto é uma polaridade desde que transforme a em A, a saber (FBE)(Aa).
Fica assim provado que a correlação projetiva que transforma quatro vértices de um pentágono nos seus lados opostos é uma polaridade e transforma os restantes vértices nos restantes lados. Este pentágono em que cada um dos seus 5 vértice é polo do seu lado oposto é um pentágono autopolar, para a polaridade acima especificada.

Teorema de Hesse

As quatro retas a, b, c, d da figura intersetam-se em b.c=A, a.c=B, a.b=C, a.d=A₁, b.d=B₁ e c.d=C₁. A figura representa pois um quadrilátero completo (4 retas e 6 pontos: (62,43))


[A.A.M.]

Considerem-se, para uma dada polaridade, a' polar de A passando por A₁ de a, e b' polar de B passando por B₁ de b. (A, A₁) e (B, B₁) são pares de pontos conjugados. Pelo teorema de Chasles, a polar de C encontra c=AB num ponto de A₁B₁=d, obrigatoriamente C₁=c.d, que é o mesmo que dizer que C é conjugado de C₁.
Ficou assim provado que
Se dois pares de vértices opostos de um quadrilátero completo são pares de pontos conjugados para uma dada polaridade, então o terceiro par de vértices opostos é também um par de pontos conjugados pela mesma polaridade, resultado conhecido por teorema de Hesse.

Determinar polar de X em (ABC)(Pp) - Método geral.

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Pela polaridade (ABC)(Pp), a polar de um ponto X (não incidente em AP, BP ou p) é uma reta x=X₁X₂ assim determinada
A₁=a.PX,   P₁=p.AX,   X₁=AP.A₁P₁
B₂=b.PX,   P₂=p.BX,   X₂=BP.B₂P₂



[A.A.M.] Consideremos os triângulos ABC auto-polar, PAX e pax em que p é polar de P, a polar de A e x polar de X (esta que procuramos determinar) Aplicando o teorema de Chasles, os triângulo PAX(amarelo) e pax são perspetivos:
Os seus lados AX, XP e PA encontram as polares p, a, x dos seus vértices em 3 pontos colineares: P₁=AX.p, A₁=XP.a e PA.x.
X₁= P₁ A₁. PA é um dos pontos em que incidirá a polar x de X.
De modo análogo, aplicando o teorema de Chasles a PBX (verde) e pbx, determinamos um outro ponto da polar x de X, X₂=(BX.p)(XP.b).PB

Esta construção falha quando X for um ponto de AP, pois então A₁P₁=AP e X₁ fica indeterminado. Mas X₂ pode ser determinado e a polar de X é A_pX₂ em que A_p=a.p. De modo análogo, quando X estiver em BP, a sua polar é B_pX₁
Para determinar a polar de um ponto X de p, podemos aplicar uma construção dual da que temos vindo a utilizar para determinar o polo Y de uma reta y que passe por X. Esta reta y pode ser qualquer exceto p ou PX (o mais conveniente é escolher y=AX ou, caso aconteça que esta coincida com PX, escolha-se y=BX). E a polar de X é x=PY.

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Para qualquer ponto X, não incidente em AP, BP ou p a sua polar (pela polaridade (ABC)(Pp) é x=[AP.(a.PX)(p.AX)][BP.(b.PX)(p.BX)] Um exercício interessante pode ser escrever a expressão (dual da anterior) para o polo X de uma reta x que não passe por A_p, B_p ou P e desenhar a figura que ilustre esta construção dual.

Triângulos polares perspetivos por um ponto

Na entrada anterior demonstrámos que se ABC e A'B'C' (ou abc e a'b'c') são triângulos distintos e polares um do outro, então são perspetivos ou mais concretamente, demonstrámos que.
se as polares a', b', c' dos vértices de um triângulo ABC não coincidem com os seus lados opostos a, b, c, então a.a', b.b', c.c' são pontos colineares.

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É certo que se dois triângulos polares ABC e a'b'c' (distintos) são perspetivos relativamente a uma reta n=A₁B₁, serão perspetivos relativamente a um ponto N. Acrescente-se que este ponto N é o polo dessa reta n.
Retomamos a construção dinâmica do artigo anterior.


[A.A.M]

A reta n foi obtida como a reta passando pelos pontos A₁=a.a'=BC.a', B₁=b.b'=AC.b', C₁=c.c'=AB.c'.
O polo N dessa reta n é obtido como ponto de interseção das retas (b'.c')A e (a'.c')B. Como é óbvio a reta (a'.b')C também passa por N que é o centro da perspetividade que transforma ABC em (b'.c')(a'.c')(a'.b').