Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (13)

Problema: Determinar uma circunferência tangente a uma dada reta num ponto dado e a uma circunferência dada.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção.

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Poderá seguir os passos desta construção elementar, deslocando o cursor $\;\fbox{n}\;$ na figura abaixo.

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1. Dados (a azul): uma reta $\;a\;$ e um seu ponto $\;P\;$, uma circunferência de centro $\;C\;$
   
   Para resolver este problema, basta determinar um ponto $\;O\;$ para centro da circunferência nas condições definidas.
2. Para ser tangente a $\;a\;$ no ponto $\;P\;$, o centro $O$ da circunferência requerida na perpendicular a $\;a\;$ tirada por $\;P\;$ - $\;\perp_P^a$.
   
   

   © geometrias, 21 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

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3. Por outro lado, para ser tangente à circunferência de centro $\;C\;$ o centro $\;O\;$ da circunferência requerida será tal que $\;OC\;$ é igual à soma dos raios (da circunferência requerida e da circunferência dada).
   Se tormarmos a reta $\;e\;$ do lugar geométrico dos pontos à distância de $\;a\;$ igual ao raio da circunferência dada (2º lugar geométrico da lista), $\;CEO\;$ é um triângulo isósceles. $\;E\;$ é $\;e.\perp_P^a$
   
4. $\; O_1\;$ é a interseção da perpendicular $\;PE\;$ com a mediatriz de $\;CE\;$ (3º lugar geométrico da lista - dos pontos equidistantes de $\;C\;$ e $\;E\;$)
   A circunferência de centro em $\;O_1\;$ a passar por $\;P\;$ satisfaz o requerido.
5. Do mesmo modo, considerando $\;f\;$ e $\;\{F\}\; = \;f.\perp_P^a$ $\;O_1, \;O_2\;$, a mediatriz de $\;FC\;$ interseta a $\;\perp_P^a$ num ponto $\;O_2\;$. Este é o centro da segunda circunferência a passar por $\;P\;$ que satisfaz as condições do problema.

Podemos variar os comprimentos e as posições relativas da circunferência, ponto e reta dados.

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (12)

Problema: Determinar uma circunferência com um dado raio, que passa por um ponto dado e é seccionada por uma reta segundo uma corda de comprimento dado.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção.

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Poderá seguir os passos desta construção elementar, deslocando o cursor $\;\fbox{n}\;$ na figura abaixo.

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1. Dados (a azul): dois segmentos, um de comprimento raio, outro de comprimento corda, uma reta $\;a\;$ e um ponto $\;P\;$ da circunferência
   
   Para resolver este problema, basta determinar um ponto $\;O\;$ para centro da circunferência nas condições definidas.
2. O centro $O$ da circunferência estará à distância raio de $\;P\;$, isto é, será um dos pontos de $\;(P, \; \mbox{raio})\;$ - 1º lugar geométrico da lista.
   
   

   © geometrias, 18 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

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3. Por outro lado, a circunferência de centro $\;O\;$ deve cortar $\;a\;$ num segmento de comprimento corda dado. Tirámos por $\;P\;$ uma perpendicular (auxiliar) a $\;a\;$ de pé $\;P_a\;$. Se tomamrmos este ponto como ponto médio do segmento $\;AB\;$ de comprimento corda podemos determinar um $\;P_0\;$ sobre a reta $\;PP_a\;$ para o qual $\;AP_0\;$ tem comprimento igual ao raio. Os centros $\;O_1, \;O_2\;$ sobre a paralela a $\;a\;$ tirada por $\;P_0\;$ (2º lugar geométrico da lista)
4. Portanto, $\;O_1, \;O_2\;$ estão na interseção dos dois lugares geométricos - paralela à distância $\;P_aP_0\;$ de $\;a\;$ no semiplano $\;a, \;P\;$.
5. As soluções são as circunferências $\;(O_1, \;\mbox{raio}\;)\;$ e $\;(O_2, \;\mbox{raio}\;)\;$.
6. A perpendicular a $\;a\;$ tirada por $\;O_1\;$ interseta $\;a\;$ no ponto médio da corda $\;CD\;$ de comprimento igual corda dada. Do mesmo modo, para $\;O_2\;$

Podemos variar os comprimentos e as posições relativas do ponto e reta dados.

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (11)

Problema: Determinar um triângulo retângulo inscrito numa dada circunferência e tal que os seus catetos passem por dois pontos dados.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção.
       Dados (a azul): uma circunferência de centro $\;O$, dois pontos $\;P,\;Q\;$

Para resolver este problema, basta determinar um ponto $\;A\;$ da circunferência dada, de tal modo que $\;P\hat{A}Q\;$ seja um ângulo reto.

1. O lugar geométrico dos pontos tais que as retas tiradas para dois extremos $\;P\;\;,\;Q\;$ de um segmento fazem um ângulo é constituído por dois arcos de circunferências congruentes que têm por corda comum $\;PQ\;$. No caso, como $\;P\hat{A}Q$ é reto, o lugar geométrico são dois semicírculos, ou seja $\;PQ\;$ é um diâmetro. Obviamente, os extremos do diâmetro não são pontos do lugar geométrico (5º lugar geométrico da lista)
   

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   Poderá seguir os passos desta construção elementar, deslocando o cursor $\;\fbox{n}\;$ na figura abaixo.

