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31.1.16

Construir uma circunferência tangente a uma reta e passe por dois pontos (2)

Problema:
São dados dois pontos \;A,\;B\; ambos à mesma distância de uma dada reta \;r.\;
Construir uma circunferência que passe pelos pontos \;A, \;B\; e é tangente a \;r. \;

©geometrias. 31 janeiro 2016, Criado com GeoGebra

Pode seguir a construção da solução do problema, fazendo variar os valores de n no seletor apresentado à direita baixa do retângulo de visualização


Se \;A,\;B\; estão à mesma distância de \;r, \; \;AB \parallel r.\; O centro da circunferência que passa por \;A,\;B\; é um ponto da mediatriz de \;AB \; que intersecta \;r\; em \;D.\; Como a mediatriz de \;AB\; é perpendicular a \;AB\; também é perpendicular à sua paralela \;r.\; Por isso o ponto \;D\; é o ponto de tangência da circunferência que passa por \;A, \;B\; e é tangente a \;r.\; Assim o centro da circunferência que procuramos é o ponto comum a \;CD\; e a mediatriz de \;AD\; ou de \;BD\;
151. On donne une droite D et d'un même côté, sur une même perpendiculaire à D, deux points A et B. Construire un cercle passant par A et B et tangent à la droîte D.
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Livbrairie Vuibert. Paris:1947
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30.1.16

Construir uma circunferência tangente a uma reta e passe por dois pontos (1)

Problema:
São dados dois pontos \;A,\;B\; ambos sobre uma perpendicular a uma reta \;r\; dada e num dos semi-planos determinados por ela.
Construir uma circunferência que passe pelos pontos \;A, \;B\; e é tangente a \;r. \;

©geometrias. 30 janeiro 2016, Criado com GeoGebra

Pode seguir a construção da solução do problema, fazendo variar os valores de n no seletor apresentado à direita baixa do retângulo de visualização


Por serem dados dois pontos da circunferência que se procura, bastará determinar um terceiro ponto da circunferência ou o seu centro \;F\; que é um ponto equidistante dos pontos \;A\; e \;B\; — ( FA = FB ) — da mediatriz de \;[AB]. Para que a circunferência seja tangente a \;r\; é preciso que o seu raio seja igual à distância de \;F\; a \;r,\; ou, o que é o mesmo, que seja igual à distância de \;r\; à mediatriz de \;[AB]\;. Esta distância é \;CD\; em que \;C\; é \;AB.r\; e \;D\; é o ponto médio de \;[AB]\;. O centro da circunferência é determinado como \; (A, CD). (B, CD),\; por exemplo. Há dois pontos \;E, \;F\; que verificam essas condições. As soluções do problemas serão \;(E, EA)\; e \;(F, FB) \;, simétricas relativamente ao espelho \;AB.\;
151. On donne une droite D et d'un même côté, sur une même perpendiculaire à D, deux points A et B. Construire un cercle passant par A et B et tangent à la droîte D.
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Livbrairie Vuibert. Paris:1947
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7.1.16

Outro problema resolvido usando inversão

Construir uma circunferência que passe por um ponto \;A\; dado e corte duas circunferências - \;c_1, \;c_2\; - dadas segundo os ângulos \; \alpha , \; \beta \; respetivamente.

O ângulo de uma reta \;r\; com uma circunferência que a corte num ponto \;P\; é um ângulo de vértice P cujos lados são r e a tangente à circunferência em \;P.\; Se duas circunferências se cortam, dizemos que se cortam segundo um ângulo \;\alpha \; quando as tangentes às duas num ponto de interseção fazem um ângulo de amplitude \; \;\alpha .\; Neste caso, temos de encontrar uma circunferência que corte \;c_1\; segundo um ângulo \; \alpha\; (verde) e \;c_2\; segundo o ângulo \;\beta \; (castanho).
Para isso bastará inverter as circunferências dadas relativamente a uma circunferência de inversão e depois encontrar uma reta que corte as inversas segundo aqueles ângulos. Como a inversão conserva os ângulos se invertermos essa reta obteríamos uma circunferência a cortar as dadas segundo os ângulos dados. Esta circunferência inversa da reta deve passar pelo ponto \;A\; dado e, para isso acontecer, bastará que a circunferência de inversão tenha centro em \;A.\;
Os procedimentos necessários já foram dissecados antes, por exemplo, na antepenúltima entrada publicada a 20 de dezembro do passado ano em que se apresentava a resolução do problemma " Construir uma circunferência que passe por dois pontos \;A,\;B\; dados e corte uma reta dada segundo um dado ângulo \; \alpha. \;

© 5 janeiro 2016, Criado com GeoGebra

Fazendo variar o valor de \;n\; no seletor na direita alta da figura, acompanha passo a passo a resolução do problema. Também pode fazer variar a amplitude do ângulo dado deslocando o ponto visível a verde, como pode fazer variar \; A, \; O_1, \;O_2, ....\; com consequências que vão até poder ver em que condições há dua\ ou nenhuma solução para o problema.… Depois de qualquer alteração, pode usar o botão (direita altíssima) para reiniciar. <

