10.5.23
13.3.23
A curva do ingénuo revisitado (geogebra)
Revisitamos "31 de Janeiro de 2005" de entrada ligada a texto de setembro de 2002. As construções de então não se mostram para vergonha de quem se perde por velhice.....
Pode animar o ponto a verde que toma todos os posições do segmento de A a B.
13.1.23
Dados três pontos A, B e C
construir um círculo de raio AB e centro C
a lembrar o passado combate "Geometriagon"
só com régua
por um ponto P, tirar tangentes a um círculo c
a lembrar o passado combate "Geometriagon"
1.1.23
21.11.22
MS : Problemas de Apolonio (continuadas - 5)
(5) Círculo tangente a dois pontos e um círculo (PPC)
iniciativa de Mariana Sacchetti:
5.1. Um ponto é exterior ao círculo e outro é interior ao círculo
Esta situação não tem solução.
5.2. Um ponto pertence ao círculo e o outro é exterior ou interior ao círculo
Ou os dois pontos pertencem ao círculo
Estas situações têm uma só solução. No caso de ambos os pontos pertencerem ao círculo essa solução é o próprio círculo.
O centro da circunferência pretendida é a interseção da mediatriz de $\;[PQ]\;$ com a reta $\;OQ\;$ (sendo $\;Q \;$ o ponto que pertence ao círculo)Na construção pode deslocar o ponto $\;P\;$ e observar cada uma destas situações.
5.3. Os dois pontos são exteriores ao círculo ou interiores ao círculo
As duas situações têm duas soluções, que se encontram da mesma maneira
Comecemos por traçar a mediatriz de $\;PQ$. Esta poderá ou não passar pelo centro da circunferência dada.
5.3.1 A mediatriz de $\;[PQ] \;$ não passa pelo centro da circunferência dada
Tracemos uma circunferência qualquer que passe por $\;P \;$ e $\;Q \;$ e que intersete a circunferência dada em $\;C \;$ e $\;D \;$
A reta $\;CD \;$ interseta a reta $\;PQ \;$ no ponto $\;E.\;$
Tracemos a circunferência de diâmetro $\;OE.\;$ Esta interseta a circunferência dada nos pontos de tangência das soluções pretendidas.
Basta agora traçar as soluções que passam por três pontos $\;T_{1}$, $\;P \;$ e $\;Q \;$ e $\;T_{2}$, $\;P\;$ e $\;Q\;$
5.3.2 A mediatriz de $\;[PQ] \;$ passa pelo centro da circunferência dada
A construção torna-se mais simples pois a mediatriz de $\;[PQ]\;$ determina no círculo dado os pontos de tangência $\;T_{1}\;$ e $\;T_{2}\;$
Se os dois pontos são interiores ao círculo as soluções são:
3.11.22
MS : Problemas de Apolonio (continuadas - 4)
(4) Círculo tangente a duas retas e um ponto (LLP)
iniciativa de Mariana Sacchetti:
4.1. As duas retas são paralelas
4.1.1. As duas retas são paralelas e o ponto está fora da faixa entre elas
Esta situação não tem solução
4.1.2. As duas retas são paralelas e o ponto pertence a uma delas
Esta situação tem uma única solução
4.1.3. As duas retas são paralelas e o ponto está entre elas
Esta situação tem duas soluções
4.1. As duas retas são secantes
4.1.1. As duas retas são secantes e o ponto não pertence a nenhuma delas
Esta situação tem duas soluções
Sabemos que os centros dos círculos pretendidos se situam na bissetriz do ângulo. Traçamos um círculo auxiliar (O, OF) tangente às duas retas e com centro na bissetriz. Consideremos as homotetias com centro em A deste círculo auxiliar. Traçando a reta AP esta corta o círculo auxiliar nos pontos F e G. Por P tracemos paralelas a OF e a OG. Estas determinam os centros O1 e O2 das soluções pretendidas consoante consideramos P homotético de F ou P homotético de G.
4.1.2. As duas retas são secantes e o ponto pertence a uma delas
Esta situação tem 2 soluções.
4.1.3. As duas retas são secantes e o ponto pertence a ambas
Esta situação não tem solução
25.10.22
ABA : circunferências, triângulos e relações
há quem veja não mais que nada, outros enquanto outros estudam simples teoremas que levam a sério?
