Pontos de Gergonne

CEVIANAS TRIVIAIS

São bem conhecidas da geometria básica as alturas – ortocentro, as bissectrizes – incentro, as medianas – baricentro.

A demonstração de que, cada um destes três conjunto de cevianas se intersectam num ponto, pode fazer-se provando que verificam o teorema de Ceva.

PONTO de GERGONNE
As cevianas que unem cada vértice de um triângulo [ABC] ao ponto de contacto do círculo inscrito com o lado oposto, intersectam-se no mesmo ponto – “ponto de Gergonne”.
Note-se que ponto de Gergonne é o ponto de Brianchon relativo ao hexalátero degenerado circunscrito ao círculo, formado pelos três lados a, b, c e os pontos de contacto.
É possível definir pontos de Gergonne relativamente a cada um dos três ex-incírculos (circunferências ex-inscritas).

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Propunha-se: Dado o triângulo [ABC], determinar os seus quatro pontos de Gergonne.

Teorema de CEVA

Estava o teorema de Menelau por completo esquecido, quando, cerca de mil e quinhentos anos mais tarde, o geómetra italiano Giovanni Ceva (1647-1734) o descobriu e lhe deu mais ampla aplicação, na sua obra De lineis rectis, ao estabelecer uma condição para que três cevianas de um triângulo tenham um ponto comum.
Comecemos por recordar o conceito de ceviana: trata-se de um segmento de recta que liga um vértice do triângulo a um ponto da recta a que pertence o lado oposto correspondente.



[A.A.F.]


A demonstração resulta da aplicação do teorema de Menelau a dois triângulos:
- ao triângulo [ACF] intersectado pela transversal EB
- ao triângulo [FCB] intersectado pela transversal DA
o produto membro a membro das relações obtidas conduz à expressão acima.

De volta aos triângulos

Regressamos a um tema inesgotável – TRIÂNGULOS ! É nossa intenção seguir o seguinte plano:

1. pontos notáveis;
   
2. rectas notáveis;
   
3. círculos notáveis;
   
4. cónicas notáveis.
   

Como o tema é… inesgotável, claro que não vamos tratar de “todos” os ponto, “todas” as rectas, “todos” os círculos, “todas” as cónicas. Apenas daremos mais alguns passos.

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Tomaremos como base principal uma obra de 1937 que actualmente é pouco conhecida e difícil de encontrar: “Enciclopedia delle Matematiche Elementari e Complementi”, artigo redigido por Virginio Retali e Giuseppina Biggiogero e intitulado “La Geometria del Triangolo”

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TRIÂNGULOS - PONTOS NOTÁVEIS

Menelau (séc I dC) foi um dos grandes da Escola de Alexandria; da sua vasta obra actualmente apenas se fala no teorema a que se dá o seu nome. Notemos que Melenau procedeu à extensão deste resultado a triângulos esféricos, facto notável para a sua época!
Na construção que se segue, relativa ao teorema de Menelau, pode movimentar os pontos e verificar os cálculos de razões. Verificará que ao movimentar A, B ou C as razões variam e verá porque é que o produto é 1. Verificará que, para cada triângulo [ABC], elas se mantêm invariantes se deslocar os pontos da recta que atravessa o triângulo.

A afinidade generaliza Napoleão.

Generalização do Teorema de Napoleão
Será que os baricentros de n-ágonos regulares construídos (interna ou externamente) sobre cada um dos lados de um dado n-ágono formam por sua vez um outro nágono regular?

Teorema de Thébault
Thébault demonstrou que para um paralelogramo os baricentros dos quadrados construídos (interna ou externamente) sobre os seus lados formam sempre um outro quadrado .

Ora, o triângulo e o paralelogramo são exemplos de polígonos regulares afins, isto é, polígonos que são sempre imagem por uma transformação afim de um triângulo equilátero e de um quadrado, respectivamente.

Teorema de Barlotti
Em 1955, Barlotti, demonstrou que: Dado um n-ágono qualquer, se este for imagem por uma transformação afim de um n-ágono regular, então o n-ágono formado pelos baricentros dos n-ágonos regulares construídos (interna ou externamente) sobre os seus lados é um n-ágono regular



[A.A.F.]

É interessante mover o ponto A’ mudando a direcção da afinidade e observar quando A’,B’,C’ e D’ são colineares ou quando estes coincidem dois a dois.

Fermat?

