Novo exemplo de rosácea

A figura da construção seguinte ilustra um grupo de simetrias do tipo D₄, composta por um octógono e um dodecágono estrelado concêntricos e com alguns eixos alinhados. Vistos separadamente, teríamos um
D₈ e um D₁₂. O número de simetrias da figura é 4=MDC(8,12), como pode confirmar, clicando em "rodar para ver" e deslocando o ponto verde no sentido positivo. Gerado por uma reflexão axial s e uma rotação g de 90 graus de amplitude, D₄={Id, g, g², g³, s, s.g, s.g², s.g³}

Outro exemplo de rosácea

Na construção seguinte, a rosácea é constituída por quatro braços vermelhos (sobre as diagonais de um quadrado) e três braços azuis (a partir do centro de um triângulo equilátero para os seus vértices) a partir de um mesmo centro. Poderá clicar no "rodar para ver" e confirmar que há um só eixo de simetria da figura e só uma rotação de volta inteira fará corresponder a figura a si mesma. Tal como se esperava, já que o máximo divisor comum a 4 e 3 é 1. Trata-se, pois, de uma rosácea D₁.

Exemplo de rosácea

A construção seguinte ilustra o caso de uma rosácea de tipo D₄. A figura é constituída por um octógono com 8 eixos de simetria e 8 simetrias rotacionais geradas por uma rotação de 45 graus e por um quadrado interior com 4 eixos de simetria e 4 simetrias rotacionais geradas por uma rotação de 90 graus. Por terem 4 eixos coincidentes e as 4 rotações do quadrado serem quatro das rotações que transformam o octógono em si mesmo, o grupo de simetrias da figura completa é D₄.

Para verificar as simetrias rotacionais, clique no botão rodar para ver e, por deslocação no sentido contrário dos pontos do relógio do ponto verde, pode acompanhar o que acontece com a figura completa.



No caso da construção, repare-se que o máximo divisor comum a 8 e 4 é 4.
Há figuras com octógonos e quadrados concêntricos sem quaisquer eixos de simetria coincidentes?

Grupos de Simetria de Leonardo.

Consideremos um conjunto de isometrias do plano, munido da operação produto (ou composição) assim definida: Para cada ponto A, f.g(A)= g(f(A)). Este conjunto constitui-se em grupo se se verificar que (a) o produto de duas quaisquer das isometrias do conjunto é uma iosmetria do conjunto; (b) o produto é associativo; (c) a identidade ou elemento neutro para o produto é isometria do conjunto; e (d) para cada isometria do conjunto, nele há uma outra isometria (sua inversa) que a neutraliza pelo produto.

A qualquer grupo finito de isometrias do plano, para o qual há um ponto que permanece invariante por aplicação de qualquer das isometrias do grupo, há quem dê o nome de grupo de simetrias de Leonardo, de rosácea, de roseta, .... Estes grupos de isometrias em número finito (grupo de simetrias de Leonardo) são constituídos apenas por rotações e reflexões e podem ser de dois tipos. A saber:

1. Um primeiro constituído pelos grupos cíclicos, designados por C_n, gerados por uma rotação cuja amplitude é resultado da divisão de 360 graus por n.
   
   A construção seguinte ilustra o grupo C₃ gerado por uma rotação g de amplitude 120 graus, assim constituído: C₃={Id, g, g²}, em que Id é a identidade (igual a g³). Pode clicar no botão "rodar para ver" para, deslocando o ponto verde, verificar que as rotações de 120, 240 e 360 graus transformam a figura em si mesma.
   
   >
   Nota: Verifica-se facilmente que para um mesmo centro, a rotação de +120 graus (sentido directo) é igual à rotação de -240 graus (no sentido dos ponteiros do relógio), que a rotação de 240 graus é igual ao produto por si mesma de uma rotação de 120 graus, etc.
   
2. Um segundo constituído pelos grupos diédricos, que se representam por D_n, gerados por uma rotação e uma reflexão cujo eixo passa pelo centro da rotação.

A construção seguinte ilustra o grupo D₃ que é gerado por uma rotação g, de 120 graus, e por uma reflexão s. Os seus elementos são D₃={Id, g, g², s, s.g, s.g²}

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Nota: O grupo D₁ é gerado por uma única reflexão.