1- 1.13: Tomadas uma qualquer corda de uma qualquer circunferência e quaisquer dois pontos da corda, ...
2- 1.14:
De um triângulo qualquer, tomamos um dos seus vértices e a bissectriz do ângulo respetivo...
3- 1.15:
Tomámos uma circunferência (que pode ser alterada ....) e por cada um de 4 pontos dela se toma a respetiva tangente. Consideramos o quadrilátero circunscrito à circunferência. .....
4- 1.16):
A figura seguinte levou-nos a que os nossos segmentos a+c = b+d ..... Só nos falta ver a figura e demonstrar que....
5- 1.17):
Tomamos 3 pontos $\;A,\;B,\;C\;$ duas retas $\;AB\;$ e $\;AC\;$ que se intersectam em $\;A\;$ e o segmento de recta $\;BC\;$ que corta as duas $\;AB\;$ e $\;AC\;$. Olhamos para a figura a que acrescentamos as circunferências que tocam as rectas $\;AB,\;BC\;$ e $\;CA\;$.
E há alguma coisa na figura que nos fale?
6- 1.19) pode mover os pontos da circunferência da figura e procurar as invariância
7- 1.20):
7- 1.21):
... e continuaremos a construir por aqui..... escrevendo poucas palavras adequadas às figuras que me lembre ou... que alguém me lembre....
1- 1.13: Tomadas uma qualquer corda de uma qualquer circunferência e quaisquer dois pontos da corda, ...
2- 1.14:
De um triângulo qualquer, tomamos um dos seus vértices e a bissectriz do ângulo respetivo...
3- 1.15:
Tomámos uma circunferência (que pode ser alterada ....) e por cada um de 4 pontos dela se toma a respetiva tangente. Consideramos o quadrilátero circunscrito à circunferência. .....
4- 1.16):
A figura seguinte levou-nos a que os nossos segmentos a+c = b+d ..... Só nos falta ver a figura e demonstrar que....
5- 1.17):
Tomamos 3 pontos $\;A,\;B,\;C\;$ duas retas $\;AB\;$ e $\;AC\;$ que se intersectam em $\;A\;$ e o segmento de recta $\;BC\;$ que corta as duas $\;AB\;$ e $\;AC\;$. Olhamos para a figura a que acrescentamos as circunferências que tocam as rectas $\;AB,\;BC\;$ e $\;CA\;$.
E há alguma coisa na figura que nos fale?
6- 1.19) pode mover os pontos da circunferência da figura e procurar as invariância
7- 1.20):
7- 1.21):
... e continuaremos a construir por aqui..... escrevendo poucas palavras adequadas às figuras que me lembre ou... que alguém me lembre....
20.10.22
Por um ponto P passa uma reta que corta duas circunferências em cordas iguais
iniciativa de Mariana Sacchetti:
respondendo a Marco Antônio Manetta que comentou em "Resolver um problema de construção usando uma translação"
15/09/2014:
Como seria a resolução se, ao invés de uma reta paralela, fosse dado um ponto (externo às duas circunferências) por onde a reta deve passar e determinar cordas iguais nas duas circunferências
Sejam dadas duas circunferências e um ponto P exterior às duas.
Traçar por P uma reta que determine cordas de igual comprimento em ambas as circunferências.
Clicando passo a passo pode ir seguindo a construção acima
1. Traçar o eixo radical das duas circunferências:
- Traça-se uma circunferência auxiliar que intersete as duas circunferências.
- Traçam-se as retas definidas pelos pontos de interseção da circunferência auxiliar com cada uma das circunferências
- O eixo radical é a reta que passa pelo ponto de interseção das duas retas e é perpendicular à reta dos centros das circunferências
2. Seja $\;M\;$ o ponto médio de $\;[O_{1}O_{2}]\;$
3. Traçar a circunferência de diâmetro $\;[MP]\;$
4. A reta que define nas circunferências cordas com o mesmo comprimento é a reta que passa por $\;P\;$ e o ponto de interseção do eixo radical com a circunferência de diâmetro $\;[MP]\;$ $$\; \overline{𝑄𝑅} = \overline{𝑆𝑇}\;$$
Nota:.........Problema nº 227 proposto no Geometriagon (http://polarprof-001- site1.htempurl.com)
respondendo a Marco Antônio Manetta que comentou em "Resolver um problema de construção usando uma translação"
15/09/2014:
Como seria a resolução se, ao invés de uma reta paralela, fosse dado um ponto (externo às duas circunferências) por onde a reta deve passar e determinar cordas iguais nas duas circunferências
Sejam dadas duas circunferências e um ponto P exterior às duas.
