Novos pontos sobre a cónica de que se dão três pontos e as tangentes em dois deles

Uma cónica fica determinada por 3 dos seus pontos P,Q, R e pelas tangentes p e q em dois deles, P e Q respetivamente.
Retomamos nesta entrada a construção feita na entrada anterior, mas tomamos agora um ponto C de PQ diferente de RD.PQ
A polar c de C∈ PQ passará forçosamente por D, polo de PQ=d e pelo conjugado harmónico de C relativamente a P e Q, C₁ determinado sobre PQ: c=C₁D. Essa cónica é a mesma cónica associada à polaridade determinada pelo quadrângulo PQRS autoconjugados que admite ABC como triângulo diagonal auto-polar: A=RQ.c, B=RQ.c e S=AP.BQ ou seja (ABC)(Pp)
Fixado C sobre PQ, c é agora uma polar de C comum a todas as cónicas do "feixe" de cónicas que se tocam em P e Q. Pode verificar isso, fazendo variar unicamente R.
Sendo C₂= RC.c, RS é um par da involução (CC)(C₂C₂) sobre h=RC.
Concluímos assim que:
De todas as cónicas tangentes a duas retas em pontos dados, aquelas que encontram uma terceira reta (que não passe por quaisquer dos outros pontos) fazem-no em pares de pontos de uma involução.

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Repare que pode tomar qualquer ponto C sobre a reta d=PQ e, a cada posição de C corresponderá um ponto S de tal modo que RS é um par da involução (CC)(C₂C₂). Este resultado aponta o processo para determinar pontos da cónica definida por (ABC)(Pp).

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).