Problema: Em que pontos deve ser construída a ponte perpendicular ao rio de margens $\;a, \;b\;$ paralelas que separa duas cidades $\;A, \;B\;$ de tal modo que se possa construir uma estrada entre elas o mais curta possível?
A construção a seguir ilustra essa resolução do problema recorrendo a transformações geométricas, no caso translações.
A construção a seguir ilustra essa resolução do problema recorrendo a transformações geométricas, no caso translações.
- Estão dados na figura os dois pontos $\;A,\;B\;$ - cidades, e as retas $\;a, \;b\;$ - margens do rio que separa
- Sem contar com o rio, o caminho mais curto entre as duas cidades, seria $\;AB\;$. Para determinar as posições dos pontos extremos da ponte é preciso considerar a mais o comprimento da travessia do rio.
- Tome-se um vetor $\;\overrightarrow{u}\;$ e aplique-se a $\;A\;$ a translação associada a esse vetor : $\;\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{u}\;$ ou $\;A'= A + \overrightarrow{u}$. Incluída a travessia, a estrada mais curta deve medir $\;AA' + A'B\;$
- A reta $\;AA'\;$ corta $\;b\;$ em $\;H\;$ e esse é um extremo da ponte. O outro será $\;H'= H - \overrightarrow{u}\;$ sobre $\;a\;$ e $\;AH'HA'\;$ é um paralelogramo.
$\;AA'= HH'\;$ e $\;AH' = AH\;$. Logo $\;AA'+ A'B = AH'+H'H+HB$
© geometrias, 4 de Junho de 2014, Criado com GeoGebra
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