GEOMETRIA : março 2016

21.3.16

Construir um paralelogramo de que se conhecem as diagonais e um lado

Problema:
Construir um paralelogramo $\;[ABCD]\;$ de que conhecemos os comprimentos de um dos seus lados $\;a=AB\;$ e das suas diagonais $\; d_1=AC, \; d_2= BD.$

Um paralelogramo tem os lados opostos paralelos e de comprimentos iguais:

$\;AB\parallel CD \wedge AB=CD; \; BC\parallel DA \wedge BC=DA\;$ e cada uma das suas diagonais encontra a outra no seu ponto médio, ou seja, há um ponto

$\;M : \;\;\;\;AM = MC = \frac{d_1}{2},\;\;\; BM = MD = \frac{d_2}{2}\;$

Pode seguir os passos da construção, fazendo variar o valor de

$\;n\;$ no seletor ao fundo da janela.

@geometrias, 21 março 2016, Criado com GeoGebra

Temos dados bastantes para construir um triângulo

$\;[AMB]\;$ de lados

$\;a=AB, \;\frac{d_1}{2}=AM, \; \frac{d_2}{2}=BM.\;\;\;\;\;$ E a partir dele, tudo se retira:

$\;\left(M,\;\frac{d_1}{2}, \right).AM \rightarrow C, \;\;\;\left(M,\;\frac{d_2}{2}\right).BM \rightarrow D\;$ □

200. Construire un parallèlogramme connaissant ses deux diagonales et un côté.l
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Librairie Vuibert. Paris:1947

17.3.16

Construir um trapézio conhecendo comprimentos das bases e amplitudes dos ângulos adjacentes a uma delas.

Problema:
Construir um trapézio $\;[ABCD]\;$ de que conhecemos os comprimentos das suas bases $\;a=AB, \;c=CD\;$ e os ângulos adjacentes a uma das suas bases $\;\beta=A\hat{B} C, \; \alpha= B\hat{A}D.$

De um trapézio

$\;[ABCD]\;$ de bases

$\;AB, \;CD\;$ e

$\; \angle B\hat{A}D = \alpha\;$ qualquer reta que faça um ângulo igual a esse

$\;\alpha\;$ com a reta

$\;AB\;$ é paralela a

$\;AD.\;$

Pode seguir os passos da construção, fazendo variar o valor de

$\;n\;$ no seletor ao fundo da janela.

@geometrias, 16 março 2016, Criado com GeoGebra

Para a determinação do vértice

$\;C\;$ tomamos um ponto

$\;E\;$ sobre

$\;AB\;$ tal que seja

$\;AE = CD. \;$
Tracemos o segundo lado de um ângulo de vértice em

$\;E\;$ e primeiro lado

$\;EB\;$ . Sabemos que esse segunda lado é paralelo a

$\;AD\;$ e, por isso,

$\;C\;$ é um ponto desse segundo lado. Por outro lado, sabemos que está sobre o segundo lado do ângulo de vértice

$\;B\;$ que faça um ângulo

$\;\beta\;$ com o lado

$\;BA\;$ .
Tod o o problema de construção do trapézio em questão se resume pois a construir o triângulo de base

$\;EB=a-c\;$ e ângulos adjacentes

$\;\alpha, \; \beta\;$ cujo terceiro vértie é

$\;C\;$
O quarto vértice

$\;D\;$ é a intersecção da paralela a

$\;AB\;$ tirada por

$\;C\;$ com a paralela a

$\; EC\;$ tirada por

$\;A.\; \;\;\;\;\;$ □

201. Construire un trapèze connaissant les deux bases et les angles adjacents à l'une de ces bases.l
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Librairie Vuibert. Paris:1947

13.3.16

Construir um trapézio de que se conhecem os comprimentos dos lados

Problema:
Construir um trapézio de que conhecemos os comprimentos dos seus lados $\;a=AB, \;b=BC,\;c=CD,\;d=DA\;$ sendo as bases paralelas $\;AB,\;CD\;$

Sendo

$\;AB\;$ e

$\;CD\;$ as bases paralelas de um trapézio

$\;ABCD, \;$ uma paralela tirada por

$\;C\;$ a

$\;DA\;$ corta

$\;AB\;$ em

$\;E\;$ digamos. Claro que

$\;E\;$ está à distancia

$\;AD=d\;$ de

$\;C.\;$ e este pode ser determinado pela intersecção das circunferências (E, d) e (B,b). Como

$\;AB\parallel CD\;$ e

$\;CE\parallel DA, \; \;\;\; AE=CD=c\;$ e

$\;BE=a-c.$

Pode seguir os passos da construção, fazendo variar o valor de

$\;n\;$ no seletor ao fundo da janela.

