Exercício Interativo: Polo trilinear de uma reta

A reta p corta os lados do triângulo ABC. Determine o polo trilinear P da reta p no sentido dual da definição e da construção descrita e feita na entrada anterior. ....................... Sugestão:
Tome P'_a=p.BC. E determine P_a: H(BC,P'_aP_a). Depois determine P_b e P_c.
Para pensar:
a) O que acontece se nós estendermos as definições de polo e polares trilineares para quando o ponto P estiver sobre algum lado do triângulo ou for algum dos seus vértices? O que acontece quando a reta p cortar os lados do triângulo em algum vértice ou quando a reta p corta algum dos lados do triângulo num ponto do infinito?
b) Pense na possibilidade de determinar o polo de uma reta no infinito relativamente a um triângulo ABC dado.

---

Já apresentámos o problema resolvido em geral mais do que uma vez. Por exemplo, em da polar trilinear ao polo (de 2009) que transcrevemos:
A pedido de um leitor anónimo, apresentamos a resposta à pergunta:
Dada uma recta e um triângulo de que ela é polar trilinear, como se determina o pólo correspondente?



[A.A.M.] reconstrutor de serviço

---

Consideramos que a resposta está na entrada Polar trilinear de 9 de Dezembro de 2008. Mas aqui fica tratado o problema posto.

---

Na construção dinâmica, que pode seguir por etapas, ao deslizar o cursor ao fundo da janela, parte-se da polar p e para determinar o pólo P respectivo, seguem-se os passos:

1. Determinam-se os pontos de intersecção da recta p com os lados do triângulo ABC - P'_a, P'_b e P'_c.


2. O vértice P_c do triângulo ceviano de ABC que procuramos separa harmonicamente os pontos A, B e P'_c e que é colinear com os pontos C e Q, este último a separar harmonicamente os pontos P'_a, P'_b e P'_c. A determinação de P_c ou de Q faz-se pela construção de um quadrilátero completo de que CQ é diagonal


3. Determinado P_c, imediatamente se determinam P_a e P_b tirando as rectas P'_a P_c e P'_bP_c que intersectam os lados de ABC em P_a e P_b. A recta P'_cP_a passa por P_b e, por isso P_aP_bP_c determinam um triângulo inscrito em ABC com lados a intersectar p nos pontos de intersecção desta com o triângulo original.


4. As cevianas AP_a, BP_b e CP_c intersectam-se no pólo P, correspondente à polar trilinear p

Polar trilinear de um ponto

Seja o triângulo ABC e um ponto P que não coincida com qualquer dos seus vértices nem incida em qualquer dos seus lados a=BC, b=AC e c=AB. Tiremos por P as retas PA, PB e PC e chamemos P_a a PA.BC, P_b=PB.AC e P_c=PC.AB
E tomemmos as cevianas do triângulo ABC, AP_a, BP_b e CP_c que incidem em P.
Consideremos agora o triângulo cujos vértices são os pés das cevianas P_aP_bP_c e as interseções P_cP_b.BC=P'_a, P_aP_c.AC=P'_b e P_aP_b.AB=P'_c.
Então:
a) P'_a, P'_b e P'_c são colineares
Como ABC e P_aP_bP_c são perspetivos por P (centro), serão perspetivos por uma reta (eixo) que não pode ser outra senão a reta dos pontos de interseção dos pares de lados correspondentes
b) H(BC, P_aP'_a), H(AC, P_bP'_b) e H(BC,P_cP'_c)
Basta considerar o quadrilátero completo P_bP_cAP para concluir que se verifica H(BC,P_aP'_a). De igual modo se verificarão as outras relações.

Poncelet chamou polar trilinear de P à reta p em que incidem os pontos P'_a, P'_b e P'_c.

Dualmente: dado um triângulo ABC e uma reta p que corte os lados do triângulo sem passar por qualquer dos seus vértices, pode falar-se do polo trilinear P da reta p. Um problema pode ser determiná-lo.