As rectas que unem os vértices livres dos triângulos construídos externamente ao vértice oposto do triângulo [ABC] intersectam-se no mesmo ponto – primeiro Ponto de Fermat (F). Este ponto é também o ponto de intersecção dos circuncírculos dos triângulos equiláteros.



[A.A.F.]
[Na construção acima, pode movimentar os pontos A , B e C e confirmar, para vários triângulos, a propriedade enunciada]
O primeiro ponto de Fermat de um triângulo é o ponto cuja soma das distâncias aos vértices é mínima.
Fermat desafiou Torricelli a encontrar um ponto tal que a soma das distâncias aos vértices fosse mínima e este passou o desafio a V. Viviani.

Napoleão?

Tracemos: - o triângulo equilátero de base AB, centro Z e o arco de corda AB e centro Z;
- o triângulo equilátero de base BC, centro X e o arco de corda BC e centro X;
- o triângulo equilátero de base CA, centro Y e o arco de corda CA e centro Y.

Tomemos um ponto qualquer D sobre o arco de corda BC e um segmento DE que contenha o vértice C do triângulo dado.
Verifica-se que:
- EA e DB se instersetam num ponto F do arco AB e centro Z;
- o triângulo [DEF] é equilátero.




[A.A.F]

Napoleão revisitado

1. Os centros dos triângulos [GHI] e [XYZ], externo e interno de Napoleão, coincidem com o centro do triângulo inicial [ABC].


2. A diferença entre as áreas dos triângulos[GHI] e [XYZ], externo e interno de Napoleão, é igual à área do triângulo inicial[ABC].

Na construção que se segue, pode sempre movimentar os pontos A, B e C e confirmar estas propriedades.

[A.A.F.]

Teorema de Napoleão

Se tomarmos triângulos equiláteros sobre os lados de um triângulo qualquer, os centros desses triângulos equiláteros são vértices de um triângulo equilátero.

Na construção dinâmica que se segue, construíram-se triângulos equiláteros [BCD], [ACE] e [ABF]. O triângulo [GHI] é equilátero.
Do mesmo modo, é equilátero o triângulo [XYZ] em que X é o centro de [BCT], Y é o centro [ACU] e Z é o centro de [ABV]-



[A.A.F.]

Pode movimentar A, B ou C e ver como a propriedade persiste. Tem interesse ver o que acontece quando A, B e C ficam alinhados ou quando dois destes pontos coincidem.

A animação das tangentes à parábola

Publicámos recentemente dois artigos Tangentes a cónicas - caso da elipse e da hipérbole e Tangentes a cónicas - caso da parábola em que procurávamos dar conta dos esforços da Mariana Sacchetti para mostrar como o processo da determinação das tangentes tiradas por um ponto P à circunferência passa para a determinação das tangentes às outras cónicas. Se animação para os casos das tangentes à elipse e à hipérbole tinham sido conseguidas, já o mesmo não podíamos dizer do caso da parábola.
Esta falta de animação com a parábola é suprida pela publicação da animação apresentada pela Mariana. Aqui fica ela.




Veja-se que, num momento inicial, há uma circunferência (a verde) de centro F₁ =O =F₂ e raio |OV| e estão traçadas as tangentes à circunferência tiradas por P, que passam por P e pela intersecção da circunferência inicial com a circunferência de diâmetro |PF₁| =|OP|, no momento inicial. Depois pode ver-se como O e F₂ se vão deslocando, enquanto F₁ se mantém fixo. Quando F₂ se desloca para o infinito, também o centro O se desloca para infinito por ser o ponto médio de [F₁F₂] e a circunferência centrada em O e raio |OV| tende para ser a tangente à parábola no seu vértice. Assim, temos a construção conhecida: as tangentes à parábola tiradas por P passam pela intersecção desta recta em que o círculo principal se transforma com a circunferência de diâmetro [PF₁].
Já agora, podemos ver também como a circunferência (a azul) de centro em F₂ e raio 2.|OV| tende para a directriz à medida que F₂ tende para infinito. Esta circunferência corresponde ao círculo director ou focal da elipse e da hipérbole.

o terceiro vértice

Triângulos isósceles com um vértice fixo e outro a variar sobre uma recta, têm o terceiro vértice sobre uma parábola (de foco no vértice fixo e directriz na recta onde desliza o segundo). Como é óbvio. Publicamos a animação.