Na figura ----\;\fbox{n=0}\;---- estão patentes os dados do problema.
Em ---- \;\fbox{n=1}\;---- acrescenta-se uma circunferência \;i\; de centro \;A\; (raio qualquer) que vai servir de circunferência de inversão.
\;\fbox{n=2}\;---- A inversão relativa à circunferência \;i\; ou \;(A)\; transforma a circunferência \;c_1 \;\;\;\mbox{ou}\;\;\; (O_1) \; numa circunferência \;c'_1\; de centro \;O'_1 e \;(O_2)\; em \;(O'_2)\; (tracejadas)
\;\fbox{n=3}\;---- Determinamos as circunferências (pontilhadas) concêntricas com \;c'1 , \;c'_2\; para cada uma das quais qualquer das suas retas tangentes fazem ângulos
---\; \alpha \; com \;c'_1\;, inversa de \;c_1\;
---\; \beta \; com \;c'_2\;
\;\fbox{n=4}.:\; Tomamos uma tangente (laranjada) comum a essas duas circunferências que obviamente cortará \;(c'_1)\; segundo um ângulo \; \alpha\; e \;c'_2\; segundo um ângulo \;\beta\;
\;\fbox{n=5} :\; ---- Por isso e porque a circunferência da inversão tem centro \;A\;, invertendo a reta alaranjada relativamente a \;(i),\; obtemos uma circunferência que é solução do problema, ----\;\fbox{n=6,7}\;---- aqui realçada

Claro que no caso dos concretos dados originais e da nossa figura há mais três soluções, já que os nossos dois círcul(inh)os (a pontilhado) admitem quatro tangentes mostradas para \;\fbox{n=8, 9, 10} \;
Pode fazer variações claro....

* Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie Vuibert. Paris:1946.
201. Construire un cercle passant par un point donné \;A\; et coupant deux cercles donnés \;(C),\;(C')\; sous des angles donnés \;\alpha,\; \alpha '.
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2.1.16

O mundo do meio

Problema: Construir uma circunferência que passe por um ponto \;A\; dado e corte duas circunferências - \;c_1, \;c_2\; - dadas segundo os ângulos \; \alpha , \; \beta \; respetivamente.

O ângulo de uma reta \;r\; com uma circunferência que a corte num ponto \;P\; é um ângulo de vértice P cujos lados são r e a tangente à circunferência em \;P.\; Se duas circunferências se cortam, dizemos que se cortam segundo um ângulo \;\alpha \; quando as tangentes às duas num ponto de interseção fazem um ângulo de amplitude \; \;\alpha .\; Neste caso, temos de encontrar uma circunferência que corte \;c_1\; segundo um ângulo \; \alpha\; (verde) e \;c_2\; segundo o ângulo \;\beta \; (castanho).
Para isso bastará inverter as circunferências dadas relativamente a uma circunferência de inversão e depois encontrar uma reta que corte as inversas segundo aqueles ângulos. Como a inversão conserva os ângulos se invertermos essa reta obteríamos uma circunferência a cortar as dadas segundo os ângulos dados. Esta circunferência inversa da reta deve passar pelo ponto \;A\; dado e, para isso acontecer, bastará que a circunferência de inversão tenha centro em \;A.\;
Os procedimentos necessários já foram dissecados antes, por exemplo, na antepenúltima entrada publicada a 20 de dezembro do passado ano em que se apresentava a resolução do problemma " Construir uma circunferência que passe por dois pontos \;A,\;B\; dados e corte uma reta dada segundo um dado ângulo \; \alpha. \;

© 5 janeiro 2016, Criado com GeoGebra

Fazendo variar o valor de \;n\; no seletor na direita alta da figura, acompanha passo a passo a resolução do problema. Também pode fazer variar a amplitude do ângulo dado deslocando o ponto visível a verde, como pode fazer variar \; A, \; O_1, \;O_2, ....\; com consequências que vão até poder ver em que condições há duas ou nenhuma solução para o problema.… Depois de qualquer alteração, pode usar o botão (direita altíssima) para reiniciar.

Na figura - \;\fbox{n=0}\; - estão patentes os dados do problema.
Em - \;\fbox{n=1}\;- acrescenta-se uma circunferência \;i\; de centro \;A\; (raio qualquer) que vai servir de circunferência de inversão.
\;\fbox{n=2}\; - A inversão relativa à circunferência \;i\; ou \;(A)\; transforma a circunferência \;c_1 \;\;\;\mbox{ou}\;\;\; (O_1) \; numa circunferência \;c'_1\; de centro \;O'_1 e \;(O_2)\; em \;(O'_2)\; (tracejadas)
\;\fbox{n=3}\; - Determinamos as circunferências (pontilhadas) concêntricas com \;c'1 , \;c'_2\; para cada uma das quais qualquer das suas retas tangentes fazem ângulos
- \; \alpha \; com \;c'_1\;, inversa de \;c_1\;
- \; \beta \; com \;c'_2\;
\;\fbox{n=4}.:\; Tomamos uma tangente (laranjada) comum a essas duas circunferências que obviamente cortará \;(c'_1)\; segundo um ângulo \; \alpha\; e \;c'_2\; segundo um ângulo \;\beta\;
\;\fbox{n=5} :\; - Por isso e porque a circunferência da inversão tem centro \;A\;, invertendo a reta alaranjada relativamente a \;(i),\; obtemos uma circunferência que é solução do problema, - \;\fbox{n=6,7}\; - aqui realçada

Claro que no caso dos concretos dados originais e da nossa figura há mais três soluções, já que os nossos dois círcul(inh)os (a pontilhado) admitem quatro tangentes mostradas para \;\fbox{n=8, 9, 10} \;
Pode fazer variações claro....

* Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie Vuibert. Paris:1946.
201. Construire un cercle passant par un point donné \;A\; et coupant deux cercles donnés \;(C),\;(C')\; sous des angles donnés \;\alpha,\; \alpha '.
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