Harmónicos em 2 lados, harmónico no 3º lado de um triângulo

Se PQR é um triângulo, H(AA₁,QR) e H(BB₁,RP) então P e Q são conjugados harmónico relativamente a C=AB₁.BA₁ e C₁=AB.A₁B₁.

---

A construção abaixo serve para ilustrar esse resultado. Tomámos A e A₁ sobre RQ tal que H(AA₁,QR) e BB₁ sobre RP tais que H(BB₁,RP) - a hipótese por construção. E podemos constatar a tese sobre a mesma construção. Demonstração:

---

O quadrilátero BCB₁C₁ garante que CC₁ interseta AA₁ em Q, conjugado harmónico de R relativamente a A e A₁. E de modo análogo, o quadrilátero CAC₁A₁ garante que CC₁ interseta BB₁ em P, conjugado harmónico de R. Finalmente, o quadrilátero ABA₁B₁ garante-nos que Q sobre AA₁ e P sobre BB₁ são conjugados harmónicos relativamente a C e C₁

Exercício Interativo: Dos pontos diagonais aos vértices do quadrilátero

Determinar os vértices de um quadrilátero completo PQRS de que se conhecem os pontos diagonais A, B, C e o vértice S.

Perspetividades e projetividades preservam as relações harmónicas

Na figura dinâmica abaixo, apresentam-se um feixe abcf de centro S, cortado por duas retas que não passam por S, sendo
A→a→A', B→b→B' e C→c→C', F→f→F'
ABCF→_Sabcf→_SA'B'C'F'
que é o mesmo que dizer ABCF e A'B'C'F' são S-perspetivos.
Por construção, os pontos ABCF verificam a relação harmónica H(AB,CF).
Pelos resultados da página anterior sabemos que se ABCF verificam a relação harmónica H(AB,CF) então abcf é um feixe harmónico. E se abcf é um feixe harmónico então a sua secção A'B'C'F' por uma reta é um conjunto harmónico de pontos. Resumindo
Se ABCF e A'B'C'F' são perspetivos e H(AB,CF) então H(A'B',C'F')
que é o mesmo que dizer que as perspetividades preservam a relação harmónica. Como a composta de duas perspetividades é uma projetividade, podemos concluir que a projetividade preserva a relação harmónica. [Por exemplo, von Staudt definia projetividade como correspondência biunívoca que transforma conjuntos harmónicos em conjuntos harmónicos]. E, como já vimos em entrada anterior, quaisquer quatro pontos colineares podem ser permutados aos pares por uma projetividade, por exemplo,
ABCF e FCBA são projetivos, como são projetivos ABCF e CFBA. ABCF e CFAB, ABCF e FCAB
E, assim, como o projetivo de um harmónico, harmónico é, podemos concluir que:
se H(AB,CF), então H(FC,BA) e também H(CF,BA), H(CF,AB), H(FC,AB).

Projetividade entre pontuais e feixes harmónicos.

Retomamos a figura da última entrada. Na construção abaixo, o feixe abcf de centro em S=a.b.c.f respeitando uma relação harmónica. Nesta construção, cada terno a,b,c determina univocamente a reta f. A, B, C, F constituem uma secção do feixe harmónico a,b,c,f, pela reta q, ao mesmo tempo que são os pontos da secção pela reta q do quadrilátero de vértices P,Q,R,S. A reta q passa por dois dos seus pontos diagonais A e B, sendo que C e F são pontos de interseção de q com os lados RS e PQ, respetivamente.
Este processo garante que o feixe harmónico abcf pode ser obtido a partir de qualquer conjunto harmónico de pontos e um ponto S em que não incida a reta do conjunto harmónica. Assim, fica estabelecido que
Um conjunto harmónico de pontos é projetivo com um feixe harmónico de retas de centro fora da base do conjunto harmónica
e, dualmente,
Qualquer secção de um feixe harmónico por uma reta que não passe pelo seu centro é um conjunto harmónico de pontos.