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   © geometrias, 16 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

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2. Construímos o lugar geométrico dos pontos tais que $\;P\hat{A}Q\;$ é reto; nada mais que a circunferência de diâmetro $\;PQ\;$, excetuando os seus pontos $\;P\;$ e $\;Q\;$ - tracejada a castanho, na figura.
3. Qualquer dos pontos de interseção da circunferência de diâmetro $\;PQ\;$ (centro $\;M\;$) com a circunferência dada de centro $\;O\;$, caso existam, resolve o problema.
4. No caso da nossa figura, as circunferências intersetam-se em dois pontos $\;A\;$ e $\;A'\;$.
O triângulo $\;APQ\;$ é retângulo em $\;A\;$. Tomemos os segundos pontos de interseção das retas $\;AP\;$ e $\;AQ\;$ com a circunferência de centro $\;O\;$ dada, que designámos por $\;B\;$ e $\;C\;$ respetivamente. Como $\;A\;, B\;, C\;$ são pontos da dada circunferência centrada em $\;O\;$, a hipotenusa $\;BC\;$ oposta ao ângulo reto em $\;A\;$, passa pelo ponto $\;O\;$.
O triângulo $\;ABC\;$ está bem definido e tem as propriedades requeridas pelo problema.
5. O triângulo $\;A'B'C'\;$ obtido de forma análoga ao $\;ABC\;$ é outra solução do problema.

Para a circunferência dada, fazendo variar algum dos pontos $\;P; \;Q\;$ (ou ambos) confirmará que pode haver duas, uma ou zero soluções.

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (10)

Problema: Determinar uma circunferência de um dado raio e centro sobre uma dada reta que seja tangente a uma circunferência dada.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção..
1.
Dados (a azul): uma circunferência de centro $\;O_0\;$, uma reta $\;a\;$ ; um segmento $\;r\;$.
2.
Para resolver este problema, basta-nos determnar um ponto $\;O\;$ sobre $\;a\;$ de tal modo que seja centro de uma circunferência de raio $\;r\;$ e tangente à circunferência dada de centro $\;O_0\;$.

• As circunferências de raio $\;r\;$ que tocam num só ponto uma circunferência de centro $\;O_0\;$ e raio $\;r_0\;$ estão sobre uma circunferência de centro $\;O_0\;$ e raio $\;r_0 + r\;$
• Traçada essa circunferência $\;(O_0, r+r_0 )\;$,lugar geométrico dos pontos $\;P\;$ tais que $\;O_0P=r_0 +r\;$, só nos resta determinar a interseção dela com a reta $\;a\;$.
  No último passo toma-se $\;O\;$, um dos pontos de interseção de $\;(O_0, r+r_0 )\;$, e a circunferência $\;(O, r)$ (a vermelho) satisfaz as condições do problema.

Utilizámos tão só circunferências, ou seja o 1º lugar geométrico da lista.
Poderá seguir os passos desta construção elementar, deslocando o cursor $\;\fbox{n}\;$

© geometrias, 15 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

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3.
No caso da nossa figura, a circunferência $\;(O_0, r_0+r) \;)$ interseta $\;a\;$ em dois pontos, ou seja há duas soluções para o problema.
Pode fazer variar o tamanho de $\;r\;$ e confirmar que pode haver uma só solução ou nenhuma. E poderá, estudar as condições de existência das soluções (dependendo de $\;r\;, \;r_0\;$, ...)

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (9)

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Problema: Por dois pontos de uma circunferência tirar duas cordas paralelas de que se conhece a soma dos seus comprimentos.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção..
1.
Dados (a azul): uma circunferência de centro $\;O\;$ e dois pontos $\;A\;B\;$ sobre ela; um segmento $\;s=AC+BD\;$.
2.
O problema pede que determinemos dois pontos $\;C, \;D\;$ da circunferência dada, tais que $\;AC\; \parallel \;BD\;$ e $\;s=AC+BD\;$. $\;ABCD\;$ será um trapézio inscrito na circunferência de centro $\;O\;$ dada.

• Nas codições do problema, este trapézio é isósceles: $\;AC\; \parallel \;BD\;$ e, em consequência, $\;CD=AB\;$. Os pontos médios $\;M, \; N\;$ das cordas $\;AB\;$ e $\;CD\;$ estão à mesma distância de $\;O\;$. $\;MO = NO\;$. Isto é os pontos médios de $\;AB\;$ e $\;CD\;$ estão na circunferência $\;(O, OM)\;$ (1º lugar geométrico da lista)
• Como $\;MN\;$ é a mediana $\;\displaystyle \frac{AC+BD}{2}\;$ do trapézio $\;ABCD\;$ , $\;N\;$ estará sobre a circunferência centrada em $\;M\;$ e de raio $\; \displaystyle \frac{s}{2}\;$ (1º lugar geométrico da lista).

© geometrias, 14 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

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3.
A interseção das circunferências $\;(O, OM)\;$ e $\; \left(M, \displaystyle \frac{s}{2} \right)\;$ (caso existam), serão pontos médios de $\;CD\;$ de acordo com as condições do problema. Conhecido $\;N\;$, como interseção da perpendicular a $\;ON\;$ com a circunferência dada obtêm-se os pontos $\;C\;$ e $\;D\;$
($\;CD\;$ é corda da circunferência dada de centro $\;O\;$ e $\;N\;$ é o ponto médio $\;CD\;$)
No caso da nossa figura, as circunferências intersetam-se em dois pontos $\; N, \;N'\;$ e há por isso dois trapézios que satisfazem o pretendido $\;ACBD\;$ e $\;AC'D'B\;$
Pode fazer variar o tamanho de $\;s\;$ e confirmará que pode haver uma só solução ou nenhuma, que há casos em que o trapézio se reduz a um triânguo ou mesmo só a $\;AB\;$ e em que os segmentos $\;AB\;$ e $\;CD\;$ se intersetam, ...