@geometrias, 13 março 2016, Criado com GeoGebra

Tomando um ponto

$\;A\;$ e uma reta

$\;r\;$ quaisquer para suporte de

$\;AB, \;$ determinamos

$\, B:\; (A, a).r\;$ e

$\;E: (A,c).r\;$
O problema de construção do trapézio fica resolvido determinando

$\;C\;$ como
terceiro vértice do triângulo de lados

$\;EB=a-c, \;b,\;d.\;$
O vértice

$\;D\;$ é a intersecção da paralela a

$\;EC\;$ tirada por

$\;A\;$ com a paralela a

$\;AB\;$ tirada por

$\;C\;$ □

202. Construire un trapèze connaissant ses quatre côtés.l
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Librairie Vuibert. Paris:1947

10.3.16

Construir um trapézio de que conhecemos as bases e as diagonais

Problema:
Construir um trapézio de que se conhecem os comprimentos das bases AB (a=AB, c=CD) e das diagonais (e=AC, f=BD)

Pode seguir os passos da construção, fazendo variar o valor de

$\;n\;$ no seletor na direita baixa da janela.

@geometrias, 10 março 2016, Criado com GeoGebra

Tomado um ponto

$\;A\;$ qualquer e uma reta a passar por

$\;A\;$ para suporte de uma base

$\;AB,\;$ basta construir o triângulo com um vértice em

$\;A\;$ de lados de comprimento

$\;a+c\;$ (sobre a reta

$\;AB\;$ ),

$\; e, \; f.\;$

$\;C\;$ é um vértice deste triângulo:
Chamemos

$\;E\;$ ao vértice desse triângulo sobre a reta

$\;AB\;$ e na circunferência

$\;(A, a+c).\;\; C\;$ está em

$\;(A, e).(E, f).\;$
O ponto

$\;D\;$ é intersecção das paralelas a

$\;AB\;$ tirada por

$\;C\;$ e a

$\;EC\;$ tirada por

$\;B.\;$ □

203. Construire un trapèze connaissant les bases et les diagonales..l
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Librairie Vuibert. Paris:1947

2.3.16

Construir um quadrilátero convexo dados os lados e o ângulo de dois lados opostos

Problema:
São dados quatro segmentos $\;a, \;b,\;c,\;d\;$ e um ângulo $\;\alpha .\;$
Construir um quadrilátero convexo $\;ABCD\;$ tal que $\;AB=a,\;BC=b, \; CD=c, \; DA=d\;$ e $\; \angle \widehat{(AB, CD)} =\alpha.$

Este é um dos problemas para o qual os passos da construção se encontram por análise da figura do problema já resolvido. Se conhecemos o ângulo

$\; \angle \widehat{(AB, CD)} =\alpha,$ ao tomarmos um ângulo de vértice num dos pontos

$\;A\;$ (ou

$\;D\;$ ) sendo um dos lados do ângulo a reta

$\;AB,\;$ (ou

$\;DC\;$ ) o outro lado será uma reta paralela a

$\;DC\;$ (ou

$\;AB\;$ )
Pode seguir os passos da construção, fazendo variar o valor de

$\;n\;$ no seletor centrado ao fundo da janela.

Tomamos um ponto

$\;D\;$ qualquer e duas concorrrentes em

$\;D\;$ fazendo um ângulo de amplitude

$\; \alpha .\;$ Sobre uma dessas retas, tomamos

$\;C\;$ na intersecção dela com a circunferência

$\;(D, \;c).\;$ Na outra reta podemos tomar

$\;F\;$ na sua intersecção com a circunferência

$\;(D, a).\;$ Por ser

$\; \angle \widehat{(DC, AB)} = \alpha = C\hat{D} F,\; \; \; AB \parallel DF.\;$

$\;B\;$ fica determinado como intersecção das circunferências

$\;(F, \;d)\;$ e

$\;(C, b)\;$
E

$\;A\;$ fica determinado sobre a paralela a

$\;DF\;$ tirada por

$\;B\;$ à distância

$\,a\;$ de

$\,B.\;\;\;\;\; \;$ □

204. Construire un quadrilatère convexe connaissant les quatre côtés et l'angle formé par deux côtés non consécutifs..l
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Librairie Vuibert. Paris:1947