Relações harmónicas - duais.

Introduzimos a relação harmónica H(AB,CF) com recurso a um quadrilátero completo PQRS, para a qual os pontos A, B, C determinam univocamente F. Trata-se agora de dualizar esse trabalho que concluirá por uma relação para a qual três retas a, b, c determinam univocamente uma quarta reta f.

H(AB, CF): Estabelecer essa relação harmónica é o mesmo que criar o conjunto harmónico (AA,BB,CF) como secção (pontual) de um quadrilátero completo PQRS pela reta AB, considerados estes últimos como pontos diagonais do quadrilátero a construir. Fez-se assim: Tomámos a reta dos três pontos A, B, C colineares e um ponto R (livre) fora dessa reta. E traçamos os lados do triângulo ABR. Seguidamente, por A, tirámos uma segunda reta que corta BR em P e CR em S. A reta que passa por B e S determina Q sobre AR. Falta o lado QP que cortará ABC em F, conjugado harmónico de C; C é único para cada terno ABC, independente do quadrilátero PQRS; poderá verificar ao fazer variar o quadrilátero (deslocando R) de que construímos os lados e em que A e B são dois dos seus 3 pontos diagonais e C está sobre AB e o lado RS. C é o conjugado harmónico de F pela relação estabelecida.

H(ab,cf): Tomamos agora três retas distintas a,b,c que incidem num mesmo ponto que designamos por a.b.c. E vamos construir um quadrilátero de lados p,q,r,s, começando pelo triângulo qrs cujos vértices q.r, q.s, r.s incidam respetivamente em a,b,c. O lado p é o que passa por a.s e b.r, p=(a.s)(b.r). O lado p interseta q e tomamos a reta f=(a.b)(p.q) Assim, o quadrilátero de lados p,q,r,s tem a e b como duas das suas 3 diagonais enquanto c passa por dois vértices. Poderá verificar que f é única para cada terno (a,b,c) independente do quadrilátero de lados p,q,r,s, como pode verificar quando desloca esses lados mantendo a incidência das suas interseções em a,b,c fixas.Por exemplo, pode deslocar os pontos a.r sobre a reta a, b.q sobre a reta b ou c.r sobre a reta c. Podemos dizer que a reta f assim determinada é conjugada harmónica da reta c numa relação harmónica que designamos talvez abusivamente por H(ab,cf).

Se,na figura da direita, chamarmos A=a.q=a.r, B=b.q=b.s=q.s, C=c.q e F=f.q=p.q=f.p, é óbvio concluir que (AA,BB,CF) é um conjunto harmónico ou que H(AB,CF). Basta identificar as linhas ligadas ao quadrilátero de lados p,q,r,s e retas diagonais a,b,c com as linhas PQ, AB,QR, RP,PS, QS, RS para ver como ABCF, sendo uma secção do conjunto harmónico abcf é uma secção pontual harmónica do quadrilátero de vértices PQRS, agora nomeado.

