GEOMETRIA

16.2.16

Secantes a uma circunferência passando por um ponto exterior e que determinam cordas de comprimento dado

Problema:
São dados um ponto $\;P,\;Q\;$ um círculo $\;c\;$ e um comprimento $\;a\;$
Traçar por $\;P\;$ uma secante à circunferência $\;c\;$ que a corte em cordas de comprimento $\;a\;$

©geometrias. 16 fevereiro 2016, Criado com GeoGebra

Pode acompanhar a construção da resolução do problema fazendo variar os valores de n no seletor centrado e no fundo da janela de visualização.

As cordas da circunferência $\;c\;$ com um dado comprimento $\;a\;$ são tangentes a uma circunferência concêntrica com $\;c\;$. Tomando um ponto $\;F\;$ qualquer sobre $\;c\;$ e $\;G \in c:\; FG=a,\;$ essa circunferência fica determinada pelo centro $\;O\;$ e pelo ponto $\;H\;$ médio de $\;FG.\;$ As tangentes a $\;(O, OH)\;$ tiradas por $\;P\;$ determinam cordas de $\;c: \;$ $\;LM,\;NQ;$ e $\;LM=NQ=a\;$

149. On donne un cercle et un point P. Mener par P une sécante telle que la corde interceptée ait une longueur donné l
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Librairie Vuibert. Paris:1947

14.2.16

Numa circunferência inscrever um triângulo retângulo

Problema:
São dados dois pontos $\;P,\;Q\;$ e uma circunferência $\;(O)\;$
Inscrever na circunferência $\;(O)\;$ um triângulo retângulo tal que a reta de um cateto passe $\;P\;$ e a reta do outro cateto passe por $\;Q.\;$

©geometrias. 14 fevereiro 2016, Criado com GeoGebra

Pode acompanhar a construção da resolução do problema fazendo variar os valores de n no seletor centrado e no fundo da janela de visualização.

Se um dos lados de um ângulo reto tem de passar por $\;P\;$ e outro por $\;Q\;$ então o seu vértice será um ponto da circunferência de diâmetro $\;PQ.\;$ Como o ângulo reto tem vértice sobre a circunferência $\;(O)\;$ este é um dos pontos da interseção das duas circunferências citadas - a que chamamos $\;A\;$. Os restantes vértices serão $\;B\;$ na interseção de $\;(O)\;$ com $\;AP\;$ e $\;C\;$ na interseção de $\;(O)\;$ com $\;AQ.\;$
No caso da nossa figura, o problema tem duas soluções.

148. Inscrire dans un cercle un triangle rectangle dont les cotês de l'angle droit ou leurs prolongements passent par deux points donnés P et Q
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Librairie Vuibert. Paris:1947

11.2.16

Circunferência por 2 pontos com tangentes iguais tiradas por 2 ponto distintos

Problema:
São dados quatro pontos $\;A,\;B,\;C,\;D.\;$
Construir a circunferência que passa por $\;A,\;B\;$ e cujas tangentes tiradas por $\;C\;$ e por $\;D\;$ têm o mesmo comprimento.

©geometrias. 10 fevereiro 2016, Criado com GeoGebra

Pode acompanhar a construção da resolução do problemas fazendo variar os valores de n no seletor centrado e no fundo da janela de visualização.

Este é mais um dos problemas que se resolve, analisando-o como se o tivessemos resolvido. Claro que, como temos dois pontos $\;A, \;B\;$ da circunferência-solução, sabemos que o seu centro $\;O\;$ é um ponto equidistante de $\;A\;$ e de $\;B\;$.
Também sabemos que $\;CH =DG\;$ se H for o ponto de tangência da tangente tirada por $\;C\;$ e $\;G\;$ for o ponto de tangência da tangente à circunferência tirada por $\;D\;$ e sabemos que $\;OG=OH\;$ (raios) e que $\;OG \perp GD\;$ e $\;OH \perp HC.\;$. E, em consequência, serão iguais os triângulos $\;[CHO]\;$ retângulo em $\;H\;$ e $\;[DGO]\;$ retângulo em $\;G\;$. Assim sendo, serão iguais as hipotenusas $\;OC = OD\;$. Ou seja $\;O\;$ é um ponto equidistante dos pontos dados, $\;C\;$ e $\;D\;$, da mediatriz de $\;CD\;$
Deste modo, $\;O\;$ fica determinado como interseção das mediatrizes de $\;AB\;$ e de $\;CD\;$ e a circunferência requerida tem este centro $\;O\;$ e passa por $\;A\;$