Ver: Casalderrey, F.M.; A burla dos sentidos - a arte vista com olhos matemáticos. RBA. 2010

Grupos de Simetria - nota de abertura.

O conjunto das isometrias (translações, rotações, reflexões e reflexões deslizantes) do plano, munido da composição de funções, é um grupo. Vimos que a composta de duas isometrias é ainda uma isometria, que a composição é comutativa, associativa, tem elemento neutro (identidade) e que para cada isometria há uma outra que, por composição, a neutraliza. Na abordagem que fizemos antes (de 30/10/2009 a 29/11/2009 ), também verificámos que o conjunto das translações é um subgrupo do grupo das isometrias, bem como é subgrupo o conjunto das rotações munido da composição. Já não acontece o mesmo com o conjunto das reflexões.

Dizemos que uma figura geométrica, F, do plano é simétrica (ou tem simetria) quando há uma isometria do plano que a faz corresponder a si mesma. Por exemplo, a reflexão de eixo AC aplicada a um quadrado ABCD faz corresponder A a A, C a C, B a D e D a B e obviamente, mantém invariantes os pontos do segmento AC (no quadrado) e faz corresponder a cada um dos outros pontos do quadrado, um outro ponto do quadrado. À recta AC chamamos por isso eixo de simetria do quadrado ABCD. Para além de várias reflexões, há várias rotações que transformam cada ponto de um quadrado noutro ponto do mesmo quadrado, no caso mantendo um só ponto invariante - centro da rotação. Já por uma translação associada a um vector não nulo, uma figura geométrica nunca é transformada em si mesma.

Na construção que se segue, clique no botão "reflexão" para seguir um ponto P e a sua reflexão no espelho e=AC e verificar que cada ponto do quadrado tem imagem no quadrado e se sair do quadrado a imagem de P cai fora dele. Clicando sobre o botão da reflexão para a ocultar, ao clicar no no botão "rotação" (de centro O e amplitude +90) pode fazer verificação do mesmo tipo. Um ponto P do quadrado tem imagem no quadrado e do exterior do quadrado tem imagem no exterior.

Relações métricas no paralelogramo

Relações métricas no paralelogramo

Relações métricas no paralelogramo

Relações métricas no paralelogramo

Relações métricas no paralelogramo

Relações métricas no paralelogramo

Relações métricas no paralelogramo

Dado um paralelogramo ABCD, por C traça-se uma reta r que divida a diagonal BD em duas partes, EB e ED, tais que EB=4.ED. Seja F o ponto de interseção de r com AD. Verifica-se que FA=3.FD.




Uma recta tirada pelo vértice C de um paralelogramo que determina na diagonal oposta BD a sua quinta parte determinará no lado AD a sua quarta parte.
Este resultado pode generalizar-se obviamente e a sua demonstração baseia-se na semelhança entre os triângulos BCE e DEF.

Relações métricas no paralelogramo

Tomemos um paralelogramo ABCD e uma reta r passando por A que não corte o paralelogramo. Para os segmentos BB', CC' e DD', das perpendiculares a r tiradas por B, C e D, verifica-se que
CC'= BB' + DD'
se C for o vértice do paralelogramo oposto a A.




Demonstre esse resultado.
O que acontece se r cortar o paralelogramo?

Relações métricas no paralelogramo

Num paralelogramo ABCD, tomemos os pontos médios de AB e CD, M e N respectivamente. DM e BN cortam a diagonal AC em dois pontos R e S que a cortam em três segmentos iguais

Na construção dinâmica que se apresenta a seguir pode verificar que assim parece. Desloque os vértices do quadrilátero livremente para ver o que se passa. Pode provar o resultado?

Relações métricas nos quadriláteros - lados e diagonais

A soma das diagonais de um quadrilátero convexo está entre os seus semiperímetro e perímetro.

Na construção dinâmica que se apresenta a seguir pode verificar que assim é. E também que assim não é para quadriláteross côncavos. Desloque os vértices do quadrilátero livremente para ver o que se passa. Depois, pode pensar em justificar esse resultado.