[A.A.F.]

a área que não muda

Com a devida vénia, aqui publicampliamos o desafio geométrico do José Paulo Viana (Público do último domingo).



Parece que o Eduardo tem razão. (A caricatura da Cristina também:-) Como podem ver, apoiados na construção dinâmica que se segue e em que pode variar A ou D fazendo variar a inclinação dos lados não paralelos. O triângulo amarelo tem área 8, constante, 1/4 do trapézio. Porque será?

as parábolas que sabemos fazer

pontos, somas e diferenças de distâncias invariantes: parábolas

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um ponto livre num cateto de esquadro que pode deslizar guiado pelo outro cateto numa régua.

e um fio do tamanho do cateto
- que passe pelo ponto que se move quando o esquadro se move roçando a régua -
atado no vértice do cateto e num outro qualquer ponto fixo em parede ou papel

assim sendo o ponto uma ponta de lápis nessa prisão de cateto e fio sempre esticado pela mão que segura o lápis


assim o esquadro siga direito, o lápis traça uma parábola.

Centros de circunferências que desenham...

As circunferências tangentes a uma recta que passam por um ponto fixo têm centro sobre uma parábola.


[A.A.F]

Tangentes a cónicas - caso da parábola

Determinar a tangente a uma parábola tirada por um ponto P.

Para a elipse, tomámos duas circunferências, uma de diâmetro |PF₁| e outra centrada no centro da elipse com diâmetro igual ao eixo maior. As tangentes tiradas por P passam pelos pontos de intersecção destas duas circunferências.

Para obter as tangentes à parábola, podemos considerar uma circunferência de diâmetro |PF|. Como o centro da parábola é um ponto impróprio, a circunferência que na elipse estava centrada no centro e a passar pelos vértices do eixo maior é agora a perpendicular ao eixo no vértice.

Pode deslocar o ponto P para verificar a consistência deste processo de determinar tangentes a uma parábola.



[A.A.F.]

Tangentes a cónicas - casos da elipse e da hipérbole

Em anteriores artigos, abordámos a determinação de tangentes a cónicas segundo diferentes perspectivas. A Mariana tem andado a preparar (e preparou) uma animação que permita ver como é que podemos generalizar para a elipse e para a hipérbole o procedimento utilizado para tirar por um ponto P uma tangente a uma circunferência. Nesta animação, a a Mariana utiliza várias das iniciativas anteriores - determinação de cónicas como envolvente de famílias de rectas obtidas a partir de uma circunferência, tangente a uma circunferência, etc. Falta ainda completar esta unificação, apresentando a determinação da tangente a uma parábola.





[A.A.F.]

Circunferência, elipse e calculadora gráfica

Quando, sem cuidados, escolhemos DRAW CIRCLE no menu principal de uma calculadora gráfica, como se pode ver nas figuras seguintes, obtemos uma elipse




Tal se deve ao facto de a calculadora assumir por defeito um rectângulo de visualização (ZOOM STANDARD) correspondente uma janela [-10;10] por [-10;10], o que significa que a escala utilizada no eixo dos YY é diferente da escala usada no eixo dos XX




Para obtermos a circunferência que queremos, devemos partir de um referencial monométrico que é o mesmo que escolher ZOOMSQUARE, em vez de ZOOMSTANDARD,




De facto, com o ZOOMSTANDARD, em vez de uma circunferência obtemos uma elipse afim



Na construção animada, a afinidade em causa tem eixo AB e transforma D em F (P em P'). [AB] mantém-se invariante e [CD] é transformado em [EF].

Tangentes a uma elipse tiradas por um ponto

Exercício Interactivo

Tirar por um ponto P as tangentes a uma elipse definida pelos seus eixos.

Aplicação da afinidade( II)

Aplicação da afinidade à determinação de tangentes a uma elipse

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O processo é semelhante ao utilizado para a intersecção de uma recta e uma elipse:



- Toma-se um dos diâmetros conjugados, por exemplo [AB], para eixo de afinidade, desenha-se a circunferência de diâmetro [AB] e toma-se CC' para direcção de afinidade.
- Determinemos o transformado do ponto P. Unamos P com um ponto de que conheçamos a imagem, por exemplo, D; a recta PD é transformada em KD'; o ponto P' é a intersecção desta recta com uma paralela a CC' por P.
- Por P´tracemos as tangentes à circunferência; uma delas é a recta P'T'; vamos determinar o respectivo original. P' é o transformado de P; o ponto L sobre o eixo é autotransformado. Logo uma das tangentes à elipse é a recta PL. (O mesmo para a outra)
- Para obter o ponto T de tangência, determinamos o original de T', traçando uma paralela a CC'.

