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16.6.11

Outro exemplo de rosácea

Na construção seguinte, a rosácea é constituída por quatro braços vermelhos (sobre as diagonais de um quadrado) e três braços azuis (a partir do centro de um triângulo equilátero para os seus vértices) a partir de um mesmo centro. Poderá clicar no "rodar para ver" e confirmar que há um só eixo de simetria da figura e só uma rotação de volta inteira fará corresponder a figura a si mesma. Tal como se esperava, já que o máximo divisor comum a 4 e 3 é 1. Trata-se, pois, de uma rosácea D1.





14.6.11

Exemplo de rosácea

A construção seguinte ilustra o caso de uma rosácea de tipo D4. A figura é constituída por um octógono com 8 eixos de simetria e 8 simetrias rotacionais geradas por uma rotação de 45 graus e por um quadrado interior com 4 eixos de simetria e 4 simetrias rotacionais geradas por uma rotação de 90 graus. Por terem 4 eixos coincidentes e as 4 rotações do quadrado serem quatro das rotações que transformam o octógono em si mesmo, o grupo de simetrias da figura completa é D4.

Para verificar as simetrias rotacionais, clique no botão rodar para ver e, por deslocação no sentido contrário dos pontos do relógio do ponto verde, pode acompanhar o que acontece com a figura completa.



No caso da construção, repare-se que o máximo divisor comum a 8 e 4 é 4.
Há figuras com octógonos e quadrados concêntricos sem quaisquer eixos de simetria coincidentes?

10.6.11

Grupos de Simetria de Leonardo.

Consideremos um conjunto de isometrias do plano, munido da operação produto (ou composição) assim definida: Para cada ponto A, f.g(A)= g(f(A)). Este conjunto constitui-se em grupo se se verificar que (a) o produto de duas quaisquer das isometrias do conjunto é uma iosmetria do conjunto; (b) o produto é associativo; (c) a identidade ou elemento neutro para o produto é isometria do conjunto; e (d) para cada isometria do conjunto, nele há uma outra isometria (sua inversa) que a neutraliza pelo produto.

A qualquer grupo finito de isometrias do plano, para o qual há um ponto que permanece invariante por aplicação de qualquer das isometrias do grupo, há quem dê o nome de grupo de simetrias de Leonardo, de rosácea, de roseta, .... Estes grupos de isometrias em número finito (grupo de simetrias de Leonardo) são constituídos apenas por rotações e reflexões e podem ser de dois tipos. A saber:
  1. Um primeiro constituído pelos grupos cíclicos, designados por Cn, gerados por uma rotação cuja amplitude é resultado da divisão de 360 graus por n.

    A construção seguinte ilustra o grupo C3 gerado por uma rotação g de amplitude 120 graus, assim constituído: C3={Id, g, g2}, em que Id é a identidade (igual a g3). Pode clicar no botão "rodar para ver" para, deslocando o ponto verde, verificar que as rotações de 120, 240 e 360 graus transformam a figura em si mesma.

    >

    Nota: Verifica-se facilmente que para um mesmo centro, a rotação de +120 graus (sentido directo) é igual à rotação de -240 graus (no sentido dos ponteiros do relógio), que a rotação de 240 graus é igual ao produto por si mesma de uma rotação de 120 graus, etc.
  2. Um segundo constituído pelos grupos diédricos, que se representam por Dn, gerados por uma rotação e uma reflexão cujo eixo passa pelo centro da rotação.

A construção seguinte ilustra o grupo D3 que é gerado por uma rotação g, de 120 graus, e por uma reflexão s. Os seus elementos são D3={Id, g, g2, s, s.g, s.g2}






Nota: O grupo D1 é gerado por uma única reflexão.


Ver: Casalderrey, F.M.; A burla dos sentidos - a arte vista com olhos matemáticos. RBA. 2010