Relações métricas nos quadriláteros - paralelogramos

Pelo vértice A do paralelogramo ABCD traça-se uma secante que intersete a diagonal BD no ponto E, o lado BC em F e o lado CD em F. Verifica-se que:
EA² = EF.EG

Relações métricas no quadrilátero - trapézio, divisão das bases

Num trapézio ABCD, a bissetriz do ângulo formado pelos lados, AD e BC, não paralelos divide cada uma das bases, AB e CD, em segmentos proporcionais aos lados não paralelos que lhe são adjacentes:
MA / MB = ND / NC = AD / BC

Relações métricas no triângulo retângulo

Seja ABC um triângulo retângulo em que b=AC, c=AB; D é o pé da bissetriz do ângulo em A; k=AD.
Verifica-se que:

√2/k=1/b+1/c

Relações métricas no triângulo retângulo

Seja ABC um triângulo retângulo em A. Do ponto D, qualquer, da hipotenusa tira-se DE perpendicular
a AB e DF perpendicular a AC. Verifica-se que:

DB.DC=EA.EB+FA.FC

Relações métricas no triângulo retângulo

O triângulo ABC é retângulo em A.
Seja M o ponto médio de AB. Verifica-se que a diferença dos quadrados dos segmentos CP e PB é igual ao quadrado de AC.






Para demonstrar esta proposição, consideram-se os triângulos retângulos CPM, MPB, MAC.

Relações métricas no triângulo retângulo - a divisão da hipotenusa

Num triângulo retângulo, se um cateto é o dobro do outro, então o pé da altura relativa à hipotenusa divide-a em dois segmentos, sendo o maior quádruplo do menor.






Os triângulos ABC,ACD e ABD são semelhantes. Da semelhança entre estes últimos:AC/AB=CD/AD=AD/BD. Como AB=2.AC, AD=2.CD então BD=2.AD=4.CD

Relações métricas no triângulo - o ovo

Há problemas assim:
Do triângulo ABC, prolongue-se BC e tome-se F tal que BF=4.BC. Una-se F com o ponto médio D de AB, obtendo uma recta que divide por E o lado AC. E saiba que, e não só na Páscoa, que

4.AC=7.AE





A pergunta não é Qual é o interesse disso?", mas antes Porque será?
Bom domingo para pensar nisso.

Relações métricas no triângulo - lados e medianas

De um triângulo qualquer ABC, consideremos os seus lados a, b, c e as suas medianas m,n,p. Conjecturamos que
9(a⁴+b⁴+c⁴) = 16(m⁴+n⁴+p⁴) .
Demonstre.





Nas deambulações pelos velhos livros em busca de resultados métricos sobre triângulos (para exemplos de novos exercícios e problemas a propor) sempre vamos encontrando aqueles que nos deixam espantados e nos comprovam como era e é possível apresentar propostas hilariantes. Estas propostas são tanto mais hilariantes quanto é certo que muitas delas apareceram em provas de exame. Para o resultado apresentado era pedida a demonstração duma prova de exame dos cursos técnicos franceses aplicados a aspirantes a marinheiro. Há muitos exemplos semelhantes que podem ser retirados de antigos exames portugueses (de exames de admissão à universidade, ou finais dos cursos complementares liceal e técnico, dos exames do propedêutico ou dos exames do 12º ano). Não é preciso melhor exemplo para provar que à época havia poucas bolsas para o curso em causa. Nem para as outras coisas que sempre há quem finja não terem existido no tempo em que é que era bom.
(Problèmes d'examens. Bourse des Écoles de navigation de la Marine marchande
Cluzel, Robert. La Géométrie et ses applications. Enseignement Téchnique. Librairie Delagrave. Paris:1964. )

Relações métricas no triângulo - bissetriz

1. (19/4) No triângulo ABC, sejam A', B', C' os pés das perpendiculares tiradas de um ponto P qualquer respetivamente para os lados BC, AC, AB. Verifica-se que:

AB'² +BC'²+CA'² = AC'²+CB'² +BA'²






Para a demonstração, tomam-se os segmentos PA. PB e PC e os triângulos rectângulos PAB', PCB', PBA'. etc a que se aplicam o Teorema de Pitágoras., para obter, por exemplo AB'² = PA²-PB'²....