Aplicação da afinidade

Aplicação à determinação dos pontos de intersecção de uma recta e uma elipse definida por um par de diâmetros conjugados Seja a elipse definida pelos diâmetros conjugados [AB] e [CD]; determinar os pontos de intersecção com a recta r (supondo que não temos a elipse traçada).

[A.A.F.]
Traçámos a circunferência de diâmetro [AB] e o diâmetro perpendicular [OC'] . Definimos a afinidade de eixo AB que transforma C em C' (a direcção da afinidade é, pois, a recta CC'). Nessa afinidade: - determinámos a imagem r' de r (L, por pertencer ao eixo, é elemento de r'; K é transformado em K'); - determinámos as intersecções P' e Q' de r' com a circunferência. Os originais P e Q de P' e Q' são as intersecções de r e a elipse.

Eixos da elipse afim de uma circunferência

Determinar os eixos de uma elipse afim de uma dada circunferência é caso particular da construção apresentada em artigo anterior. Teremos de procurar o par de diâmetros perpendiculares da circunferência que se transforma, por afinidade, no único par de diâmetros conjugados perpendiculares da elipse afim. Para isso, basta traçar a circunferência de centro sobre o eixo de afinidade que tem o segmento [OO'] como corda - o centro é a intersecção do eixo com a mediatriz do segmento [OO'].

Exercício Interactivo

Dada uma afinidade definida pelo seu eixo e por um par de pontos homólogos O e O', determinar os eixos da elipse afim de uma dada circunferência de centro O.

Diâmetros conjugados e afinidade

Para obter a elipse afim de uma circunferência, podemos determinar as imagens de diâmetros perpendiculares da circunferência que se transformam em diâmetros conjugados da elipse.

Exercício Interactivo

Seja uma afinidade definida pelo seu eixo; é dada uma circunferência de centro O cuja imagem é O'. Pretende-se que determine o par de diâmetros conjugados da elipse afim da circunferência, em que o ponto A da circunferência se transforma num extremo de um desses diâmetros.

Transformada afim de uma circunferência

Tendo presente que na transformação afim não existe recta limite, concluimos que o transformado de uma circunferência é uma cónica sem pontos impróprios, portanto uma elipse.

Exercício Interactivo

Numa afinidade de eixo e, o transformado do ponto A da circunferência de centro O é o ponto A'. Determine a transformada da circunferência.



Pode fazer variar a circunferência. Verificará que o afim de uma circunferência, quando existe, é uma elipse.

Homologias: os casos da homotetia, simetria axial e translação.

Homotetia

Trata-se de uma homologia de eixo impróprio e centro próprio. Cada par de pontos homólogos (AA') verifica a relação OA/OA' = OB/O'B' = k, sendo k um número real (razão de homotetia).
No caso particular de ser k = -1, a homotetia é uma simetria central



Simetria axial.

É um caso particular da homologia afim: os pontos homólogos são simétricos em relação ao eixo, obliquamente ou ortogonalmente.




Translação

É uma homologia de centro impróprio e eixo impróprio.

Homologias: o caso da afinidade.

Homologia afim ou afinidade

Trata-se de uma homologia de eixo próprio e centro impróprio. Ou seja, as rectas definidas por pontos homólogos são paralelas. Assim, uma afinidade fica definida dando o eixo (eixo de afinidade) e um par de pontos homólogos (direcção de afinidade).
As construções de imagens afins de uma figura dada são análogas às utilizadas na homologia, tendo, porém em conta que não existem rectas limite.




Exercício interactivo

Dado o quadrilátero [ABCD], determine os vértices do seu transformado na afinidade definida pelo eixo e e que a A faz corresponder A'.

Homologia e parábola

Exercício interactivo
Numa dada homologia de centro O, recta limite l e eixo e, uma dada circunferência tem por imagem uma parábola. Determine o vértice dessa parábola.

Parábola e homologia

Uma homologia está definida pelo centro O, pela recta limite l e pelo eixo e. Determinar, nessa homologia, a cónica transformada da circunferência dada, tangente a l no ponto T.





O ponto T de tangência entre a circunferência e a recta limite l vai ter como homólogo o ponto do infinito da cónica que, por consequência, será uma parábola. A direcção do eixo da parábola é, portanto, a recta OT.

