Uma polaridade, uma cónica

Na entrada anterior, tratámos da definição projetiva de cónicas com recurso às perspetividades e projetividades entre pontuais e entre feixes. Ocupar-nos-emos agora de uma outra abordagem da cónica; usando polaridades - correspondências que, associando a cada ponto A uma só reta a, fazem corresponder à reta a o ponto A, caso particular de correlação projetiva.
Algumas notas sobre polaridades já abordadas antes:

• Se, por uma polaridade, ao ponto A corresponde uma reta a, chamamos a A polo da reta a e desta dizemos que é a polar de A.
• Por ser uma correlação projetiva, as polares dos pontos de a formam um feixe de retas passando por A.
• Qualquer polaridade dualiza incidências e isso signica que se A incide em b a sua polar a passa pelo polo B de b. Quando isto acontece dizemos que A e B são pontos conjugados e que a e b são retas conjugadas.
• Se A incidir na sua polar a, diz-se que A é auto-conjugado: A pertence à sua polar a ou a passa pelo seu polo.
• Uma reta que tem dois pontos auto-conjugados não pode ser uma reta autoconjugada e
• Uma reta nunca pode ter mais que dois pontos auto-conjugados
• Uma polaridade induz uma involução de pontos conjugados em qualquer reta que não seja auto-conjugada. De facto, sobre uma reta c não auto-conjugado, a projetividade que faz corresponder a um ponto qualquer X o ponto Y de intersecção de c com a reta x polar de X transforma um ponto B não auto-conjugado num outro ponto A=c.b, cuja polar é BC e, do mesmo modo, transforma A em B. Esta projetividade permuta dois pontos de c é uma involução em c. Dualmente, as retas x e CX são emparelhadas pela involução de retas conjugadas tiradas por C.
• A um triângulo, em que cada vértice tem como polar o lado oposto (em que quaisquqer dois vértices são conjugados e quaisquer dois lados são retas conjugadas) chamamos triângulo auto-polar
• À semelhança do que pensámos para as involuções, podemos dividir as polaridades em dois tipos: as que admitem pontos auto-conjugados e as que não admitem qualquer ponto autoconjugado. Claro que é o mesmo que dizer se admitem ou não admitem retas auto-conjugadas.

Uma polaridade com pontos auto-conjugados também admite obviamente retas autoconjugadas. E pode ficar bem descrita simbolicamente por (ABC)(Pp), sendo P incidente em p.
A existência de um tal ponto P auto-conjugado basta, já que a sua existência garante que, para além dele, em cada reta diferente de p que passa por P há um outro ponto auto-conjugado.
Como sabemos o único ponto auto-conjugado de uma reta auto-conjugada é o seu polo (que é único). Dualmente, a única reta auto-conjugada a passar por um ponto P auto-conjugado é a sua polar p (única). Sobre qualquer reta, não seja p, tirada por P, é induzida uma involução de pontos conjugados. Por esta involução, essa reta que tem P como ponto invariante (duplo), terá um segundo ponto invariante Q, o qual é um outro ponto auto-conjugado da polaridade.
Quer isto dizer, que a existência de um ponto auto-conjugado para uma dada polaridade implica a existência de muitos pontos auto-conjugados. Ao lugar geométrico dos pontos auto-conjugados numa dada polaridade chamamos cónica. E às polares dos pontos auto-conjugados chamaremos tangentes à cónica. Fica assim estabelecida uma definição de cónica como figura auto-dual: lugar geométrico dos pontos auto-conjugados de uma polaridade e envolvente das retas auto-conjugadas .
E, a partir de agora, consideramos que falar de uma cónica é o mesmo que falar da polaridade associada,se falamos de polo (ou polar) pode ser e é no sentido de polo (ou polar) relativamente a uma cónica, e, em vez de conjugado para a polaridade, conjugado relativamente a cónica. Uma tangente tem um só ponto (o seu polo) em comum com a cónica, chamado ponto de contato ou de tangência. Qualquer outra reta é secante ou não secante conforme corte a cónica em dois pontos ou não corte, isto é, conforme a involução de pontos conjugados tem ou não pontos invariantes.