Traçar por P uma reta que determine cordas de igual comprimento em ambas as circunferências.
Clicando passo a passo pode ir seguindo a construção acima
1. Traçar o eixo radical das duas circunferências:
- Traça-se uma circunferência auxiliar que intersete as duas circunferências.
- Traçam-se as retas definidas pelos pontos de interseção da circunferência auxiliar com cada uma das circunferências
- O eixo radical é a reta que passa pelo ponto de interseção das duas retas e é perpendicular à reta dos centros das circunferências
2. Seja $\;M\;$ o ponto médio de $\;[O_{1}O_{2}]\;$
3. Traçar a circunferência de diâmetro $\;[MP]\;$
4. A reta que define nas circunferências cordas com o mesmo comprimento é a reta que passa por $\;P\;$ e o ponto de interseção do eixo radical com a circunferência de diâmetro $\;[MP]\;$ $$\; \overline{𝑄𝑅} = \overline{𝑆𝑇}\;$$
Nota:.........Problema nº 227 proposto no Geometriagon (http://polarprof-001- site1.htempurl.com)
19.10.22
Problemas de Apolónio (continuada)
iniciativa de Mariana Sacchetti:
(3) Círculo tangente a dois pontos e uma reta (PPL)
3.1.) Os dois pontos pertencem à reta ou estão de lados diferentes da reta.
Em ambos as situações não existem soluções.
Uma circunferência que passe pelos pontos $\;A\;$ e $\;B\;$ ou $\;C\;$ e $\;D\;$ corta sempre a reta em dois pontos. Logo, não é tangente à reta.
3.2.) Um ponto pertence à reta e o outro não
Existe uma solução cujo centro é a interseção da perpendicular à reta em $\;A\;$ e a mediatriz do segmento de reta $\;[AB]\;$
3.3) Os pontos não pertencem à reta e estão do mesmo lado
3.3.1) Os pontos pertencem a uma perpendicular à reta dada.
Nesta situação há duas soluções:
Sendo $\;[AB]\;$ uma corda do círculo pretendido o seu centro situa-se na mediatriz de $\;[AB]\;$ e o seu raio é a distância da linha dos centros à reta dada $\;(𝑀𝐶)$.
Assim, traça-se a circunferência com centro no ponto $\;A\;$ ou no ponto $\;B\;$ e raio $\;𝑀𝐶\;$ que determina na linha dos centros os centros das duas soluções possíveis. Soluções $\;(O_1, MC)\;$ e $\;(O_2, MC)\;$
3.3.2) Os pontos pertencem a uma paralela à reta dada
Esta situação tem 1 solução.
A mediatriz de $\;[AB]\;$ determina na reta dada o ponto de tangência $\;(T)$. Trata-se, então, de desenhar o círculo que passa por 3 pontos
3.3.3) Os pontos estão alinhados numa secante à reta dada
Esta situação tem duas soluções
$\;AB\;$ secante à reta dada, interseta-a em $\;C.\;$ Como $\;T_1\; (T_2)\;$ pertence à reta e é o ponto de tangência da circunferência pretendida, sabemos que:
$\;𝐶𝐴. 𝐶𝐵\; = \;𝐶𝑇^{2} ⟺ 𝐶𝑇 = √{𝐶𝐴. 𝐶𝐵}\; , \;CT_1\;$ é a média geométrica de $\;CA\;$ e $\;CB\; (=CF)\;$. 11 Uma vez determinados os pontos de tangência, basta desenhar a circunferência que passa pelos três pontos $\;A, \;B\;$ e $\;T_1\;$ (ou $\;T_2$).
(3) Círculo tangente a dois pontos e uma reta (PPL)
3.1.) Os dois pontos pertencem à reta ou estão de lados diferentes da reta.
Em ambos as situações não existem soluções.
Uma circunferência que passe pelos pontos $\;A\;$ e $\;B\;$ ou $\;C\;$ e $\;D\;$ corta sempre a reta em dois pontos. Logo, não é tangente à reta.
