Inscrever numa circunferência dada um retângulo de área dada.

Seis círculos gémeos num retângulo

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Problema: Na figura abaixo, cada um de seis círculos é tangente a três outros e quatro deles são também tangentes a um ou dois lados do retângulo que os contém. Determinar as relações entre o raio dos círculos iguais e as dimensões do retângulo.

© geometrias, 27 de Setembro de 2014, Criado com GeoGebra

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Sejam $\;a=MN\;$ e $\;b=NO\;$ as dimensões do retângulo $\;[MNOP]\;$ e tomemos para unidade o diâmetro dos círculos amarelos.
Por simples observação da figura, temos $$\;AB=3, \;AD=1, \; AC=b-1, \;BC= a-1, \; AF=AD=DF=1 \;BE= \displaystyle \frac{5}{2}$$

1. Como $\;AFD\;$ é equilátero, $\;DE\;$ é a sua altura e, aplicando o Teorema de Pitágoras a $\;ADE,\;$ temos $\;DE^2= AD^2-AE^2,\; BE=\displaystyle \frac{5}{2} \;$ ou seja, $\;DE^2 =1 -(\displaystyle \frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4} :\; DE=\frac{\sqrt{3}}{2}\;$
2. Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo $\;BED\;$, obtém-se $\;BD^2 = BE^2 + ED^2\;$ ou $\;BD^2= \displaystyle \frac{25}{4}+\frac{3}{4} =\frac{28}{4}: \; BD=\sqrt{7},\;$ e, como $\;BC= BD+DC, \;$ ou $a-1 = \sqrt{7}r+DC, \;$ então $\;DC= a-1-\sqrt{7}$
3. Aplicando agora o Teorema de Pitágoras aos triângulos $\;ABC\;$ e $\;ACD,\;$ obtemos $$\begin{matrix} (a-1)^2 + (b-1)^2 =9 &\; \wedge \; &\left(a-1-\sqrt{7}\right)^2 +(b-1)^2 =1\\ (a-1)^2 -(a-1-\sqrt{7})^2 =8 &\;\wedge \; & \ldots \\ (a-1)^2 -(a-1)^2 -7 +2(a-1)\sqrt{7}=8 &\; \wedge \;& \ldots \\ 2(a-1)\sqrt{7}=15 &\; \wedge \;&\left(\frac{15\sqrt{7}}{14} -\sqrt{7}\right)^2 +(b-1)^2 =1 \\ a= 1+\frac{15}{2\sqrt{7}} &\;\wedge \; &\left(\frac{\sqrt{7}}{14}\right)^2 +(b-1)^2 =1 \\ \ldots & \; \wedge \; & (b-1)^2 = 1- \frac{1}{28}\\ \ldots & \;\wedge \;& b-1 =\sqrt{\frac{27}{28}}\\ a= 1+\frac{15}{2\sqrt{7}} &\;\wedge \; & b = 1+ \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} \;\;\; \; \square \end{matrix} $$ tomando para unidade o diâmetro dos círculos iguais.

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em Garcia Capitán, F. J. Resolución de problemas bonitos de Geometría con métodos elementales Priego de Córdoba, 2003 sugerido por António Aurélio Fernandes

Resolver problema de construção usando rotações (análise e síntese)

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Problema: Inscrever num paralelogramo dado $\;[ABCD]\;$, um retângulo $\;[EFGH]\;$ cujas diagonais $\;EG,\;FH\;$ formam um ângulo $\; \angle EÔF=\alpha\;$ dado.

