Onde estão os centros da cadeia de Pappus

O lugar geométrico dos centros P das circunferências de uma cadeia de Pappus para um dado arbelos é uma elipse. Para este resultado, a Mariana apresentou uma prova muito elegante e simples.

A construção que se segue pode ser ampliada ou reduzida por manipulação dos pontos A ou B. A circunferência exterior do arbelos da figura tem centro O e diâmetro [AB]. Chamemos R ao raio desta circunferência. As outras circunferências do arbelos são as centradas em O₁ e O₂ e de raios r₁=|AH|/2 e r₂=|HB|/2. Movendo H, pode modificar estas circunferências interiores do arbelos. Movendo P* sobre AB também pode verificar o comportamento das diversas circunferências da cadeia de Pappus.



Para que a circunferência de centro P seja tangente externamente à circunferência de centro O₁ é necessário que tenha um raio r tal que |O₁P|=|O₁T|+|TP|=r₁+r e para que, ao mesmo tempo, seja tangente internamente à circunferência de centro em O é necessário que |OP|=|OS|-|PS|=R-r.
Por isso, se P é centro de uma circunferência da cadeia de Pappus, então |O₁P|=r₁+r e |OP|=R-r. O que quer dizer que, para cada arbelos e uma das suas circunferências interiores, |OP|+|O₁P|=R+r₁, constante, que é o mesmo que dizer que P é um ponto de uma elipse de focos O e O₁ e eixo maior R+r₁ (ou |AO₂|=2R-r₂=R+r₁, por ser |AB|=|AH+|HB|=2r₁+2r₂=2R, de onde se tira que R=r₁+ r₂, R+r₁=2r₁+ r₂=|AO₂|.

Para a cadeia de Pappus relativa à outra circunferência, construção e prova são inteiramente análogas.