Grupos de Simetria de Leonardo.

Consideremos um conjunto de isometrias do plano, munido da operação produto (ou composição) assim definida: Para cada ponto A, f.g(A)= g(f(A)). Este conjunto constitui-se em grupo se se verificar que (a) o produto de duas quaisquer das isometrias do conjunto é uma iosmetria do conjunto; (b) o produto é associativo; (c) a identidade ou elemento neutro para o produto é isometria do conjunto; e (d) para cada isometria do conjunto, nele há uma outra isometria (sua inversa) que a neutraliza pelo produto.

A qualquer grupo finito de isometrias do plano, para o qual há um ponto que permanece invariante por aplicação de qualquer das isometrias do grupo, há quem dê o nome de grupo de simetrias de Leonardo, de rosácea, de roseta, .... Estes grupos de isometrias em número finito (grupo de simetrias de Leonardo) são constituídos apenas por rotações e reflexões e podem ser de dois tipos. A saber:

1. Um primeiro constituído pelos grupos cíclicos, designados por C_n, gerados por uma rotação cuja amplitude é resultado da divisão de 360 graus por n.
   
   A construção seguinte ilustra o grupo C₃ gerado por uma rotação g de amplitude 120 graus, assim constituído: C₃={Id, g, g²}, em que Id é a identidade (igual a g³). Pode clicar no botão "rodar para ver" para, deslocando o ponto verde, verificar que as rotações de 120, 240 e 360 graus transformam a figura em si mesma.
   
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   Nota: Verifica-se facilmente que para um mesmo centro, a rotação de +120 graus (sentido directo) é igual à rotação de -240 graus (no sentido dos ponteiros do relógio), que a rotação de 240 graus é igual ao produto por si mesma de uma rotação de 120 graus, etc.
   
2. Um segundo constituído pelos grupos diédricos, que se representam por D_n, gerados por uma rotação e uma reflexão cujo eixo passa pelo centro da rotação.

A construção seguinte ilustra o grupo D₃ que é gerado por uma rotação g, de 120 graus, e por uma reflexão s. Os seus elementos são D₃={Id, g, g², s, s.g, s.g²}

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Nota: O grupo D₁ é gerado por uma única reflexão.


Ver: Casalderrey, F.M.; A burla dos sentidos - a arte vista com olhos matemáticos. RBA. 2010