Notas sobre configurações e dualidade

No plano, consideramos pontos e retas, sendo as retas conjuntos de pontos. Claro que já tratámos de conjuntos de pontos e retas. Para cada um desses conjuntos terá interesse saber 4 números: o número de pontos e o número de retas, o número de retas que passa por cada um dos pontos e o número de pontos que pertencem a cada uma das retas.
Por exemplo, um quadrilátero pode ser um conjunto de 4 pontos e 6 retas, sendo que por cada um dos 4 pontos passam 3 retas e cada uma das 6 retas passa por 2 pontos. Descrevemos o quadrilátero completo como sendo uma configuração (4₃, 6₂). Claro que um quadrilátero completo também pode ser definido com uma configuração (6₂, 4₃), 6 pontos com 2 retas a passar por cada um deles e 4 retas com 3 pontos a incidir em cada uma delas. Estas duas configurações são duais.
Numa configuração auto-dual o número de retas é igual ao número de pontos e o número de pontos de cada uma das retas é igual ao número de retas a incidir em cada ponto. Por exemplo o triângulo tem a seguinte configuração (3₂, 3₂) nas duas definições duais.
A configuração de Desargues também é autodual, exatamente (10₃, 10₃), como se pode ver:
A,B,C, A',B',C', O(=AA'.BB'=AA'.CC'=BB'.CC'), I(=AB.A'B'),J(=AC.A'C'),K(=BC.B'C') - 10 pontos
IAB, IA'B', JAC, JA'C', KBC, KB'C', OAA', OBB', OCC', IJK - 10 retas
Por cada ponto 3 retas, em cada reta 3 pontos.

Dualidade na geometria projetiva plana.

Com o Princípio da Dualidade afirmamos que, na geometria projetiva do plano, qualquer definição se mantém com significado e cada teorema continua a ser verdadeiro, quando trocamos as palavras ponto por reta e reta por ponto (e consequentemente também certos pares de palavras tais como intersetam-se em e passam por, colinear e concorrente, vértice e lado, etc. Por exemplo, o dual do ponto AB.CD é a reta (a.b)(c.d) que explicita que simbolicamente não só trocamos maiúsculas por minúsculas como temos de remover pontos (com o significado de interseção) onde estão presentes ou de os inserir onde estão ausentes.

Já várias vezes referimos e utilizámos o princípio da dualidade quando, por exemplo, definimos

1. triângulo como conjunto de 3 pontos A,B,C e de 3 retas AB, AC,BC e, dualmente, como conjunto de 3 retas a, b, c e dos 3 pontos a.b, a.c, b.c (figura autodual)



2. quadrilátero completo como conjunto de 4 pontos A,B,C,D e de 6 retas AB,AC,AD,BC,BD,CD (com três pontos diagonais) e, dualmente, como conjunto de 4 retas a,b,c,d e 6 pontos a.b, a.c, a.d, b.c, b.d, c.d (com 3 retas diagonais).
   
   
3. teorema de Desargues e seu recíproco (ou dual?)

Claro que todos os axiomas para o plano projetivo implicam os seus duais. Depois de usar os axiomas e as suas consequências para provar um determinado teorema, podemos imediatamente afirmar o teorema dual.
Uma demonstração do teorema dual pode ser escrita automaticamente dualizando cada passo da demonstração do teorema original. No plano. (Há teoremas cuja demonstração não pode ser feita assim. A demonstração do recíproco do teorema de Desargues é um caso desses por ser tridimensional. Para evitar isso é que tomámos o Teorema de Desargues como axioma e deduzimos o seu recíproco no plano e sem apelar ao princípio da dualidade).
Este princípio da dualidade torna muito atrativa a Geometria Projetiva, pela simetria e, principalmente, pela economia. Ter demonstrado 10 teoremas significa afinal ter demonstrado 20

Nota marginal sobre a palavra harmónico em uso

Coxeter recomendou que nos detivéssemos na geometria euclidiana por mais uns momentos e que tomássemos uma corda esticada OC e G, E de tal modo que 3.OG=2.OC e 5.GE=2.GC. Assim fizemos. Diz ele que se afinarmos a corda OC para a nota C (Dó), a corda OG ficaria afinada para dar a nota G (Sol) e a corda OE ficaria afinada para a nota E (Mi). Dó, Sol, Mi são as três notas do acorde da terceira maior: o intervalo entre a nota produzida por OC e a nota produzida por OG é uma quinta perfeita e o intervalo entre a nota produzida por OC e a produzida por OE é uma terceira maior.