147. On donne quatre points A, B, C, D. Construire un cercle passant par A et B et tel que les tangentes issues de C et D soient égales.
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Librairie Vuibert. Paris:1947 >

7.2.16

Circunferência tangente a duas retas paralelas e que passa por um ponto da faixa entre elas

Problema:
São dadas duas retas paralelas $\;a, \;b\;$ e um ponto $\;P\;$ da faixa entre elas.
Construir uma circunferência tangente às retas $\;a, \; b\;$ e a passar pelo ponto $\;P.\;$

Pode acompanhar a construção da resolução do problemas fazendo variar os valores de n no seletor na esquerda baixa da janela de visualização.

Uma circunferência tangente a duas paralelas $\;a, \;b\;$ tem o seu centro numa terceira paralela $\;m\;$ equidistante das duas dadas e raio igual a $\;r\;$ - distância de $\;m\;$ a $\;a .\;$ Se passa por $\;P\;$, o centro da circunferência estará numa circunferência centrada em $\;P\;$ e raio $\;r.\;$ O problema tem duas soluções $\;(O), \;(O')$.
Nas condições do nosso problema há sempre duas soluções. Se $\;P\;$ fosse um ponto de uma das paralelas $\;a\;$ ou $\,b\;$ o problema teria uma só solução e se estivesse fora da faixa entre as paralelas, não haveria circunferência alguma tangente às duas paralelas.

155. Étant donnés deus droîtes parallèles X, Y et un point A situé entre elles, décrire un cercle passant par ce point et tangente aux deux droîtes
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Librairie Vuibert. Paris:1947

4.2.16

Circunferência tangente a outra e a uma reta num dado ponto.

Problema:
É dada uma uma reta $\;t\;$ tangente em $\;T\;$ a uma circunferência $\;c\;$ dada. É ainda dado um outro ponto $\;A\;$ dessa tangente $\;t.\;$
Construir uma circunferência tangente à circunferência $\;c\;$ e à reta $\;t \;$ no ponto $\;A.\;$

Pode acompanhar a construção da resolução do problemas fazendo variar os valores de n no seletor na direita baixa da janela de visuaização.

Na figura correspondente ao problema resolvido. tem-se uma circunferência $\;(O')\;$ em que $\;O'\;$ é o quarto vértice de um trapézio retângulo $\;[OTAO']\;$. Como $\;t\,$ é tangente comum à duas circunferências exteriormente: a $\;c =(O)\;$ em $\;T\;$ e em $\;A\;$. Como o os segmentos das tangentes a uma circunferência tiradas por um ponto são iguais, a tangente exterior a $\;c\;$ tirada pelo ponto $\;M\;$ médio de $\;AT\;$ resolve o problema já que permite determinar o ponto de tangência $\;I\;$ comum às duas circunferências. $\;TI\;$ é perpendicular a $\;OM\;$ e $\;OI\;$ interseta a perpendicular a $\;t\;$ em $\;A\;$ em $\;O'\;$, centro da circunferência que procuramos: $\;MT=MI=MA\;$ e $\; IO'=O'A .\;$

154. On donne un cercle C, une tangente T à ce cercle au point A et sur cette droîte un point A'. Construire un cercle tangent au cercle C, et à la droîte T au point A'.
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Librairie Vuibert. Paris:1947