3.2.) Um ponto pertence à reta e o outro não
Existe uma solução cujo centro é a interseção da perpendicular à reta em $\;A\;$ e a mediatriz do segmento de reta $\;[AB]\;$
3.3.1) Os pontos pertencem a uma perpendicular à reta dada.
Nesta situação há duas soluções:
Assim, traça-se a circunferência com centro no ponto $\;A\;$ ou no ponto $\;B\;$ e raio $\;𝑀𝐶\;$ que determina na linha dos centros os centros das duas soluções possíveis. Soluções $\;(O_1, MC)\;$ e $\;(O_2, MC)\;$
3.3.2) Os pontos pertencem a uma paralela à reta dada
Esta situação tem 1 solução.
3.3.3) Os pontos estão alinhados numa secante à reta dada
Esta situação tem duas soluções
$\;AB\;$ secante à reta dada, interseta-a em $\;C.\;$ Como $\;T_1\; (T_2)\;$ pertence à reta e é o ponto de tangência da circunferência pretendida, sabemos que:
$\;𝐶𝐴. 𝐶𝐵\; = \;𝐶𝑇^{2} ⟺ 𝐶𝑇 = √{𝐶𝐴. 𝐶𝐵}\; , \;CT_1\;$ é a média geométrica de $\;CA\;$ e $\;CB\; (=CF)\;$. 11 Uma vez determinados os pontos de tangência, basta desenhar a circunferência que passa pelos três pontos $\;A, \;B\;$ e $\;T_1\;$ (ou $\;T_2$).
10.10.22
Problemas de Apolónio
iniciativa Mariana Sacchetti:
Dadas três coisas, cada uma delas pode ser um ponto, uma reta ou um círculo, traçar um círculo que é tangente a cada uma das três coisas.
Nota: Ser tangente a um ponto significa conter o ponto
Teremos ao todo 10 situações:
(1) 3 pontos (PPP)
(2) 3 retas (LLL)
(3) 2 pontos e1reta (PPL)
(4) 2 retas e 1 ponto (LLP)
(5) 2 pontos e 1 círculo (PPC)
(6) 2 círculos e 1 ponto (CCP)
(7) 2 retas e 1 círculo (LLC)
(8) 2 círculos e 1reta (CCL)
(9) 1 ponto, 1 reta e 1 círculo (PLC)
(10) 3 círculos (CCC)
(1) Círculo tangente a 3 pontos (PPP) (vulgarmente: círculo que passa por 3 pontos)
Este problema não tem solução se os três pontos forem colineares. Caso contrário tem sempre uma única solução
(2) Círculo tangente a três retas (LLL)
1.1. As 3 retas são paralelas ou as três retas são concorrentes no mesmo ponto
Ambas as situações não têm solução
2.2 Duas das retas são paralelas e a terceira é concorrente
Neste caso há duas soluções
Ambas as soluções têm centro na linha média entre as paralelas, interseção com as bissetrizes $\;b_1\;$ e $\;b_2\;$
2.3. As retas são concorrentes duas a duas
Nesta situação há 4 soluções: a circunferência inscrita e as circunferências ex-inscritas ao triângulo que as três retas formam.
Dadas três coisas, cada uma delas pode ser um ponto, uma reta ou um círculo, traçar um círculo que é tangente a cada uma das três coisas.
Nota: Ser tangente a um ponto significa conter o ponto
Teremos ao todo 10 situações:
(1) 3 pontos (PPP)
(2) 3 retas (LLL)
(3) 2 pontos e1reta (PPL)
(4) 2 retas e 1 ponto (LLP)
(5) 2 pontos e 1 círculo (PPC)
(6) 2 círculos e 1 ponto (CCP)
(7) 2 retas e 1 círculo (LLC)
(8) 2 círculos e 1reta (CCL)
(9) 1 ponto, 1 reta e 1 círculo (PLC)
(10) 3 círculos (CCC)
(1) Círculo tangente a 3 pontos (PPP) (vulgarmente: círculo que passa por 3 pontos)
Este problema não tem solução se os três pontos forem colineares. Caso contrário tem sempre uma única solução
(2) Círculo tangente a três retas (LLL)
1.1. As 3 retas são paralelas ou as três retas são concorrentes no mesmo ponto
Ambas as situações não têm solução
2.2 Duas das retas são paralelas e a terceira é concorrente
Neste caso há duas soluções
Ambas as soluções têm centro na linha média entre as paralelas, interseção com as bissetrizes $\;b_1\;$ e $\;b_2\;$
2.3. As retas são concorrentes duas a duas
Nesta situação há 4 soluções: a circunferência inscrita e as circunferências ex-inscritas ao triângulo que as três retas formam.