Sabemos que a tangente à parábola no seu vértice é perpendicular ao eixo. Logo, a recta OL, perpendicular a OT dá a direcção da tangente no vértice. Se por L traçarmos a tangente à circunferência, o ponto V de tangência tem como homólogo o ponto V´, vértice da parábola.

Para definir a parábola basta obter os transformados de dois pontos da circunferência; determinados esses dois pontos e os seus simétricos em relação ao eixo, ficamos com cinco pontos.

Focos da hipérbole homológica de uma circunferência

Exercício interactivo

Dada uma homologia centro O, eixo e e recta limite l, determinar os focos da hipérbole homológica da circunferência dada.

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Ver artigos precedentes.

Hipérbole e homologia

O que foi dito acerca da determinação de centro, diâmetros conjugados e eixos de uma elipse, é inteiramente aplicável à hipérbole. Mas não é bom caminho: a hipérbole tem uma característica que permite substituir aqueles processos trabalhosos usados na elipse por um processo único e bem mais simples. De facto, sabemos que as assíntotas de uma hipérbole são tangentes em pontos do infinito; logo as assíntotas são as rectas homólogas das tangentes à circunferência nos pontos de intersecção com a recta limite.




Sejam L₁ e L₂ os pontos de intersecção da recta limite com a circunferência. Sejam T₁ a intersecção da tangente t₁ com e e T₂ a intersecção da tangente t₂ com e. A paralela por T₁ a OL₁ e a paralela por T₂ a OL₂ são as assíntotas da hipérbole. O transformado da intersecção C das tangentes é o centro C' da hipérbole.

A bissectriz C'A' das assíntotas é o eixo da hipérbole que intersecta o eixo de homologia em J. A recta JC intersecta a circunferência nos pontos A e B; as rectas OA e OB determinam os vértices A' e B' da hipérbole.

Focos da elipse homóloga de uma circunferência

Exercício interactivo

Dada uma homologia pelos seus centro, eixo e recta limite, determinar os focos da elipse que se obtém como transformada de uma dada circunferência por essa homologia.

Eixos de uma elipse e homologia

Consideremos a homologia de centro O, eixo e, recta limite l . É dada a circunferência de centro K; pretendemos obter os eixos da elipse homológica desta circunferência.



[A.A.M.]
Notas:
Como vimos no artigo   Diâmetros conjugados e homologia, de 12/03/2008, as direcções OL₁ e OL₂ definem as direcções de dois diâmetros conjugados. Então, para obtermos o único par de diâmetros conjugados perpendiculares - eixos - as direcções OL₁ e OL₂ devem ser perpendiculares. Temos, assim, de determinar uma circunferência ortogonal à dada que contenha O e com centro K' sobre a recta limite.
Para a determinação do centro dessa circunferência, recordemos que, se uma recta intersecta duas circunferências e passa pelo centro de uma delas, as intersecções formam uma quaterno harmónico. A construção baseia-se em determinar o conjugado harmónico G de O em relação à circunferência dada. Por O tracemos a tangente t à circunferência dada e, pelo ponto de tangência T, tracemos a perpendicular à recta OK: o pé da perpendicular é o ponto G. Toda a circunferência que contenha O e K é ortogonal à dada. Desse conjunto traçamos a que tem centro sobre l.Temos assim a possibilidade de traçar as rectas OL₁ e OL₂, ortogonais, que dão as direcções dos eixos. Obtemo-los seguindo o processo geral para obter diâmetros conjugados.

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Nota: Tendo um par de diâmetros conjugados, para obter os eixos poderá utilizar o processo que indicámos no artigo Dos diãmetros conjugados para os eixos , de 11/06/2007.

Diâmetros conjugados e homologia

Determinação de um par de diâmetros conjugados da elipse e da hipérbole.

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[A.A.M.]
Na construção restaurada, pode seguir a resolução do exercício recorrendo ao cursor n que pode tomar os valores de 1 a 5. Tomámos para guia as notas que acompanhavam a construção feita ao tempo (2008 com a aplicação CaR (ZuL) de R. Grothmann) e se mantêm a seguir:
Notas:
Como vimos, ao tratar as cónicas, o centro C' da elipse e da hipérbole é o polo da recta do infinito; logo C' é o transformado do polo C da recta limite em relação à circunferência.
Relembremos o modo de obter o polo da recta limite. A partir de um ponto L₁ de l, tracemos as tangentes t₁ e t₂ à circunferência; a recta r definida pelos pontos de tangência, T₁ e T₂, intersecta l num ponto que designamos por L₂; tracemos as tangentes t₃ e t₄ à circunferência; a recta s definida pelos pontos de tangência, T₃ e T₄, define a recta s. A intersecção de r e s é o polo P da recta limite. O seu transformado é o centro P' da cónica. Os transformados dos segmentos [T₁T₂] e [T₃T₄] são um par de diâmetros conjugados da cónica.