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2.(20/4)
Num triângulo ABC, tiram-se as perpendiculares BB' e CC' à bissetriz AD do ângulo Â. Os pontos A e D são separados harmonicamente pelos pontos B' e C'.



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Relações métricas no triângulo - alturas, ortocentro

De um triângulo qualquer ABC, as alturas encontram-se no ortocentro H, ficando cada uma delas dividida em dois segmentos, por exemplo, AH e HH_a. Verifica-se que

AH.HH_a=BH.HH_b =CH.HH_c

Relações métricas num triângulo equilátero

As alturas de um triângulo equilátero têm comprimentos iguais. Tomado um ponto P variável dentro de um triângulo equilátero ABC, as distâncias de P aos lados AB, BC e CA têm soma constante igual à altura de ABC.





O que aconteceria se o triângulo fosse simplesmente isósceles?

Relações métricas no triângulo isósceles

Num triângulo isósceles ABC em que AC=BC, as distâncias de um ponto P de AB aos lados AC e BC têm soma constante.






Porquê? Constante igual a quê?

Relações métricas nos triângulos

No triângulo ABC, sejam:

• a, b, c os comprimentos dos lados
• a', b', c' as distâncias do ortocentro H respetivamente a A, B, C
• R o raio do circuncírculo
.

Verifica-se que:

a²+a'² = b²+b'² = c²+c'² = 4 R²

Relações métricas no triângulo

Num triângulo ABC, tomemos um ponto P sobre o lado BC. Os raios das circunferências definidas por ABP e ACP são proporcionais respetivamente aos lados AB e AC.

Relações métricas no triângulo - lados e pés das alturas

Num triângulo qualquer ABC, tirem-se as alturas e considerem-se os seus pés nos lados opostos a cada um dos vértices, A' pé da altura tirada de A, B' de B e C' de C. Verificam-se as seguintes relações
AB.AC'=AC.AB'

AB'.BC'.CA' = AC'.CB'.BA'




Claro que estas relações não são mais do que representantes de cada uma das famílias de relações que se obtém de outra por permutação.

Relações métricas no triângulo isósceles inscrito.

O triângulo isósceles ABC está inscrito numa circunferência.Tome-se uma corda AE que intersecte o lado BC em D
AB² = AD.AE.



A demonstração deste facto baseia-se na semelhança entre ABD e ABE que têm um ângulo comum e dois outros iguais porque inscritos em arcos iguais.
Esta relação não é mais que um caso particular da relação da entrada anterior quando o triângulo ABC então considerado é um triângulo isósceles (quando B' coincide com C').

Relações métricas - triângulos inscritos com um lado paralelo

O triângulo ABC está inscrito numa circunferência. A corda B'C' é paralela ao lado BC. AC' interseta BC em D. Verifica-se a seguinte relação:
AB.AC = AB'.AD.



A demonstração deste facto baseia-se na semelhança entre ABB' e ADC.

Relações métricas - Recta e circunferência

Dada uma reta r e uma circunferência de centro O, sendo AC a perpendicular a r que corta a circunferência em B (AB é um diâmetro). Tomada qualquer reta AM que corta circunferência em M e a reta em M', verifica-se que AM.AM'=AB.AC invariante



A demonstração deste facto baseia-se na semelhança entre AMB e AM'C, retângulos em M e C e com o ângulo A comum.

Relações métricas - triângulo, bissetriz e circunscritas

Tomemos um triângulo ABC e a bissetriz interna do ângulo A. Seja D o pé da bissetriz no lado BC. Cada uma das circunferências circunscritas aos triângulos ABD e ACD intersectam os lados AB e AC nos pontos E e F. E o interessante é que se verifica BE = CF


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Borboleta, de novo

Na entrada A borboleta de 25 de Junho do ano passado, escrevia-se:

Tomem-se A,B,C e D sobre uma circunferência de centro O e de tal modo que AC intersecte BD num ponto P. A perpendicular a OP tirada por P intersecta BC e AD em M e N, respectivamente.
Porque é que |MP|=|NP|?

