16.6.16

quatro pontos, um em cada lado de qual quadrado?


Hoje vamos tratar de um outro tipo de problema de construção de quadrados, que nos tem aparecido repetidamente, a saber:
a construção de um quadrado do qual cada uma das retas dos seus lados passa por um só de quatro pontos $\;A, \;B, \;C, \;D\;$ dados..
Para resolver este problema, é necessário olhar para as propriedades do quadrado. Tomem-se
  • quatro retas
    • $\;p, \;q, \;r,\; s, \;$ sendo
      • $\;p \perp q, \;q\perp r, \;r\perp s, \;s\perp p,\;$
      • $p \parallel r, \; q \parallel s\;$
      • e igualmente distanciadas $\;p\;$ de $\;r\;$ e $\,q\;$ de $\;s\;$
    • e os quatro pontos
      • $P,\; Q,\;R, \;S, \,$
        • respetivamente $\;p.q, \;q.r, \; r.s,\;s.t,\;$
        • sendo, obviamente iguais os segmentos $\;PQ, \;QR, \;RS, \; SP.\;$ das retas $\;p, \;q, \;r,\; s, \;$ respetivamente.
    Sabemos que
    • se uma reta corta duas retas fazendo ângulos alternos internos iguais, cf (I.27), então estas retas são paralelas;
    • qualquer segmento com extremidades em duas retas paralelas, cf (I.29), fazem com elas ângulos alternos internos iguais;
    • segmentos de reta unindo extremidades de segmentos iguais e paralelos, cf (I.33), são iguais e paralelos;
    • E, em consequência, se cortarmos dois pares de retas paralelas igualmente distanciadas, por dois segmentos a fazer ângulos alternos internos iguais (cada um a cada um), esses segmentos são iguais.
    No caso do nosso problema não nos são dados mais que um ponto $\;A\;$ em $\;p, \;$ $\;B\;$ em $\;q, \;$ $\;C\;$ em $\;r\;$ e $\;D\;$ em $\;s.\;$
    Se tomarmos $\;AC\;$ a ligar pontos das paralelas $\;p\;$ e $\;r\;$ e o ponto $\;B\;$ de $\;q,\;$ qual deve ser a relação de um reta tirada por $\;B\;$ com $\;q, \;s,\; AC\;$ para intersectar $\;s\;$ de modo a ter os mesmos ângulos alternos internos ao cortar $\;q, \; s\;$ em ângulos iguais aos feitos por $\;AC\;$ ao cortar $\;p, \;r$?
    Bastará tirar por $\;B\;$ a perpendicular a $\;AC\;$ porque, designando por $\;I\;$ a intersecção das perpendiculares, $\; A\hat{P}B= B\hat{I}A = 1 reto, \;$ e, em consequência, $\;P\hat{B}I + A\hat{I}B = 2 retos,\;$ bem como $\;Q\hat{A}I + A\hat{I}B = 2 retos,\;$ ou seja, $\;Q\hat{A}I = P\hat{B}I.\;$
    De modo inteiramente análogo, se provaria que cada um dos ângulos feitos entre $\;AC, \;r\;$ era igual a um dos ângulos feitos pela perpendicular a $\;AC\;$ tirada por $\;B\,$ com $\;s\;$.

    Se $\;BD\;$ não for perpendicular a $\;AC,\;$, na perpendicular a $\;AC\;$ tirada por $\;B\;$ encontramos um segundo ponto $\;E\;$ de $\;s\;$ de que nos tinha sido dado $\;D.\;$ Este ponto $\;E\;$ é tal que $\;BE\perp AC\;$ e $\;BE =AC, \;$ por estes serem segmentos com extremidades em pares de retas igualmente distanciadas e paralelas, por fazerem com elas iguais ângulos alternos internos: $\;s=DE\;$
    Isto chega para resolver o nosso problema de construção.

    $\fbox{n=0}\;\;\;$ Não conhecemos mais que os pontos $\;A, \;B, \;C, \;D\;$ dados.


    © geometrias.16 junho 2016, Criado com GeoGebra


    Peguemos na régua e no compasso.
    $\fbox{n=1}$ Tira-se por $\;B\;$ a perpendicular a $\;AC \;$ que, intersectada pela circunferência de centro $\;B\;$ e raio $\;AC\;$ determina um ponto $\;E\;$ da reta $\;s\;$ que contém o lado oposto ao lado $\;q\;$ que passa por $\;B.\;\;\;\; DE=s$
    $\fbox{n=2}$ Determinada a reta $\;s\;$ pode tirar por $\;A\;$ a perpendicular $\;p\;$ a ela e tomar a intersecção $\;p.s : \;\;\;S, \;$ vértice do quadrado.
    Do mesmo modo, a perpendicular a $\;s\;$ tirada por $\;C\;$ que designamos por $\;r\;$, sendo o vértice $\;R\;$ determinado por $\;r.s\;$
    $\fbox{n=3}$ Finalmente a perpendicular a $\;p\;$ (ou a $\;r\;$) tirada por $\;B\;$ que designamos por $\;q\;$ e que é a reta que faltava para a determinação por $\;p.q\;$ de $\;P\;$ e por $\;q.r\;$ de $\;Q.$
    $\fbox{n=4}$ Apresenta-se o quadrado $\;PQRS\;$ em que $\;A\in p, \; B\in q, \; C \in r, \; D \in s\;$

    Este problema tem muitas soluções, claro.

    1. EUCLID’S ELEMENTS OF GEOMETRY The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) from Euclidis Elementa, edidit et Latine interpretatus est I.L. Heiberg, in aedibus B.G. Teubneri, 1883–1885 edited, and provided with a modern English translation, by Richard Fitzpatrick
    2. David Joyce. Euclide's Elements
    3. George E. Martin. Geometric Constructions Springer. New York; 1997
    4. Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2002
    5. Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry Jones and Bartlett Publishers, Boston: 1991.
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