Nota: Podemos simplificar esta construção se nos lembrarmos que o pólo procurado está sobre a perpendicular à recta limite tirada pelo centro da circunferência. Não precisamos assim de determinar o segundo par de tangentes t₃ e t₄.

Homologia e circunferência

Exercício interactivo

Determinar o transformado de uma dada circunferência por uma homologia definida pelos centro O, eixo e e recta limite l.

Circunferência transformada em hipérbole

Exercício interactivo

Determinar a cónica que é homóloga de uma dada circunferência por uma homologia de centro O, eixo e e recta limite l em que esta intersecta a circunferência em dois pontos.





A circunferência tem dois pontos comuns com a recta limite. Dois pontos da circunferência têm homólogos impróprios; logo, o transformado da circunferência é uma hipérbole.

Homologia e circunferência

Uma homologia está definida pelo centro O, recta limite l, eixo e. Dada uma circunferência qual o seu transformado por essa homologia? O seu transformado é sempre uma cónica. Pode ser uma elipse (incluindo a circunferência), uma parábola ou uma hipérbole. E, como qualquer cónica fica univocamente definida por cinco dos seus pontos, para obter a cónica homóloga a uma circunferência precisaremos de obter, no máximo, imagens de 5 dos seus pontos.

Vejamos um processo simples de obter pares de pontos da uma cónica com base na construção indicada em 11/02/2008. Dada uma homologia definida por O, e, l, pretendemos determinar a cónica transformada da circunferência dada. Tracemos a recta r que intersecta a circunferência em A e B, a recta limite em L e o eixo em E. Unamos O e L. Por E tracemos uma paralela r' a OL. A intersecção de r' com OA é A'; a intersecção de r' com OB é B'. A corda [AB] da circunferência tem assim como homóloga a corda [A'B'] da cónica imagem.



[A.A.M.]

Homologia sobre rectas paralelas

Exercício Interactivo

Na homologia definida pelo centro O, eixo e, recta limite l, determine as rectas homólogas das rectas paralelas r e s.

Homologia e triângulo com pontos na recta limmite

Exercício interactivo

Pela homologia de centro O, eixo e e recta limite l, determinar a imagem do triângulo [ABC] que é intersectado pela recta limite em J e K.

Homologia e rectas com ponto comum sobre a recta limite

Exercício interactivo

Na homologia definida pelo centro O, eixo e, recta limite l, determine as rectas homólogas das rectas r, e s, que se intersectam no ponto P de l.

Homólogo de um segmento

Exercício interactivo


Na homologia definida pelos centro O, eixo e e recta limite l, determine o homólogo do segmento [AB].

Teorema de Desargues e homologia

No seu Curso de Geometria Projectiva, Jayme Rios de Sousa, enuncia o Teorema de Desargues: “Se dois triângulos [ABC] e [A’B’C’], sem elementos comuns, estiverem referidos entre si de modo que as rectas AA’, BB’, CC’ têm um ponto comum O, então as rectas que contém os lados AB e A’B’, AC e A’C’, BC e B’C’ intersectam-se em pontos colineares.”

E reciprocamente.
Claro que estes triângulos são homológicos: o ponto comum é o centro de homologia e a recta sobre a qual se intersectam os lados correspondentes, é o eixo e de homologia.



[A.A.M.]

Paralelismo e homólogos de pontos no infinito

Há duas rectas que desempenham um papel importante em questões de homologia: as rectas limite, l e l’:
- a recta limite l é a recta original que tem como imagem a recta do infinito (assim, se as rectas r e s se intersectam num ponto de l, as suas imagens r’ e s’ serão paralelas) ;
- a recta limite l’ é a imagem da recta do infinito (assim, se as rectas r e s são paralelas, as suas imagens r’ e s’ intersectam-se sobre l’).
As rectas limite, como rectas homólogas que são, intersectam-se num ponto do eixo que, atendendo à definição, é ponto impróprio; logo as rectas limite são paralelas ao eixo.