Este problema foi considerado no livrinho de A. Lôbo Vilela, Métodos Geométricos para ilustrar o particular método das transformações e o geral método da análise do problema.
Consideremos as retas dos lados do paralelogramo dado $\;a=AB, \;b=BC, \;c=CD, \;d=DA,\;$ E considerem-se conhecidas as propriedades dos paralelogramos relativas aos lados, ângulos, diagonais, centro,...
As diagonais de um paralelogramo bissetam-se. Chamamos $\;O\;$ ao ponto de interseção das diagonais do paralelogramo $\;AC.BD\;$ e as diagonais de qualquer retângulo nele inscrito intersetam-se no mesmo ponto.
Considerando o problema resolvido temos um retângulo $\;[EFGH]\;$ inscrito em $\;[ABCD], \;$, sendo $\; E\;$ um ponto sobre $\;a=AB,\;$ $\;F\;$ sobre $\;b=BC,\;$, $\;G\;$ sobre $\;c=CD,\;$ e $\;H\;$ sobre $\;d=DA.\;$
Sendo $\;O\;$ o centro comum, o ponto $\;F\;$ é a imagem de $\;E\;$ pela rotação de centro $\;O\;$ e ângulo $\;\alpha\;$ - $\;{\cal{R}}_O ^\alpha$. Como a rotação preserva a incidência o ponto $\;E\;$ de $\;a\;$ é transformado pela rotação $\;{\cal{R}}_O ^\alpha\;$ num ponto de $\;a'\;$ e de $\;b$, já que $\;F\;$ é ponto de $\;b\;$.


Os passos da construção podem ser vistos, fazendo variar os valores $\;n\;$ no cursor $\; \fbox{n=1, 2, …, 5}$

1. Na nossa construção, apresentamos como dados o ângulo $\;\alpha\;$ de amplitude igual ao ângulo das diagonais do retângulo inscrito no paralelogramo $\;[ABCD]\;$ de centro $\;O\;$
2. $\fbox{n=2}:\;$ Tomamos as retas que contêm os lados do paralelogramo dado
3. $\fbox{n=3}:\;$ A análise feita acima, dá-nos $\;F\;$ como $\;a'.b\;$, sendo $\;a'= \;{\cal{R}}_O ^\alpha\;(a).\;$ Conhecido $\;F,\;$ determinamos $\;E\;$ como $\;\;{\cal{R}}_O ^{-\alpha}\;(F)\;$



© geometrias, 9 de Agosto de 2014, Criado com GeoGebra

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4. $\fbox{n=4}:\;\;$ $\;E, \;F\;$ são vértices consecutivos do retângulo, cujas diagonais iguais se bissetam em $\;O\;$. Por isso, os restantes vértices são obtidos por transformação de meia volta de centro $\;O\;$:
   $$\begin{matrix} &{\cal{R}}(O, \pi)&&\\ E&\mapsto & G : & \mbox{ou} \quad \{G\} = EO.CD\\ F&\mapsto & H: & \mbox{ou}\quad \{H\} = FO.DA \\ \end{matrix}$$
5. $\fbox{n=5}:\;\;$ As diagonais $\;EG\;$ e $\;FH\;$ são diâmetros da circunferência de rotação em que afinal se inscreve o retângulo.
   $H\hat{E}F= E\hat{F}G =F\hat{G}H =G\hat{H}E = \frac{\pi}{2}$ inscritos em semicircunferências.

Resolver problema de construção usando os métodos do problema contrário e transformação (4)

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Problema: Inscrever num retângulo $\;[ABCD],\;$ um paralelogramo semelhante a outro $\;[EFGH]\;$ dado.

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Vilela, António Lôbo. Métodos Geométricos. Editorial Inquérito, Lda. Lisboa:1939

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O problema proposto consiste em construir um paralelogramo $\;[E_1F_1G_1H_1]\;$ semelhante a $\;[EFGH]\;$, inscrito no retângulo $\;[ABCD]\;$ dado: $\;E_1 \in AB, \;F_1\in BC, \;G_1 \in CD, \;H_1 \in DA.\;$
Para resolver o problema proposto, começamos por construir um retângulo semelhante a $\;[ABCD]\;$ circunscrito a $\;[EFGH]\;]$ ou cujos lados passem pelos vértices $\;E,\;F, \;G,\;H\;$ do paralelogramo.

