Enunciado do problema (adaptado):
Num determinado setor circular \;AOB\; de raio fixo, \;r=AO=BO=CO\;, é construído um círculo menor de raio variável, \;x=OD\;, com \;D \in AO. À medida que o raio menor aumenta, uma corda tangente ao círculo interno tirada pelo ponto \;A\; determina uma região de área variável, na figura assinalada a vermelho (limitada por segmentos de reta \;AT,\; OT\; e pelo arco \;\widehat{DT}\; da circunferência \;(O,\; x).\;
Qual deve ser o raio \;x\; do círculo interno para maximizar esta área?
Na figura abaixo apresentam-se inicialmente as etapas da construção que ilustra o enunciado do problema, a saber:
-
na figura inicial
- dois segmentos \;AO,\; OB\; de comprimento fixo \,r\; e um dado arco circular de extremos \;A, \;B\; parte da circunferência de de centro em \;O\; e a passar por \;A.\; Também se apresenta o ponto \;D\; que pode assumir qualquer posição em \;[AO].\;
- a semicircunferência tracejada de centro em \;O\; e raio \;OD=x\; a que sucede a determinação da
- tangente a \;(O,\;D)\; tirada por \;A\; e o respetivo ponto \;T\; de tangência: \;OT \perp AT.\; E o triângulo \;ATO\; retângulo em \;T\; preenchido a vermelho, cuja área pode ser expressa por \; \displaystyle \frac{\overline{AT} \times \overline{TO}}{2} \; ou y_1= \frac{1}{2}\times \sqrt{r^2-x^2}\times x que nos dá a variação dos valores das áreas de \;[ATO]\; com a variação da posição de \;D\, ou a variação dos valores dos comprimentos \;OD. e, finalmente,
- o setor circular,cor de ouro, limitado pelos segmentos \;OD, \;OT\; e pelo arco circular \;\widehat{DT}\;, cuja área é expressa por y_2= \frac{1}{2} \times arccos{\frac{x}{r}}\times x^2 e que subtraído ao triângulo \;\Delta AOT\; nos deixa uma figura vermelha limitada pelos segmentos de retas \;[AD,\;[AT\; e pelo arco \; (\widehat{DT}\; cuja área nos é dada por y=y_1-y_2= \frac{1}{2}\left( \sqrt{r^2-x^2}\times x - arccos{\frac{x}{r}}\times x^2\right) em função de \;x, \; raio de \;(O,\;D)\; É a maximização desta última que nos ocupa.
- Nesta etapa a figura disponível é acrescentada com os gráficos num referencial ortonormado \;Oxy\; em que se apresentam os pontos \;(x,\;y_1)\; e \;(x,\; y_2)\; respetivamente das áreas do triângulo \;ATO\; e do sector circular \;DTO\; em função de \;OD\; e \;(x, \;y)\; da área da figura \;ADT\; obtida como resto da subtração do sector circular \;ODT\; ao triângulo \;AOT\; em função de \;OD.\; O traçado das curvas correspondentes às três funções sugere-nos que a área máxima de \;ADT\; é atingida para o valor do raio \;x\; a que corresponde áreas iguais \;y(x)= y_2(x)\; que é o mesmo que dizer quando \;y_1(x) - y_2(x)=y_2(x) \mbox{ou quando} y_1(x)=2 y_2(x)= 2y(x)
16 novembro 2017, Criado com GeoGebra
\frac{1}{2}\left(\sqrt{r^2-x^2}\times x - arccos{\frac{x}{r}}\times x^2 \right)^{’}_{x} =\frac{1}{2}.\frac{r^2-x^2}{\sqrt{r^2-x^2}}-x . arccos{\frac{x}{r}} = \frac{1}{2} \sqrt{r^2-x^2} -x . arccos{\frac{x}{r}} E \frac{1}{2} \sqrt{r^2-x^2} -x . arccos{\frac{x}{r}}=0 \Leftrightarrow \sqrt{r^2-x^2}= 2x.arccos{\frac{x}{r}} que confirma a conjectura acima porque obriga a que x\sqrt{r^2-x^2}= 2x^2.arccos{\frac{x}{r}} ou seja, a área do triângulo \;[ATO] \; é dupla da área do sector circular \;(DTO]\; ou que as figuras \;[ATD(\; e \;(DTO]\; são equivalentes quando a área de \;[ATD(\; atinge o seu máximo.
Para o raio \;AO=4\; as soluções da equação x\sqrt{r^2-x^2}= 2x^2.arccos{\frac{x}{r}} são \;x \approx 1,57694 \vee x=4. Claro que para os valores \;0,\;4\; de \;x,\; os dois membros da equação anulam-se e não corresponde ao raio maximizante da área em estudo. □
Sangaku Optimization Problems:
(All animations written by David Schultz in MAPLE (TM). Source code available upon request: davvu41111@mesacc.edu)
Tenman Shrine, 1822, Takeda Atsunoshin
Problem Statement: In a given sector of a circle of fixed radius, R, a smaller circle of varying radius, r, is constructed. As the smaller radius increases, a chord tangent to the inner circle with left-endpoint fixed cuts off a region of varying area. What should the radius of the inner circle be in order to maximize this area?
Sacred Mathematics: Japanese Temple Geometry. Fukagawa, H. & Rothman, T. 2008.