Vejamos como determinar as rectas limite, supondo conhecidos o centro, o eixo e um par de pontos homólogos (A, A’); tomemos um ponto E sobre o eixo e tracemos as rectas AE e A’E;
- tiremos por O uma paralela à recta A’E - a sua intersecção P com a recta AE’ é um ponto de l ;
- tiremos por O uma paralela à recta AE - a sua intersecção Q com a recta AE é um ponto de l’.
Notemos que [OPEQ] é um paralelogramo; então OP = EQ e concluímos:
a distância do centro à recta limite l é igual à distância do eixo à recta limite l’.

Um centro para uma homologia

[Exercício interactivo:]

Determinar o centro O da homologia de eixo e que transforma A, B e C em pontos das rectas a, b e c.


[A.A.M.]

Reconstruir uma homologia a partir de originais e seus homólogos

[Exercício interactivo]

Determinar o eixo e o centro da homologia que transforma um triângulo noutro (dados).



[A.A.M.]

Reconstruir um triâgulo a partir do homólogo

[Exercício interactivo]
Na homologia de centro O e eixo e, é dado o triângulo [A'B'C'] e o transformado C de C'. Determine A e B.

Determinar homólogo de um ponto

> [Exercício interactivo:]
Na homologia de centro O e eixo e, é dado o par de pontos homólogos (A,A'). Determine o homólogo do original B.


Uma homologia de centro O e eixo e, fica determinada se conhecermos um ponto e o seu homólogo. Podemos verificar isso, se sabendo as propriedades da homologia, possamos determinar o homólogo de um qualquer ponto B. Pode fazer isso com as ferramentas disponíveis.
E verificar como é, passo a passo, na construção que se apresenta para ilustrar a resolução desse problema.


[A.A.M.]

Homologia

Em tempos propusemo-nos, neste blogue, apresentar temas de geometria hoje pouco ou nada abordados nos programas portugueses dos ensinos secundário e superior; não que tenham perdido interesse, mas não há tempo para tudo! A nossa finalidade era fornecer uma base para resolver muitos dos problemas apresentados no Geometriagon. Atendendo a que têm aparecido recentemente problemas que exigem conhecimentos de homologia, propomo-nos, portanto, dedicar alguma atenção a esta transformação geométrica. Utilizaremos basicamente duas obras que tratam este tema:

"Geometria Descriptiva Superior y Aplicada" de Fernando Izquierdo Ascensi

"Curso de Geometria Métrica" de Puig Adam.

A homologia é um caso particular de conjunto mais vasto de transformações designadas por homografias.

"Duas figuras planas são homográficas quando se correspondem ponto a ponto e recta a recta, de tal modo que a todo o ponto e recta incidentes numa das figuras correspondem um ponto e uma recta também incidentes na outra."

Um exemplo muito simples é a projecção de uma figura contida num plano sobre outro plano a partir de um ponto:



[A.A.M.]

Uma Homologia é uma homografia em que:

• os pontos homólogos estão alinhados com um ponto fixo designado por “centro de homologia”, O; cada recta que passa por O tem como imagem ela própria – recta dupla;


• as rectas homólogas cortam-se em pontos de uma recta dita “eixo de homologia”, e; cada ponto do eixo tem como imagem ele próprio – recta de pontos duplos.

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Nota:
A homografia da construção dinâmica é uma homologia. Pode deslocar qualquer dos planos (deslocando o cursor α) ou o ponto O, e pode deslocar qualquer dos vértices da figura. Verá que quando o desloca para a charneira e ele coincide com a sua projecção. Sobre essa charneira estão todos os pontos da homologia de centro O e eixo e.

Onde estão os centros da cadeia de Pappus

O lugar geométrico dos centros P das circunferências de uma cadeia de Pappus para um dado arbelos é uma elipse. Para este resultado, a Mariana apresentou uma prova muito elegante e simples.

A construção que se segue pode ser ampliada ou reduzida por manipulação dos pontos A ou B. A circunferência exterior do arbelos da figura tem centro O e diâmetro [AB]. Chamemos R ao raio desta circunferência. As outras circunferências do arbelos são as centradas em O₁ e O₂ e de raios r₁=|AH|/2 e r₂=|HB|/2. Movendo H, pode modificar estas circunferências interiores do arbelos. Movendo P* sobre AB também pode verificar o comportamento das diversas circunferências da cadeia de Pappus.



