22.7.14

Resolver problema de construção usando o método do problema contrário (3)


Problema: Num quadrado de lado $\;L,\;$ inscrever um quadrado de lado $\;l.\;$
Vilela, António Lôbo. Métodos GeométricosMétodos Geométricos. Editorial Inquérito, Lda. Lisboa:1939
Este é um bom exemplo da utilidade do método contrário.
O problema proposto consiste em construir um quadrado $\;[ABCD]\;$ de lado $\;L\;$ e a partir dele construir um outro quadrado $\;[EFGH]\;$ de lado $\;l\;$ de tal modo que cada um dos seus vértices incida num lado do quadrado de lado $\;L.\;$
Ao resolvermos o problema contrário, resolvido fica o problema proposto.
O problema contrário do proposto consiste em construir um quadrado $\;[EFGH]\;$ de lado $\;l\;$ e a partir dele construir um outro quadrado $\;[ABCD]\;$ de lado $\;L\;$ de tal modo que cada um dos seus lados incida num vértice do quadrado de lado $\;l.\;$
A sequência das três partes da construção pode ser vista, fazendo variar os valores $\;n\;$ no cursor $\; \fbox{n=1, 2, 3}$
  1. Começamos então pela construção de um quadrado $\;[EFGH]\;$ de lado $\;l.\;$
  2. © geometrias, 22 de Julho de 2014, Criado com GeoGebra


  3. Como queremos construir um quadrado de lado $\;L\;$ circunscrito a $\;[EFGH]\;$ precisamos de construir quatro segmentos de comprimento $\;L\;$ cada um a passar por um vértice do quadrado de lado $\;l\;$ e tais que os seus extremos se encontrem sobre circunferências cujos diâmetros sejam lados consecutivos de $\;[EFGH].\;$ Para isso, começámos pelos lados $\;HG\;$ e $\;HE\;$ e as circunferências de diâmetros $\;HE\;$ e $\;HG\;$ e procuramos a reta que passando por $\;H,\;$ determine um segmento de comprimento $\;L\;$ nas duas circunferências que se cortam em $\;H.\;$ Como vimos, na vinheta anterior, bastar-nos-á determinar um ponto $\;D\;$ de interseção da circunferência de diâmetro com extremos nos pontos médios dos lado $\;HE\;$ e $\;HG\;$ com a circunferência centrado no ponto médio de $\;HG\;$ e raio $\;\frac{ L}{2} ,\;$ para obter uma corda de tamanho $\;\frac{ L}{2} .\;$
  4. A reta paralela a essa que passa por $\;H\;$ determina nas circunferências de diâmetros $\;HE\;$ e $\;HG\;$ um segmento $\;CD\;$ de comprimento $\;L\;$ a passar por $\; H.\;$ E o quadrado $\;[ABCD]\;$ de lado $\;L\;$ pode determinar-se pelas perpendiculares a $\;CD\;$ em $\;D,\;$ a $\;CD \;$ em $\;C,\;$ a $\; DA\;$ em $\;A.\;$ Os vértices assim obtidos são vértices de triângulos retângulos inscritos em semicircunferências cujos diâmetros são lados do quadrado $\;[EFHGH]$
Notas:
  1. Para que o problema seja possível (tenha solução) é preciso que $\;L\;$ seja no máximo igual à diagonal do quadrado de lado $\;l\;$, seja, que $\;L\leq l\sqrt{l}. \;$ O mais seguro teria sido considerar $\;l \leq L\leq l\sqrt{l}, \;$ cuidado que não tivemos.
  2. O problema proposto podia resolver-se sem recurso ao problema contrário. Como sabemos, uma circunferência com centro no centro do quadrado $\;[ABCD]\;$ e de raio igual a metade da diagonal de um quadrado de lado $\;l\;$ que é $\; \displaystyle \frac{l\sqrt{2}}{2}\;$ perfeitamente construtível com régua e compasso. Esta circunferência é circunscrita ao quadrado $\;[EFGH]\;$ e, por isso, interseta lados opostos do quadrado $\;[ABCD]\;$ circunscrito em vértices opostos do quadrado $\;EFGH]\;$ inscrito.
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