Resolver problemas de construção usando o método do problema contrário

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Em todas as vinhetas publicadas nos últimos meses, apresentamos exemplos de resolução de problemas de construção também como ilustrações de formas de raciocínio e demonstração, métodos muito usados em livros de geometria euclidiana. Em Portugal, raros são os livros escolares que se referem às demonstrações e aos métodos de demonstração com o detalhe das apresentações do passado em que se definiam e classificavam métodos, cada um acompanhado de exemplo e descrição passo a passo o processo de decisão e construção. Pode ser útil a professores e estudantes esta lembrança de apresentação de métodos (?) ilustrados por resoluções de problemas de construção geométrica. Dos livros portugueses do século passado, referimos o Compêndio de Geometria de A. Nicodemos, J. Calado, terceira edição de 1944 pela Livraria Popular Francisco Franco de Lisboa. Começamos pela transcrição do "PROGRAMA OFICIAL (Decreto nº 27:085)" da época.

Breves noções dos métodos geométricos:

• métodos gerais - método analítico, método sintético e de redução ao absurdo;
• métodos particulares - método dos lugares geométricos e método de transformação

que é elucidativa. De qualquer modo, citando o livro escolhido, sabemos que "a natureza do problema indicará qual o método que mais convém à sua resolução", sendo que pode ser necessário o recurso a mais que um método para a resolução de um problema de construção.
Nesse livro introduz-se um "Método do problema contrário", definindo "problema contrário ou inverso de um dado problema" como "aquele que é estabelecido tomando os dados do problema proposto para incógnitas e as incógnitas para dados." E exemplifica com os seguintes exemplos

O problema contrário do problema:

Inscrever um quadrilátero, semelhante a um quadrilátero dado, numa semicircunferência, e de modo que dois dos vértices do quadrilátero existam no diâmetro da semicircunferência.

é

Circunscrever a um quadrilátero dado uma semicircunferência de modo que o diâmetro desta semicircunferência contenha um dos lados do quadrilátero.

(…) Em vez de resolver directamente o problema proposto convém, muitas vezes, resolver primeiro o seu problema contrário, pois a solução deste problema permite determinar a do problema proposto.

Claro que já usámos este método sem lhe fazermos qualquer referência. Por exemplo, a entrada
Resolver um problema de construção usando uma rotação e uma homotetia ,  de 10.5.14, refere-se ao problema
Inscrever um quadrilátero com determinada forma num semicírculo dado, em que um lado específico do quadrilátero inscrito esteja no diâmetro do semicírculo,
como ilustração do método das transformações. No entanto bastará olhar para a resolução para reconhecer que, para inscrevermos o quadrilátero semelhante a um dado no semicírculo dado, começámos por circunscrever o quadrilátero dado numa semicircunferência, antes de usarmos o método das transformações.

O problema que apresentam no livro escolar como ilustração do método do problema contrário é em tudo análogo ao já publicado. Transcrevemos e ilustramos de tal modo que pode resolver, usando a janela de comandos [input], ou pode ver a resolução, passo a passo, fazendo variar os valores de $\;n\;$ no cursor $\;\fbox{n=1,..., 6}.\;$

Problema:

Inscrever numa semicircunferência dada um losango semelhante a um losango dado e de modo que dois dos seus vértices consecutivos estejam sobre o diâmetro da circunferência.

Em vez de resolvermos este problema, resolvamos o problema seguinte:

Circunscrever a um losango, semelhante a um losango dado, uma semicircunferência de modo que o seu diâmetro contenha um dos lados do losango.

O problema que acabamos de formular é o problema contrário do problema proposto.
Resolução (problema contrário):

Seja $\;[ABCD]\;$ o losango e $\;AB\;$ o lado existente sobre o diâmetro
Como a semicircunferência deverá passar pelos vértices $\;C, \;D\;$, o seu centro existirá sobre a mediatriz de $\;\overline{CD}.\;$ Por outro lado, como $\;\overline{AB}\;$ está localizado sobre o diâmetro, o centro da circunferência existirá sobre a recta a que pertence $\;\overline{AB}.\;$ Logo o centro da semicircunferência é o ponto $\;O\;$ - intersecção das duas rectas referidas.

© geometrias, 12 de Julho de 2014, Criado com GeoGebra

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Resolução (problema proposto):

Para obtermos agora a solução do problema proposto, bastará tomar o ponto $\;O\;$ como centro de homotetia e transformar homoteticamente a figura obtida, tomando para razão de homotetia $\;\displaystyle \frac{r}{r'},\;$ sendo $\;r\;$ o raio da circunferência dada e $\;r'\;$ o raio da circunferência a que se refere o problema contrário.
Descrevamos então com centro em $\;O\;$ a circunferência de raio dado e determinemos sobre ela os pontos $\;A',\;B',\;C',\;D', \;$ que são homotéticos, respectivamente, de $\;A,\;B,\;C, \;D\;$ relativamente ao ponto $\;O\;$ (duas circunferências concêntricas são homotéticas relativamente ao seu centro).
O quadrilátero $\;[A'B'C'D']\;$ é a solução do problema proposto.