Relação entre pontos conjugados e retas conjugadas por polaridade associada a cónica

Se um triângulo PQR está inscrito numa cónica, qualquer reta conjugada comum dos seus lados encontra os outros em pontos conjugados. (Teorema de Seydewitz)
De facto, uma reta conjugada com PQ é a polar de algum ponto C de PQ. Seja S o ponto de intersecção da reta RC com a cónica. Os pontos diagonais de o quadrângulo PQRS formam um triângulo auto-polar cujo lado c incide nos pontos A e B, conjugados, A incidente em QR e B inicidente em PR.

( Dualmente: De um triângulo circunscrito a uma cónica, qualquer ponto conjugado com um dos seus vértices liga-se aos outros dois vértices por retas conjugadas)

Na construção, consideramos R um ponto variável sobre a cónica e P e Q pontos fixos sobre a cónica e chamámos x a PR e y a PQ. Podemos deslocar R sobre a cónica e verificar que quando R coincide com P (ou com Q) x=y=d=PQ.
Sendo x e y retas a passar por pontos de uma cónica, R comum, variável, e outros dois fixos P e Q (x=PR e y=RQ), x e y são projetivas. (Teorema de Steiner)
Já sabemos que as tangentes p (em P) e q (em Q) se encontram em D=p.q que é o polo de PQ. Seja uma reta c que passe por D, mas não passe por P nem por Q.
Como x.c=B e y.c=A, AB é um par em involução de pontos conjugados em c. Fazendo variar R=x.y sobre a cónica verá que x→B→A→y x e y são projetivos, ficando concluida assim a demonstração do teorema de Steiner.

Sendo d=PQ e C₁=c.d, P e Q são posições possíveis para R. Quando R=P, y=d, A=C₁, B é ponto conjugado de D, e x=p. Do mesmo modo, quando R=Q, x=d, B=C₁, A=D e y=q. Quando y é d, x é p quando x é d, y é q
( Dualmente: Considere-se uma tangente a uma cónica, variável, que interseta duas outras tangentes à mesma cónica, fixas, em dois pontos X e Y. X e Y são projetivos)

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Coxeter. Introduction to Geometry, Wiley & Sons. NY:1969
Coxeter. Projective Geometry. Springer. NY:1994 " width="700">