Desenhámos em seguida um quadrilátero completo PQRS de tal modo que O=RQ.PS, E=RP.QS e G em RS. Verificámos que QP passa por C, o que significa que (OO)(EE)(GC) é um conjunto harmónico.
Deslocando o ponto R, pode verificar a relação H(OE,CG).
Fica-se a saber que a designação de harmónica que aplicamos a essa relação tem origem na harmonia da terminologia musical.

Conjugado harmónico de um ponto no infinito?

Notas
1. Referência a novos Axiomas: Sempre aceitámos a ideia de que os pontos diagonais de um quadrilátero completo formam um triângulo, ou seja, que não são colineares. Acrescentamos este resultado como axioma: Num quadrilátero completo, os três pontos diagonais nunca são colineares. Também é axioma a seguinte afirmação: Se quatro pontos distintos A, B, C, D forem tais que AB interseta BC, então AC interseta BD.
2. Na entrada anterior, introduzimos a noção de conjunto harmónico (AA)(BB)(CF), secção do quadrilátero completo por uma reta definida por dois pontos diagonais AB, no caso. À definição desse conjunto corresponde uma relação entre os pontos A,B,C,F que consiste em garantir que A e B são pontos diagonais de um quadrilátero completo e C e F serem os pontos em que os lados que passam pelo terceiro ponto diagonal incidem sobre a reta AB. Indistintamente escrevemos H(AB,CF) para nos referirmos ao conjunto harmónico ou à relação correspondente. Na altura, concluímmos também que, num conjunto harmónico (AA)(BB)(CF), F é determinado unívocamente por A,B,C no rasto do que tínhamos visto para a secção do quadrilátero completo por uma reta que não incidisse em pontos diagonais ou vértices do quadrilátero.
3. Na construção seguinte, apresentamos um quadrilátero completo PQRS em que A=PS.QR, B=PR.QS C=RS.AB e PQ.AB=F_∞. De facto, começámos por construir A, B, R e PQ a intersetar AB num ponto do infinito. Movimentando R e a reta PQ poderá observar que o conjugado harmónico de F_∞ é invariante, tal como se esperava ABF_∞ define univocamente C do conjunto harmónico (AA) (BB)(F_∞C). Será que pode conjeturar qual é a posição ou localização de C relativamente a A e B? (Pode deslocar A e B para ver se essa posição relativa se mantém invariante). Poderia provar a sua conjetura considerando os instrumentos da geometrias euclideana? Em termos de geometria projetiva, o que podemos fazer?

Dois novos axiomas: causas e consequências

Acrescentaremos novos axiomas à medida que for sendo necessário.
E é altura de introduzirmos dois novos axiomas. A saber:
1. Se quatro pontos distintos A, B, D, E forem tais que AB interseta DE, então AD interseta BE. Segue-se a figura dinâmica em que pode deslocar pontos e retas:

Este axioma aparecia como necessário para provar o Teorema de Desargues (caso não o tivessemos então considerado axioma).

2. Sempre aceitámos a ideia de que os pontos diagonais de um quadrilátero completo formam um triângulo, ou seja, que os três pontos diagonais de um quadrilátro completo nunca são colineares. Acrescentamos esse resultado sublinhado como axioma.
Decorre deste axioma que os conjugados harmónicos C e F são distintos, excepto no caso degenerado em que ambos coincidem com A ou coincidem com B.
Dito de outro modo: Se A, B, C são distintos, a relação H(AB, CF) implica que F é distinto de C.


Desloque C sobre AB, para verificar que F só coincide com C quando C coincide com A ou com B (o que só acontece com G em A ou B)

E assim, em consequência desse axioma, há pelo menos quatro pontos em cada reta, já que os três pontos diagonais não são colineares o que garante que F e C são distintos entre si e distintos de A e B.