A Mariana reencontrou o problema durante a leitura de um livro de divulgação (Ruelle; O cérebro do matemático. Ciência Aberta. Gradiva), retomou a pergunta e procurou uma resposta diferente da indicada no livro. Aqui fica:

Relações métricas na circunferência - as secantes

Se por um ponto A, conduzirmos duas rectas a cortar uma circunferência, uma delas em B e C e a outra em D e E, verifica-se a igualdade
AB.AC=AD.AE
Pode deslocar A, para tomar diferentes pontos de partida (dentro, sobre e fora da circunferência) e B ou D para tomar diversas secantes a passar por A.


Claro que, para a demonstração, basta constatar a igualdade dos ângulos cada um a cada um dos triângulos ADC e ABE, como a figura bem mostra e saber que em triângulos semelhantes a razão entre lados opostos a ângulos iguais é constante.
Esta demonstração pode ser um bom exercício para os estudantes do 9º ano de escolaridade.

O resultado com A no exterior da circunferência já foi abordado em antigas entradas. Terá interesse específico abordar o recíproco: Se AB.AC=AD.AE , então B,C, D, E são pontos da mesma circunferência?

Outra forma de olhar para a reta como lugar geométrico

Os vértices P dos triângulos ABP, tais que AP²-BP² é constante, estão sobre uma reta. Dito de outro modo, é uma reta o lugar geométrico dos pontos P para os quais é contante a diferença dos quadrados das suas distâncias a dois pontos fixos A e B.




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Outra forma de olhar para a circunferência como lugar geométrico

Os vértices P dos triângulos ABP, tais que AP²+BP² é constante, estão sobre uma circunferência. Dito de outro modo, é uma circunferência o lugar geométrico dos pontos P para os quais é contante a soma dos quadrados das suas distância a dois pontos fixos A e B.




Com o ponto O pode controlar o valor da constante. Para cada constante, há uma circunferência.

Quadrados dos lados e ângulos

Com a construção interactiva que se segue, pode verificar que para haver triângulo e sempre que há triângulo se verifica que um qualquer dos lados do triângulos é menor que a soma dos outros dois. E que, num triângulo qualquer, ao lado de maior comprimento se opôe o ângulo de maior amplitude. E que se um ângulo, por exemplo  é reto se verifica que a² =b²+c² (Teorema de Pitágoras). Mas aqui está para que possa verificar o que tem a ver com a entrada anterior. Se  for obtuso (Â>90º), a² > b²+c² e se  for agudo (90º>Â), b²+c²>a². Os resultados recíprocos são obviamente verdadeiros.



Pode deslocar A,B ou C. Procure deslocar A de modo a que  seja agudo, obtuso e reto e veja as mudanças de texto. Muito difícil é acertar no  reto.

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Num triângulo agudo o quadrado desenhado sobre um dos lados tem sempre menor área que a soma das áreas dos dois desenhados sobre os outros lados.
Já no triãngulo obtusângulo, o quadrado desenhado sobre o lado oposto ao ângulo obtuso tem sempre área maior que a soma das áreas dos desenhados sobre os outros lados.
Quando o triãngulo for retângulo, ....

Relações métricas no triângulo - de entre alturas e lados à fórmula de Heron

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Relações métricas envolvendo triângulos inscritos num triângulo

Dado um triângulo ABC, qualquer triângulo DEF inscrito em ABC tem um perímetro maior ou igual ao perímetro do triângulo de vértices nos pés das alturas do triângulo ABC

Na construção dinâmica que se segue, pode deslocar os vértices do triângulo ABC bem como os vértices do triângulo DEF inscrito em ABC, para confirmar que essa relação se mantém com diversos triângulos ABC e respetivos órticos, ou com os diversos triângulos DEF inscritos num mesmo triângulo ABC

Relações métricas no triângulo - os raios das circunferências circunscrita e inscrita

Para um triângulo ABC há uma circunferência a ele circunscrita (a passar pelos seus vértices ) e uma outra nele inscrita (tangente aos seus três lados). O raio da circunscrita é no mínimo duplo do raio da inscrita.

Na construção dinâmica que se segue, pode deslocar os vértices do triângulo, para confirmar que essa relação se mantém e para ver em que condições o circun-raio é dobro do in-raio.




Sobre esta construção pode ainda confirmar e relembrar outras relações métricas que já foram , de um modo ou doutro, referidas em antigas entradas e que ligam os raios das circunferências inscrita e circunscrita com a área e o perímetro do triângulo ou com a distância entre o incentro e o circuncentro. Todas as relações aqui referidas estão relacionadas e são mobilizadas na demonstração do resultado em destaque nesta entrada.