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Os passos da construção podem ser vistos, fazendo variar os valores $\;n\;$ no cursor $\; \fbox{n=1, 2, …, 6}$

1. Na nossa construção, apresentamos como dados um retângulo $\;[ABCD]\;$ e um paralelogramo $\;[EFGH]\;$. Para além disso, apresentamos as diagonais do retângulo $\; AC, \;BD\;$ e o ângulo $\; \alpha\;$ por elas formado. De igual modo, se mostram as diagonais $\;EG, \;FH\;$ do paralelogramo e o ângulo $\;\beta\;$ por elas formado.
   Estes dados são relevantes para qualquer resolução do problema, pois "a condição necessária e suficiente para que dois paralelogramos sejam semelhantes é que sejam iguais os ângulos formados pelas respetivas diagonais".
2. Começamos por construir um retângulo semelhante a $\;[ABCD]\;$ circunscrito ao paralelogramo $\;[EFGH],\;$ ou seja, um retângulo com cada um dos seus lados a passar por um dos vértices do paralelogramo e com as diagonais a fazer ângulo igual ao das retas $\;(AC, \; BD) =137.48^o,\;$ na ilustração.
   • $\fbox{n=2}:\;$ O centro do paralelogramo é o centro do retângulo a ele circunscrito, no caso $\;I.\;$. Para obter uma reta que seja diagonal de um retângulo centrado em $\;I\;$ semelhante a $\;[ABCD]\;$, bastará encontrar um outro ponto da diagonal para além do $\;I\;$, por exemplo, o ponto de interseção imagem da reta de um dos lados, p.e. $\;HE\;$, pela rotação $\;{\cal{R}}(I, \; \alpha)\;$, com a reta do lado consecutivo $\;EF\;$ (Verifique.)
   • $\fbox{n=3}:\;$Para ser retângulo (lados consecutivos perpendiculares) cada um dos seus vértices terá de ser um ponto de circunferência com um dos lados do paralelogramo por diâmetro. No caso da nossa construção, encontramos o primeiro vértice do retângulo circunscrito intersetando a reta obtida como reta diagonal com a circunferência de diâmetro $\;FG\;$. Os lados desse retângulo, a passar por $\;E, \;F, …\;$ são obtidos facilmente.

© geometrias, 27 de Julho de 2014, Criado com GeoGebra

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3. O retângulo obtido é semelhante a $\;[ABCD]\;$, o que significa há uma transformação de semelhança a relacioná-los.
   $\fbox{n=4}:\;$ No caso da nossa construção, escolhemos o vértice $\;R,\;$ por ele tirámos uma paralela a $\;AB\;$ e aplicámos-lhe que a rotação $\;{\cal{R}}(R, \zeta)\;$, de modo a obter pares de lados paralelos a pares de lados paralelos de $\;[ABCD]\;$
   Obtivemos um novo paralelogramo inscrito no novo retângulo ao aplicar-lhe a mesma rotação $\;{\cal{R}}(R, \zeta)\;$, que preserva as incidências, os comprimentos, as amplitudes
4. $\fbox{n=5}:\;$ Finalmente a este novo retângulo do qual os pontos $\;R, \;S\;$ são vértices, aplicamos a homotetia de centro em $\;CR.DS\;$ e razão $\; \displaystyle \frac{CD}{RS}\;$ que transforma $\;C\;$ em $\;R\;$ e $\;D\;$ em $\;S\;$
5. $\fbox{n=6}:\;$Obviamente que, por essa homotetia, o paralelogramo laranja da figura que está inscrito no retângulo laranja (obtidos pela rotação $\;{\cal{R}}(R, \zeta)\;$ é transformado no paralelogramo $\;[E_1F_1G_1H_1]\;$ que, porque a homotetia preserva incidências, etc, é um paralelogramo inscrito em $\;[ABCD]\;$ semelhante a $\;[EFGH]\;$.

Claro que usámos transformações e podemos dizer, por isso, que usámos o método das transformações. O que é o mais natural é usarmos vários métodos para resolver qualquer problema. E, mesmo quando não o referimos, o mais natural é que face a um problema comecemos por usar a análise e acabemos a usar a síntese que são os raciocínios gerais em geometria, essenciais para resolver problemas de construção.