O deslize da escada

Imagine uma escada (uma barra rígida [AB]) e os meus pés (P) incapazes de fugir do degrau onde foram surpreendidos quando a escada começou a deslizar. Por onde andam os meus pés? (Qual é o lugar geométrico das posições do ponto P, fixo numa barra rígida [AB], quando as extremidades desta se deslocam sobre os lados de um ângulo qualquer?)

Para ver a trajectória de P, pode mover o ponto A sobre a nossa construção (a que tem acesso clicando na figura). Também pode alterar a inclinação da parede onde A desliza.

Já agora! O que é melhor? A manipulação interactiva sobre os pontos livres ou a observação do movimento automático numa animação?

Outra situação

E se em vez de pensar numa simples barra, tomarmos um triângulo rígido cuja base desliza tendo os seus vértices assentes nos lados de um ângulo? Qual será o lugar das posições do vértice oposto à base quando a base desliza?

Elipse inscrita num paralelogramo

Para apoiar a resolução de um problema - Construção de uma lata para ervilhas* - de uma aula do 11º ano, tentámos animações com GSP que exigiam um animação de um cilindro em cavaleira uma elipse inscrita num paralelogramo. Bem, como tentativa de melhorar o tentado, aqui se apresenta uma construção de uma elipse inscrita num paralelogramo. Estude a nossa construção e justifique a sua validade. Para ver a animação, basta clicar sobre a ilustração.

* Ana Maria Brito Jorge, Conceição Barroso Alves, Graziela Fonseca e Judite Barbedo. Infinito 11A, parte 2 (p 14). Areal. Porto: 2003

Dizia o problema qualquer coisa como: Para construir uma lata cilíndrica, destinada a comercializar ervilhas, são utilizados dois rectângulos de chapa um para a parte lateral e outra para os fundos ou bases. Sendo que a lata de ervilhas vai ter a capacidade de 1 litro, quais devem ser os diâmetros da base e a altura para que se gaste o mínimo de chapa metálica (lata)?

Elipse como envolvente

Um ponto livre T que descreve uma circunferência está ligado a um ponto P interior a esta. A recta perpendicular a PT, em T, é constantemente tangente a uma elipse. Porquê?

Para ver a animação que construímos, basta clicar sobre a ilustração.

Elipse

X desloca-se livremente em [AB]. O ponto P que desenha a elipse de focos, F1 e F2, é tal PF1=AX e PF2=XB. O eixo maior da elipse tem comprimento igual a |AB|.

Tomemos um sistema de eixos coordenados (ortonormado) passando pelo centro da elipse, chamando 2c à distância entre os focos e 2a à distãncia entre os extremos do eixo maior. Relativamente a esse sistema de eixos, os pontos P(x,y) da elipse respeitam a seguinte condição |PF1|+|PF2|=2a.

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Redescoberta de um método antigo

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Em Portugal saíram alguns livros importantes para o ensino da Geometria. O mais importante para os professores é Geometria - Temas Actuais(*) da autoria de Eduardo Veloso. A respeito das cónicas e da importância da tecnologia no ensino da geometria, recomendamos a leitura das páginas 109 e seguintes. Aqui introduzimos uma animação sobre uma construção da elipse (p. 114) na base de duas circunferências concêntricas. Tem interesse por ser um exemplo de método (re)descoberto graças ao Geometer's SketchPad. Veloso encontrou o mesmo método em obra de Carnoy, publicado em 1912.

(*) Eduardo Veloso; Geometria - Temas actuais (Materiais para professores), IIE. Lisboa:1998

Duas astróides

Tomamos um ponto P(x,y) a mover-se sobre uma circunferência de centro O. A astróide vermelha é envolvente das rectas a vermelho (cortadas na figura) que passam pelos pontos (x,0) e (0,y).
A astróide azul é envolvente das rectas perpendiculares às vermelhas (em cada posição de P)

Veja a animação, clicando sobre a ilustração.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) fundou a teoria das envolventes em 1692 com De linea ex lineis numero infinitis ordinatim ductis inter se concurrentibus easque omnes tangente. Parte das construções e animações que gostámos de fazer e gostamos de olhar referem-se a envolventes. Podem encontrar muitos resultados e sugestões em
Dörrie, Heinrich; 100 Great Problems of Elementary Mathematics. Dover Publications. New York: 1965.
Nessa obra podemos encontrar definições das astróides como envolventes e o trabalho algébrico de determinação das suas equações tipo.

Cardióide

A curva da animação abaixo foi desenhada por Dührer (o meu ídolo, este sim!) antes de Étienne Pascal (pai do mais conhecido Pascal, de nome próprio Blaise ) a quem é atribuída.

Limaçon de Pascal

Toma-se um ponto A fixo numa dada circunferência e um ponto M que se move sobre a circunferência. Se tomarmos dois pontos P e Q da recta AM que estão a igual distância de M, estes descrevem o caracol enquanto M dá a volta à circunferência.
Pode descrever de outra forma a obtenção deste lugar geométrico. Há mais do que uma.

Quando |PM| e |MQ| são iguais ao raio da circunferência de partida (|PM|=|MQ|=|AO|), obtemos um caracol especial a que damos o nome de cardióide (o mais conhecido dos caracóis de Pascal, por razões do coração que a razão desconhece).

Basta clicar sobre a figura, para ver a construção animada.

(*) Eduardo Veloso; Geometria - Temas actuais (Materiais para professores), IIE. Lisboa:1998

A partir da página 162, sob o título "Curvas planas e mecanismos" são apresentadas várias definições para a cardióide, são contadas as histórias (que eu tinha reduzido a pouco pela consulta do Dicionário de Goemetria Curiosa) e apresentados diversos processos. Veloso inclui mesmo o processo de Dürer para construir o caracol de Pascal. Pode ser que ainda venha a tentar fazer a construção em Cinderella.