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16.6.11
Outro exemplo de rosácea
Na construção seguinte, a rosácea é constituída por quatro braços vermelhos (sobre as diagonais de um quadrado) e três braços azuis (a partir do centro de um triângulo equilátero para os seus vértices) a partir de um mesmo centro. Poderá clicar no "rodar para ver" e confirmar que há um só eixo de simetria da figura e só uma rotação de volta inteira fará corresponder a figura a si mesma. Tal como se esperava, já que o máximo divisor comum a 4 e 3 é 1. Trata-se, pois, de uma rosácea D1.
14.6.11
Exemplo de rosácea
A construção seguinte ilustra o caso de uma rosácea de tipo D4. A figura é constituída por um octógono com 8 eixos de simetria e 8 simetrias rotacionais geradas por uma rotação de 45 graus e por um quadrado interior com 4 eixos de simetria e 4 simetrias rotacionais geradas por uma rotação de 90 graus. Por terem 4 eixos coincidentes e as 4 rotações do quadrado serem quatro das rotações que transformam o octógono em si mesmo, o grupo de simetrias da figura completa é D4.
Para verificar as simetrias rotacionais, clique no botão rodar para ver e, por deslocação no sentido contrário dos pontos do relógio do ponto verde, pode acompanhar o que acontece com a figura completa.
No caso da construção, repare-se que o máximo divisor comum a 8 e 4 é 4.
Há figuras com octógonos e quadrados concêntricos sem quaisquer eixos de simetria coincidentes?
Para verificar as simetrias rotacionais, clique no botão rodar para ver e, por deslocação no sentido contrário dos pontos do relógio do ponto verde, pode acompanhar o que acontece com a figura completa.
No caso da construção, repare-se que o máximo divisor comum a 8 e 4 é 4.
Há figuras com octógonos e quadrados concêntricos sem quaisquer eixos de simetria coincidentes?
10.6.11
Grupos de Simetria de Leonardo.
Consideremos um conjunto de isometrias do plano, munido da operação produto (ou composição) assim definida: Para cada ponto A, f.g(A)= g(f(A)). Este conjunto constitui-se em grupo se se verificar que (a) o produto de duas quaisquer das isometrias do conjunto é uma iosmetria do conjunto; (b) o produto é associativo; (c) a identidade ou elemento neutro para o produto é isometria do conjunto; e (d) para cada isometria do conjunto, nele há uma outra isometria (sua inversa) que a neutraliza pelo produto.
A qualquer grupo finito de isometrias do plano, para o qual há um ponto que permanece invariante por aplicação de qualquer das isometrias do grupo, há quem dê o nome de grupo de simetrias de Leonardo, de rosácea, de roseta, .... Estes grupos de isometrias em número finito (grupo de simetrias de Leonardo) são constituídos apenas por rotações e reflexões e podem ser de dois tipos. A saber:
A construção seguinte ilustra o grupo D3 que é gerado por uma rotação g, de 120 graus, e por uma reflexão s. Os seus elementos são D3={Id, g, g2, s, s.g, s.g2}
Nota: O grupo D1 é gerado por uma única reflexão.
Ver: Casalderrey, F.M.; A burla dos sentidos - a arte vista com olhos matemáticos. RBA. 2010
A qualquer grupo finito de isometrias do plano, para o qual há um ponto que permanece invariante por aplicação de qualquer das isometrias do grupo, há quem dê o nome de grupo de simetrias de Leonardo, de rosácea, de roseta, .... Estes grupos de isometrias em número finito (grupo de simetrias de Leonardo) são constituídos apenas por rotações e reflexões e podem ser de dois tipos. A saber:
- Um primeiro constituído pelos grupos cíclicos, designados por Cn, gerados por uma rotação cuja amplitude é resultado da divisão de 360 graus por n.
A construção seguinte ilustra o grupo C3 gerado por uma rotação g de amplitude 120 graus, assim constituído: C3={Id, g, g2}, em que Id é a identidade (igual a g3). Pode clicar no botão "rodar para ver" para, deslocando o ponto verde, verificar que as rotações de 120, 240 e 360 graus transformam a figura em si mesma.
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Nota: Verifica-se facilmente que para um mesmo centro, a rotação de +120 graus (sentido directo) é igual à rotação de -240 graus (no sentido dos ponteiros do relógio), que a rotação de 240 graus é igual ao produto por si mesma de uma rotação de 120 graus, etc.
- Um segundo constituído pelos grupos diédricos, que se representam por Dn, gerados por uma rotação e uma reflexão cujo eixo passa pelo centro da rotação.
A construção seguinte ilustra o grupo D3 que é gerado por uma rotação g, de 120 graus, e por uma reflexão s. Os seus elementos são D3={Id, g, g2, s, s.g, s.g2}
Nota: O grupo D1 é gerado por uma única reflexão.
Ver: Casalderrey, F.M.; A burla dos sentidos - a arte vista com olhos matemáticos. RBA. 2010
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