GEOMETRIA

11.2.16

Circunferência por 2 pontos com tangentes iguais tiradas por 2 ponto distintos

Problema:
São dados quatro pontos $\;A,\;B,\;C,\;D.\;$
Construir a circunferência que passa por $\;A,\;B\;$ e cujas tangentes tiradas por $\;C\;$ e por $\;D\;$ têm o mesmo comprimento.

©geometrias. 10 fevereiro 2016, Criado com GeoGebra

Pode acompanhar a construção da resolução do problemas fazendo variar os valores de n no seletor centrado e no fundo da janela de visualização.

Este é mais um dos problemas que se resolve, analisando-o como se o tivessemos resolvido. Claro que, como temos dois pontos $\;A, \;B\;$ da circunferência-solução, sabemos que o seu centro $\;O\;$ é um ponto equidistante de $\;A\;$ e de $\;B\;$.
Também sabemos que $\;CH =DG\;$ se H for o ponto de tangência da tangente tirada por $\;C\;$ e $\;G\;$ for o ponto de tangência da tangente à circunferência tirada por $\;D\;$ e sabemos que $\;OG=OH\;$ (raios) e que $\;OG \perp GD\;$ e $\;OH \perp HC.\;$. E, em consequência, serão iguais os triângulos $\;[CHO]\;$ retângulo em $\;H\;$ e $\;[DGO]\;$ retângulo em $\;G\;$. Assim sendo, serão iguais as hipotenusas $\;OC = OD\;$. Ou seja $\;O\;$ é um ponto equidistante dos pontos dados, $\;C\;$ e $\;D\;$, da mediatriz de $\;CD\;$
Deste modo, $\;O\;$ fica determinado como interseção das mediatrizes de $\;AB\;$ e de $\;CD\;$ e a circunferência requerida tem este centro $\;O\;$ e passa por $\;A\;$

147. On donne quatre points A, B, C, D. Construire un cercle passant par A et B et tel que les tangentes issues de C et D soient égales.
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Librairie Vuibert. Paris:1947 >

7.2.16

Circunferência tangente a duas retas paralelas e que passa por um ponto da faixa entre elas

Problema:
São dadas duas retas paralelas $\;a, \;b\;$ e um ponto $\;P\;$ da faixa entre elas.
Construir uma circunferência tangente às retas $\;a, \; b\;$ e a passar pelo ponto $\;P.\;$

Pode acompanhar a construção da resolução do problemas fazendo variar os valores de n no seletor na esquerda baixa da janela de visualização.

Uma circunferência tangente a duas paralelas $\;a, \;b\;$ tem o seu centro numa terceira paralela $\;m\;$ equidistante das duas dadas e raio igual a $\;r\;$ - distância de $\;m\;$ a $\;a .\;$ Se passa por $\;P\;$, o centro da circunferência estará numa circunferência centrada em $\;P\;$ e raio $\;r.\;$ O problema tem duas soluções $\;(O), \;(O')$.
Nas condições do nosso problema há sempre duas soluções. Se $\;P\;$ fosse um ponto de uma das paralelas $\;a\;$ ou $\,b\;$ o problema teria uma só solução e se estivesse fora da faixa entre as paralelas, não haveria circunferência alguma tangente às duas paralelas.

155. Étant donnés deus droîtes parallèles X, Y et un point A situé entre elles, décrire un cercle passant par ce point et tangente aux deux droîtes
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Librairie Vuibert. Paris:1947