Conjunto Harmónico

---

Seccionámos quadriláteros completos por uma reta que não passa pelos vértices nem por pontos diagonais.
Vamos agora cortar um quadrilátero completo por uma reta definida por dois pontos diagonais. A este caso especial de conjunto quadrangular chamamos conjunto harmónico, descrevendo a relação do seguinte modo (AA)(BB)(CF) ou abreviadamente H(AB,CF) que terá o mesmo significado que H(BA,CF), H(AB,FC) ou H(BA,FC), em que A e B são dois pontos diagonais e C e F estão sobre os dois lados que passam pelo terceiro ponto diagonal.

[A.A.M.] Dizemos que F é conjugado harmónico de C relativamene a A e B e, claro que também C é conjugado harmónico de F. Lembramos ainda que, de acordo com a entrada anterior, o ponto F é determinado univocamente por A,B e C [(AA)(BB)(CF)].

---

Coxeter, H. Projective Geometry, Springer-Verlago. NY:1994

Numa secção quadrangular, cada ponto depende dos outros 5

Cada ponto de uma secção quadrangular é determinado unicamente pelos 5 pontos restantes .

---

Como já tínhamos visto, quaisquer cinco pontos A, B, C, D, E colineares podem sempre ser vistos como elementos pertencentes a lados de um quadrilátero. Para ver isso, basta desenhar um triângulo QRS cujos lados RS, SQ, QR passam por C, B, D. Estes lados podem ser quaisquer 3 retas não concorrentes em C, B, D. O quarto ponto P do quadrângulo pode ser obtido como intersecção das retas AS e ER e finalmente um ponto F colinear com os pontos A, B, C, D, E (de uma recta g qualquer que seccione os lados PS, QS, RS, QR, RP e PQ do quadrilátero: O conjunto de 6 pontos das intersecções de g com cada um dos respectivos lados do quadrângulo e de tal modo que os primeiros 3 pontos incidem em lados a passar por vértices enquanto que os restantes três pontos incidem respectivamente sobre lados opostos que fomam um triângulo. O que estamos agora a fazer é provar que se escolhermos diferentes triângulos QRS, o ponto F continua o mesmo.

Experimente deslocar qualquer dos pontos Q, R, S na janela de visualização inicial (do primeiro passo9.

[A.D.A.M.]
Para mostrar que F é determinado unicamentepelos pontos A, B, C, D, E, consideremos um outro quadrângulos P'Q'R'S' cujos primeiros cinco lados passam pelos mesmos cinco pontos em g - A, B, C, D e E - e de tal modo que os dois triângulos P'R'S' e PRS sejam perspectivos relativamente a g e sendo também perspectivos relativamente a um ponto O=RR'.SS' de PP'. De modo análogo, os triângulos perspectivos QRS e Q'R'S' relativamente a QQ' que passa pelo mesmo ponto O.

Podemos dizer, por isso, que PQRS e P'Q'R'S' são quadrângulos perspectivos. Por isso, os triângulos PQR e P'R'S', que são também pespectivos pela recta DE que é g. E que os lados PQ e P'Q' se intersectam com g no mesmo ponto F (como esperávamos).

Secção de um quadrilátero completo

Tomemos quatro pontos P, Q, R, S tal que não há ternos que sejam colineares. São os quatro vértices de um quadrilátero. Tomemos, em seguida, as seis retas PQ, PR, PS, QR, QS, RS. São os seis lados do quadrilátero completo. Os pares lados opostos encontram-se em 3 pontos que não são vértices e a que chamamos pontos diagonais (um triângulo diagonal)
Uma reta g que corte os lados do quadrilátero, cria uma secção pontual de 6 pontos ABCDEF se não passar por qualquer dos pontos diagonais.

