Relações métricas no triângulo - lados e medianas

De um triângulo qualquer ABC, consideremos os seus lados a, b, c e as suas medianas m,n,p. Conjecturamos que
9(a⁴+b⁴+c⁴) = 16(m⁴+n⁴+p⁴) .
Demonstre.





Nas deambulações pelos velhos livros em busca de resultados métricos sobre triângulos (para exemplos de novos exercícios e problemas a propor) sempre vamos encontrando aqueles que nos deixam espantados e nos comprovam como era e é possível apresentar propostas hilariantes. Estas propostas são tanto mais hilariantes quanto é certo que muitas delas apareceram em provas de exame. Para o resultado apresentado era pedida a demonstração duma prova de exame dos cursos técnicos franceses aplicados a aspirantes a marinheiro. Há muitos exemplos semelhantes que podem ser retirados de antigos exames portugueses (de exames de admissão à universidade, ou finais dos cursos complementares liceal e técnico, dos exames do propedêutico ou dos exames do 12º ano). Não é preciso melhor exemplo para provar que à época havia poucas bolsas para o curso em causa. Nem para as outras coisas que sempre há quem finja não terem existido no tempo em que é que era bom.
(Problèmes d'examens. Bourse des Écoles de navigation de la Marine marchande
Cluzel, Robert. La Géométrie et ses applications. Enseignement Téchnique. Librairie Delagrave. Paris:1964. )