Resolver problema de construção usando o problema contrário (2)

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Enquanto íamos resolvendo problemas de construção como ilustrações de métodos de demonstração de teoremas de existência na geometria euclidiana, a partir de referências várias (Birkhoff, Eves, Cluzel, Vissio, Puig Adam, etc) António Aurélio foi sempre referindo manuais escolares do seu tempo de escola. Mais recentemente, referia a existência de um título - Métodos Geométricos - e um autor A. Nicodemos. O livro (ou livros) de Nicodemos devem estar guardados na biblioteca da Escola José Estêvão. Mas depois de verificarmos a sua existência no catálogo da Biblioteca Nacional, procurámos, encontrámos e apalpámos dois dos livros das memórias de Aurélio, disponíveis na Biblioteca do Departamento de Matemática da FCT da Universidade de Coimbra, para o que contámos com a ajuda de Jaime Carvalho e Silva.
Um deles é o Compêndio de Geometria de A. Nicodemos, J. Calado, referido na vinheta anterior (de 13/07/2014). O outro resolve o problema do título em memória. Chama-se Métodos Geométricos - Resumo e exercícios resolvidos de António Lôbo Vilela, publicado em 1939, e depósito na Livraria Sá da Costa. Lisboa. Ficamos a saber que Antónoio Lôbo Vilela publicara, antes deste, um volume sobre Métodos da Matemática. Da nota prévia a este volume, retirámos:

"Com a publicação do nosso volume sobre Métodos de Matemática com o intuito de apontar a orientação que nos parece mais conveniente ao ensino da matemática, por ser a única que a pode tornar compreensiva e lhe permite exercer a sua ação educativa. Pretendemos ainda mostrar que a lógica devia ser integrada nos programas de matemática, separando-a da filosofia a que arbitrariamente anda ligada e a deixa murchar, por falta de aplicação e de seiva. A amplitude e o objectivo desse trabalho não nos permitiram descer a certas minúcias de aplicação da metodologia da matemática que têm particular valor didáctico. Por isso nos decidimos agora a publicar este pequeno volume de iniciação,limitando o assunto aos Métodos Geométricos, única parte da metodologia da matemática que os actuais programas exigem, e dando-lhe um cunho mais acentuadamente prático(…)"

Deste manual escolar de António Lôbo Vilela, a propósito do método do problema inverso, citamos

Assim, quando se pretende construir uma figura que satisfaça a certas condições, entre elas a de ser inscrita, por exemplo, numa figura dada, é possível, em geral, desprezando esta condição de inscritibilidade, construir uma figura que satisfaça às restantes condições. Se for mais simples circunscrever a esta figura a figura dada ou uma figura semelhante a ela, há conveniência em empregar o método do problema inverso.

e escolhemos o primeiro dos exemplos que ALV escolheu para ilustrar o recurso ao método do problema inverso:

Problema:

Inscrever, numa circunferência de raio dado, um triângulo isósceles cuja base seja igual à altura

1. No caso é mais fácil resolver o problema contrário do problema proposto. Assim, começamos por desenhar um qualquer triângulo isósceles de altura igual à base e determinar a circunferência a ele circunscrita (que é o mesmo que dizer em que o triângulo está inscrito)
2. Para isso, tomamos um segmento qualquer $\;DE\;$ para base do triângulo isósceles.
3. Para ser isósceles, a reta da altura é a mediatriz da base $\;DE\;$ . Assim se determina o terceiro vértice do triângulos isósceles - circunferência de centro no ponto médio de $\;DE\;$ e raio $\;DE\;$ interseta a mediatriz em dois pontos, qualquer dos dois pode ser $\;F\;$
4. O circuncentro $\;O\;$ de $\;[DEF]\;$ é o ponto de interseção das mediatrizes dos lados do triângulo e a circunferência a ele circunscrita tem centro $\;O\;$ e raio $\;OD\;$



© geometrias, 16 de Julho de 2014, Criado com GeoGebra

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5. Esta circunferência de centro $\;O\;$ e a passar por $\;D,\;E,\;F\;$ é homotética de qualquer outra circunferência. Desenhemos a circunferência $\;(O,\;r)\;$
6. Há uma homotetia de centro $\;O\;$ e razão $\;\displaystyle k=\frac{r}{OD}\;$ que relaciona as duas circunferências e para a qual
   $$\begin{matrix} &\;{\cal{H}}(O, k)\;&&\\ (O,\; OD) & \longrightarrow & (O, \; r)&\\ D & \longmapsto & A:& \;\;\;OA=r=k.OD\\ E & \longmapsto & B.& \;\;\;OB=r=k.OE\\ F & \longmapsto & C:& \;\;\;OC=r=k.OF\\ DE & \longrightarrow & AB :&\;\;\; AB=k.DE\\ EF & \longrightarrow & BC :&\;\;\; BC=k.EF\\ DF & \longrightarrow & AC : &\;\;\; AC=k.DF \\ \end{matrix} $$ de onde se conclui que, por ser $\;DEF\;$ um triângulo isósceles de base igual à altura a ela relativa, $\;ABC\;$ é um triângulo isósceles de base igual à altura a ela relativa inscrito na circunferência $\;(O, \;r)\;$ satisfazendo as condições do problema proposto.