A,B,C são as interseções da reta g com as retas PS, QS e RS respetivamente. Estão em retas que passam por um mesmo vértice S. Os restantes D, E, F estão sobre g e os lados QR, RP e PQ respetivamente, opostos de PS,QS e RS. Por isso, representamos esta secção por (AD)(BE)(CF) em que cada par são pontos de lados opostos do quadrilátero completo que se mantém ao aplicarmos uma mesma permutação a ABC e DEF, isto é, (AD)(BE)(CF) tem o mesmo significado que (BE)(AD)(CF), já que o quadrilátero PQRS pode ser chamado QPRS.
(AD)(BE)(CF) é igualmente equivalente a cada uma das seguintes (AD)(EB)(FC), (DA)(BE)(FC), (DA)(EB)(CF).
À secção do quadrilátero completo, chamamos conjunto quadrangular e representamo-lo também por Q(ABC, DEF), para além das representações do tipo (AD)(BE)(CF)

Três triângulos perspetivos por um ponto O

Na construção a seguir, os triângulos verde, azul e vermelho são perspetivos por O. Como pode observar-se, a figura sugere que as retas D₁E₁F₁, D₂E₂F₂ e D₃E₃F₃ incidem num mesmo ponto K.




Para provar esse resultado, Coxeter dá a sugestão de aplicar o recíproco do terorema de Desargues aos triângulos D₁D₂D₃ e E₁E₂E₃.

Novo problema:
Coxeter pergunta o que acontece ao recíproco do Teorema de Desargues se o aplicarmos a triângulos cujos lados correspondentes se intersetam em pontos do infinito (paralelos)?

Teorema de Desargues e recíproco

Na entrada anterior e nesta, apresentamos uma construção dinâmica em que partimos de um feixe por O e de dois triângulos ABC e DEF em que cada um dos vértices está sobre uma reta do feixe e de tal modo que A→D, B→E e C→F, isto é AD∩BE∩CF={O}, isto é ABC é O-perspetivo DEF. Observámos que os pares de lados correspondentes (AB, DE) ou (c,f), (AC,DF) ou (b, e), (BC, EF) ou (a, d) se intersetam respetivamente nos pontos R, Q e P que são colineares ou pertencem todos à reta o, que é o mesmo que dizer que os triângulo abc e def são o-perspetivos. Os programas de geometria dinâmica podem verificar que o ponto R está sobre a reta PQ, assim como podem verificar que CF incide sobre o ponto de interseção de AD com BE.



De certo modo, podemos verificar que "Dados dois triângulos e uma correspondência biunívoca pela qual qual os pares de vértices correspondentes definem três retas que incidem num mesmo ponto O, então os pares de lados correspondentes pela mesma correspondência intersetam-se em pontos de uma mesma reta o", ou dito de outro modo, "Se dois triângulos são perspetivos por um ponto, então são perspetivos por uma mesma reta. Este resultado, conhecido por Teorema de Desargues, pode ser demonstrado, mas, mesmo para pares de triângulos do mesmo plano, precisa de um axioma novo e de usar um ponto exterior ao plano. Optamos, por isso e como fazem muitos autores, para o nosso estudo de geometria plana, tomar o chamado teorema de Desargues como um axioma.

Podemos demonstrar o recíproco (dual) do terorema de Desargues, a saber: Se dois triângulos são perspetivos por uma reta o, então são perspetivos por um ponto O. Tome-se da figura em que a.d=P, b.e=Q e d.f=R são pontos de o. E provamos, em consequência disso e do teor de Desargues, que as retas (a.b, d.e) ou CF, (a.c, d.f) ou BE, (b.c, e.f) ou AD se intersetam num ponto.
Recorremos aos triângulos ADQ e BEP. Estes triângulos são R-perspetivos, já que AB∩DE=DE∩QP=AB∩QP={R}. O teorema de Desargues aplicado a estes triângulos ADQ e BEP que são perspetivos por R, garante que AD∩BE={O}, AQ∩BP={C} e DQ∩EP={F} são colineares. Fica demonstrado que a reta CF passa por O, interseção de AD com BE.