Para que a circunferência de centro P seja tangente externamente à circunferência de centro O₁ é necessário que tenha um raio r tal que |O₁P|=|O₁T|+|TP|=r₁+r e para que, ao mesmo tempo, seja tangente internamente à circunferência de centro em O é necessário que |OP|=|OS|-|PS|=R-r.
Por isso, se P é centro de uma circunferência da cadeia de Pappus, então |O₁P|=r₁+r e |OP|=R-r. O que quer dizer que, para cada arbelos e uma das suas circunferências interiores, |OP|+|O₁P|=R+r₁, constante, que é o mesmo que dizer que P é um ponto de uma elipse de focos O e O₁ e eixo maior R+r₁ (ou |AO₂|=2R-r₂=R+r₁, por ser |AB|=|AH+|HB|=2r₁+2r₂=2R, de onde se tira que R=r₁+ r₂, R+r₁=2r₁+ r₂=|AO₂|.

Para a cadeia de Pappus relativa à outra circunferência, construção e prova são inteiramente análogas.

Arbelos: a cadeia de Papus

Durante algum tempo, a Mariana ficou presa nas animações da cadeia de Papus e da beleza que elas produzem. A última animação que nos enviou foi a que juntamos nesta entrada.
A Mariana obteve um novo efeito ao juntar para cada umas das circunferências de anteriores animações (tangentes externamente a uma das pequenas e internamente à grande circunferência do arbelos) a outra circunferência concêntrica tangente externamente à mais pequena.
O lugar geométrico dos centros destas circunferências é uma elipse. E António Aurélio não se cansa de referir o interesse de mostrar a prova deste resultado neste lugar geométrico.
Quer experimentar antes de o fazermos?

Pitágoras - sem recuperação, porque não depende de nós

Há não muito tempo apresentámos diversas decomposições e recomposições (com triângulos e rectângulos).
No âmbito da Escola de Educação Complementar do Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro, apareceram algumas propostas de trabalho em que se propunha fazer uma moldura considerando uma determinada decomposição de um quadrado. Como resultado, obtinha-se um novo quadrado. Sempre nos pareceu que ali estaria uma nova demonstração para o Teorema de Pitágoras. Assim confirmámos em pequenas incursões exploratórias. Despertou-nos especial curiosidade, o trabalho de Herman Vogel, da Universidade Técnica de Munique, que apresenta vários exemplos de construções interactivas, cada uma delas recorrendo aos diversos programas (software) de geometria dinâmica europeus. Recomendamos esse trabalho a quem quiser comparar as potencialidades dos diversos programas - Cinderella, CaR (ZuL), Geogebra, Cabri, Euklid-DynaGeo e GeoNExT




Mesmo contando com ajudas (que agradecemos), para nós, não foi nada fácil a realização desta animação. Aqui fica. Esperamos que gostem e seja útil.

Cadeia de Pappus

Continuemos então com as tangências e a tentar dar respostas construtivas às dúvidas que nos têm sido postas. Agradecemos ao André Filipe Oliveira as dúvidas e interrogações que nos obrigam a verificar que construções sabemos fazer e quais são possíveis com a régua e compasso do ZuL ou do CaR.metal. O que formos descobrindo, aqui publicamos. Se subsistirem dúvidas, não hesitem em contactar-nos.

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Ora aqui ficam definições e resultados da Cadeia de Pappus acompanhados das respectivas construções interactivas:

Dadas duas circunferências de centros F1 e F2, chama-se “cadeia de Pappus” ao conjunto das circunferências tangentes simultaneamente às circunferências dadas. Demonstra-se que o conjunto dos centros das circunferências de Pappus define uma elipse de focos F1 e F2 e eixo maior [AB].


Consideremos um raio vector que intersecta o círculo maior em P e o círculo menor em Q. As paralelas aos eixos por P e Q determinam um ponto X da elipse, centro de uma circunferência de Pappus. Pode deslocar o ponto P.




Num arbelo, a cadeia de Pappus inicia-se com o círculo tangente às três semicircunferências.

Bom 2008

Aurélio Fernandes acha que o melhor mesmo é publicar uma ideia da construção que fomos fazendo sobre círculos gémeos de Arquimedes (sobre arbelos), enquanto tentamos compreender um problema-pedido que nos vão explicitando devagar. Veremos.