Problema: São dados cinco pontos
\;A, \;B, \;C, \;D, \;E. Estes pontos são os pontos médios dos lados de um pentágono
\;PQRST\; desconhecido. Reconstruir o pentágono.
Este problema está referido no livro
Simetrias e Transformações Geométricas de Eduardo Veloso (p.15) e já aqui foi citado, bem como o artigo
Cinco pontos, um problema e cinco resoluções, publicado no número 79 da revista Educação e Matemática de Setembro/Outubro de 2004. Recomendamos a leitura do artigo que conta uma história e apresenta 5 resoluções. Na circunstância, chamamos a atenção para a resolução usando transformações de Maria Dedò.
O enunciado é o que José Paulo Viana propõe numa mensagem a Eduardo Veloso.
A construção a seguir ilustra essa resolução do problema recorrendo a transformações geométricas. Clicando nos sucessivos botões
2, 3, ... acompanha os passos da resolução/demonstração(?).
- Estão dados os pontos \;A, \;B, \;C, \;D, \;E médios dos lados do pentágono de vértices \;P, \;Q, \;R,\;S,\;T\; cujas posições desconhecemos e queremos construir.
- Consideremos \;A\; ponto médio de \;PQ\;, \;B\; ponto médio de \;QR\;, \;C\; ponto médio de \;RS\;, \;D\; ponto médio de \;ST\;, \;E\; ponto médio de \;TP\;.
Sejam quais forem as posições de \;P\; e de \;Q\;, sabemos que estão relacionados por uma transformação de meia volta centrada em \;A\;; \;Q\; e \;R\; estão relacionados por uma meia volta centrada em \;B\; …
Não sabendo a posição de \;P\;, tomemos \;P_1\; para uma "falsa" posição de \;Partida. E
\begin{matrix}
&{\cal{R}}(A, 180^o)&&{\cal{R}}(B, 180^o)&&{\cal{R}}(C, 180^o)&&{\cal{R}}(D, 180^o)&&{\cal{R}}(E, 180^o)&\\
P_1& \longmapsto& P_2 &\longmapsto&P_3&\longmapsto& P_4 &\longmapsto&P_5 & \longmapsto & P'_1\\
\end{matrix}
© geometrias, 1 de Junho de 2014, Criado com GeoGebra
- Fácil é verificar que a composta de duas meias voltas é uma translação:
\forall P_1, \;\;\left({\cal{R}}(B, 180^o) \circ {\cal{R}}(A, 180^o)\right) (P_1)={\cal{R}}(B, 180^o)\left( {\cal{R}}(A, 180^o ) (P_1)\right)={\cal{R}}(B, 180^o) (P_2) = P_3
{\cal{R}}(B, 180^o) \circ {\cal{R}}(A, 180^o) = {\cal{T}}_{2\overrightarrow{AB}}: \;\;\;\; P_1 \longmapsto P_3
Do mesmo modo,
{\cal{R}}(C, 180^o) \circ {\cal{R}}(D, 180^o) = {\cal{T}}_{2\overrightarrow{CD}}: \;\;\;\; P_3 \longmapsto P_5
A composta das duas translações é uma translação. Assim:
{\cal{T}}_{2\overrightarrow{CD}} \circ {\cal{T}}_{2\overrightarrow{AB}} = {\cal{T}}_{2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})} : \;\;\; P_1 \longmapsto P_5
que é o mesmo que dizer que as quatro primeiras meias voltas são equivalentes a uma translação.
-
Se a composta de duas meias voltas é uma translação, a composta de uma translação com uma meia volta é uma meia volta:
\begin{matrix}
&{\cal{T}}_{2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})}&&{\cal{R}}(E, 180^o)&\\
P_1 & \longmapsto & P_5 & \longmapsto & P'_1
\end{matrix}
Se \;P_1\; fosse a posição verdadeira de \;P\;, então seria \;P_2 \equiv Q, \; \;P_3 \equiv R, \;\;P_4 \equiv S, \;\;P_5 \equiv T, \; \;\;\;P'_1 \equiv P.
Para a meia volta que a \;P_1 \; faz corresponder \;P'_1\; tem um ponto invariante, o centro da meia volta que é o ponto médio de todos os segmentos P_1P'_1 em que \;P_1\; é um ponto qualquer de \;P'_1\; é o seu correspondente por cinco meias voltas sucessivas: de centros \;A, \;B, \;C, \;D, \;E.
É esse ponto médio de todos os \;P_1P'_1\; que tomamos para \;P\;
Variando as posições de \;P_1\;, podemos constatar que a posição de \;P\; fica invariante.
- Finalmente, pode constatar que a sucessão de meias voltas de centros \;A, \;B, \;C, \;D, \;E permite determinar os vértices \;Q, \;R, \;S, \;T\; sendo
\begin{matrix}
&{\cal{R}}(A, 180^o)&&{\cal{R}}(B, 180^o)&&{\cal{R}}(C, 180^o)&&{\cal{R}}(D, 180^o)&&{\cal{R}}(E, 180^o)&\\
P& \longmapsto & Q & \longmapsto &R &\longmapsto & S& \longmapsto &T&\longmapsto& P\\
\end{matrix}
Pode variar as posições de
\;A, \;B,\;C,\;D, \;E\; e de
\;P_1\;.