Triângulos perspetivos

Duas pontuais ou dois feixes dizem-se perspetivos se estiverem relacionados por uma perspetividade. Esta noção pode ser ampliada para quasiquer duas figuras planas envolvendo mais do que um ponto ou mais que uma reta. Dois espécimes de uma figura dizem-se perspectivos se os os seus pontos podem ser relacionados por uma correspondência biunívoca tal que todos os pares de pontos corrrespondentes (ou homólogos) definem retas concorrentes ou se as suas retas podem ser relacionadas por uma correspondência biunívoca tal que todos os pares de retas correspondentes (ou homólogas) se intersetam em pontos colineares.
Considere os dois triângulos ABC e DEF da figura (BC=a, AC=b, AB=c; EF=d, DF=e, DE=f). E repare que AD.BE.CF=O e a.d,b.e, c.f estão sobre a reta o.

Assim os dois triângulos ABC e DEF da figura que se segue são perspetivos, quer porque A→D, B→E e C→F pela perspetividade relativa ao ponto O (as retas AD, BE e CF concorrem num só ponto O), ou porque a→d, b→e, c→f pela perspetividade relativa à reta o.

A O chamaremos centro e eixo a o.

Para escrever sobre quadriláteros (completos)

De forma semelhante à abordagem dos triângulos, usamos a palavra quadrilátero (ou quadrângulo) consagrada para designar

1. o conjunto formado por quatro pontos {A,B,C,D}, dos quais não há 3 colineares, (vértices) e pelas 6 retas {AB,AC,AD,BC,BD,CD} definidas pelos pares de pontos existentes, a que chamamos lados. Dois lados consideram-se opostos quando se intersetam em pontos que não A, B, C, D, ou seja, em pontos que não são vértices, no caso, E,F,G. Esses 3 pontos tomam o nome de pontos diagonais
   
   
2. 
   o conjunto formado pelas quatro retas {a,b,c,d}, das quais não há 3 incidentes num ponto,(lados) e pelos 6 pontos {a.b,a.c,a.d,b.c,b.d,c.d} definidos pelos 6 pares de retas existentes a que chamamos vértices. Dois vértices consideram-se opostos quando definem uma reta que não é qualquer dos 4 lados a,b,c ou d, a saber, a.d e b.c, a.c e b.d, a.b e c.d. As retas definidas por vértices opostos chamam-se retas diagonais, no caso, e,f,g.
   

Para distinguir de outros conceitos associados à palavra quadrilátero, falamos de quadriláteros completos para evitar confusão. De um modo geral, em geometria projetiva só consideramos quadriláteros completos e é frequente falarmos de quadriláteros quando nos estamos a referir a quadriláteros completos.

Para escrever sobre triângulos

Escolhemos para base do estudo de geometria projetiva do plano, as noções primitivas de ponto, reta e incidência. O nosso plano foi definido como um conjunto de pontos {A,B,C,...} não vazio e uma família de subconjuntos {a,b,c, ..} não vazia a que chamámos retas. Considerámos a existência de uma reta a e um ponto A não incidente em a, e, assim, podemos sempre considerar o nosso mundo plano composto por todos os pontos que incidem nas retas definidas pelo ponto A e por cada ponto da reta a, bem como por todas as retas que possam ser definidas por quaisquer pares de pontos assim determinados.
E, a partir de agora, falaremos de triângulos (com recurso a palavra já consagrada pelo uso) como um conjunto de três pontos {A, B, C} não colineares (que não incidem todos numa só reta), a que chamamos vértices e das três retas {AB, BC, AC}, a que chamamos lados, determinadas pelos 3 pares de pontos existentes. Que é exata(dual)mente o mesmo que considerar o conjunto de 3 retas {a, b, c} (lados) não incidentes num mesmo ponto e dos três pontos {a.b, b.c, a.c} (vértices) de incidência dos 3 pares de retas existentes. Escrevemos AB para designar a única reta que passa por (comum a) A e B e a.b para designar o ponto único de (comum a) duas retas concorrentes (a.b=a∩b).