Relações métricas num triângulo - uma desigualdade de Erdös

Em 1935, no nº 42 da American Mathematical Monthly, era publicado o problema 3740, proposto por Paul Erdös:
De um ponto O do interior de um triângulo ABC tiram-se perpendiculares OP, OQ e OR aos seus lados. Provar que
OA+OB+OC ≥2(OP+OQ+OR)
O problema foi resolvido de muitas maneiras diferentes e é isso que lhe dá uma importância redobrada para quem ensina. O problema pode ser resolvido só com matemática básica, só com trigonometria básica e secundária, com recurso a outros teoremas mais ou menso conhecidos (Ptolomeu, por exemplo). Claro que resolver o problema só com resultados básicos exige uma disciplina especial para ver que passos dar e por que ordem, que resultados se aplicam a cada passo, etc.

A primeira solução é atribuída a Mordell(mentor de Erdòs) e é por isso que o problema (ou a conjectura) de Erdös passou para a história como Teorema de Erdös-Mordell.

O outro encanto do problema tem a ver com imaginar o trabalho de desenho e medidas de muitos e muitos triângulos que Erdös deve ter feito para chegar ao enunciado da sua conjectura.
Aqui, apresentamos uma construção dinâmica que lhe permite trabalhar com centenas de triângulos (deslocando os seus vértices) e com muitos pontos do interior de cada triângulo deslocando O. Pode ver também em que condições há igualdade, etc

Relações métricas num paralelogramo - lados e diagonais

A soma dos quadrados dos lados de um paralelogramo é igual à soma dos quadrados das suas diagonais.

Na construção dinâmica, pode deslocar os vértices do paralelogramo para verificar que as relações métricas se mantêmo.

Relações métricas - distância de um ponto aos vértices de um retângulo

A soma dos quadrados das distâncias de um ponto P a dois vértices opostos de um retângulo é igual à soma dos quadrados das distâncias de P aos outros dois vértices.

Na construção dinâmica, pode deslocar P e vértices do retângulo para verificar que as relações métricas se mantêm, mesmo quando P está no exterior do retângulo.

Relações métricas envolvendo triângulos e circunferências - áreas

No ensino básico são abordados vários resultados com áreas de triângulos e como é óbvia a semelhança entre os triângulos equiláteros inscrito e circunscrito na mesma circunferência, deve ser posta à consideração dos alunos a relação entre as áreas desses triângulos.
O resultado que hoje aqui apresentamos pode também ser abordado no ensino básico, envolvendo o hexágono convexo regular inscrito e as razões entre as áreas dos triângulos inscrito e circunscrito e a área do hexágono:
A área do hexágono inscrito numa circunferência é o meio proporcional entre as áreas dos triângulos inscrito e circunscrito na mesma circunferência.

Na construção dinâmica, pode deslocar F e O para verificar que as relações métricas se mantêm qualquer que seja o raio da circunferência e os lados dos triângulos e hexágono.

Relações métricas no triângulo - da circunferência definida por A, Ma e pé da bissetriz de Â

Num triângulo ABC,  a circunferência que passa pelos vértice A, ponto médio de BC e pé em BC da bissetriz interior do ângulo A  corta os lados AB e AC em dois pontos E e F. Verifica-se que BE=CF.

Relações métricas no triângulo - Medianas do triângulo retângulo

Num triângulo ABC, retângulo em A, a soma dos quadrados das medianas relativas aos catetos é quíntupla do quadrado da mediana relativa à hipotenusa.

Relações métricas no triângulo - lados e medianas

Num triângulo ABC, o triplo da soma dos quadrados dos seus lados é quádrupla da soma dos quadrados das suas medianas.




Pode deslocar A, B ou C para verificar que esta relação métrica se mantém.

Relações métricas no triângulo - lados e distâncias dos vértices ao baricentro

Num triângulo ABC, a soma dos quadrados dos seus lados é tripla da soma dos quadrados das distâncias de cada vértice ao ponto G de encontro das suas medianas.






Pode deslocar A, B ou C para verificar que esta relação métrica se mantém.