24.9.22
das estrelas de cinco bicos diremos um radiano para todas elas ?
Na nossa contrução dinâmica que se segue, os pontos $\;A,\;B, \;C, \;D, \;E\;$ podem ser deslocados de tal modo que os ângulos agudos $$\;\alpha\;= \angle C\hat{A}D,\;\beta\;= \angle D\hat{B}E, \;\gamma\;=\; \angle E\hat{C}A, \; \delta \;=\; \angle A\hat{D}B; \;\epsilon\;=\;\angle B\hat{E}C \;$$ tomem várias amplitudes.
Atente nos valores em radianos de cada uma das amplitudes dos ângulos da figura e da soma dessas amplitudes. E, basta deslocar um ponto ou vários para obter novas amplitudes dos ângulos.
E a soma das amplitudes varia ou é invariante?
16.9.22
AB D C - a olhar para o esquecido!
Na construção que se segue:
- $\;A, \;B\;$? - livres. Pode deslocá-los - "$\;c=[AB]\;$?"
- Podia ter sido escolhido $\;a,\;$ ou $\;b\;$, mas o ponto $\;E\;$ é o que poderá tomar qualquer posição de $\;b\;$ na nossa construção.
- Lembramo-nos que cada terno de pontos determinam uma circunferência e podemos falar da circunferência
$\;OF\;=\;OC\;=\;OE\;$.....
...onde estará o centro $\;O\;$?.......
(ABC) e [ABC], [AO] e [AH], OÂC e BÂH
A construção apresentada é dinâmica e pode escolher posiões para alguns pontos e verificar (e demonstrar) invariâncias ....
14.9.22
um triângulo ABC, um novo ponto por cada lado DEF e circunferências (BDF) e (FEA)...
Considerámos os triângulos de vértices $\;[A, \;B, \; C]\;$ que podem tomar posições diversas. Claro que em cada lado destes triângulos podemos considerar um ponto como mostra a figura: $\;D\;$ no lado $\;BC\;$, $\;E\;$ em $\;CA\;$ e $\;F\;$ em $\;AB\;$ de que podemos mudar as suas posições. Cada um dos ternos de tais pontos determina uma circunferência, por exemplo $\;(BDF)\;$ e $\;(FEA)\;$ que se intersectam em $\;H\;$. A nossa construção mostra-nos que...
12.9.22
uma circunferência, tangência num ponto e um triângulo
Tomamos uma circunferência e dois pontos que podem estar em qualquer posição dela: Um deles $\;,A, \;$ é tomado como ponto de tangência e dessa tangente tomamos a perpendicular em $\;A;$ que fica dependente da posição de $\;A\;$ e intersecta a circunferência em $\;B.\;$ Um terceiro ponto $\; C\;$ pode tomar várias posições. Interessam-nos as consequências das diversas variações.....
5.9.22
o ponto na circunferência como vértice de ângulos
Apresenta-se na figura seguinte uma circunferência e nela um ponto $\;V\;$ que pode tomar quaisquer situações na circunferência. Considerando $\;V\;$ vértice de algum ângulo de lados $\;VC\;$ e $\;VD\;$ tomando $\;C\;$ e $\;D\;$ quaisquer posições da circunferência.
Apresentamos ainda a bissectriz de cada ângulo $\,C\hat{V}D\;$
3.9.22
(4 )vértices de ângulos em circunferência
Apresentamos a seguir círcunferência que se pode manter a mesma se deslocarmos o ponto $\;A\;$ e outra diferente se deslocarmos $\;B\;$
Os pares de segmentos de recta
$\; CA, \;AD, \:DB, \;BC\;$ e os ângulos $\;B\hat{A}C\;$ e $\;C\hat{B}D\;$ dados de valores das amplitudes desses ângulos sugerem que a somas da suas amplitudes $\;C\hat{A}D\; + \;D\hat{B}C\;$ correspondem a um semicírculo,
O mesmo acontece com o outro par de ângulos de vértices $\;C\;$ e $\;D.\;$
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