13.2.05

(VII) - Circunferências

São dadas três circunferências iguais, tangentes duas a duas. Determinar os centros e os raios das duas circunferências que são tangentes, uma interiormente, outra exteriormente, às circunferências dadas.

(Proposta de Coronnet, Puig Adam e Aurélio Fernandes)




Num comentário que pode ler-se em anexo, a Mariana escreveu: Se resolvi bem, o centro de ambas as circunferências é a intersecção das medianas do triângulo equilátero cujos vértices são os centros das três circunferências tangentes duas a duas. O raio da circunferência interior é a distância do centro de gravidade do triângulo ao seu vértice menos o raio das cicunferências dadas. O raio da exterior é a soma da mesma distância com o raio das circunferências dadas. (Está bem?)

Interpretando o que a Mariana escreveu, construímos uma solução a que demos a forma de exercício interactivo (porque é assunto sobre o qual nos interessa muito recolher informações).

Experimente uma das versões seguintes:
 <   A primeira  > 
ou
  <   A segunda  > 

Uma delas dará boa conta do exercício.



O que sugere esta proposta?

Se as três circunferências iniciais não forem iguais? Em que condições elas são tangentes duas a duas? Como encontrar as tangentes às três? Se existirem, as circunferências tangentes interior e exterior são concêntricas?

E se tomarmos quatro (ou cinco, ou seis, ...) circunferências tangentes duas a duas (iguais ou diferentes) haverá circunferências tangentes interiormente e exteriormente a todas elas? Em que condições?

(VI) - Pontos, rectas e circunferências

São dados uma recta, um ponto A sobre a recta e uma circunferência de centro B. Traçar a circunferência tangente à recta em A e tangente à circunferência de centro B.



(Proposta de Puig Adam e Aurélio Fernandes)



Vamos começar a experimentar apresentar, por norma, propostas de exercícios interactivos em resposta aos desafios. Pode tentar resolver usando as ferramentas que se mostram disponíveis e, caso precise de ajude para dar um primeiro ou segundo passo, clicar no balão interrogativo e aceitar o passo (ou recusá-lo, há um rectângulo com uma seta para a esquerda para isso mesmo) para prosseguir até ao final.
Agradecemos a Ulli Kortemkamp, um dos autores do Cinderella, o apoio que nos tem dado e que resolve parte dos nossos problemas-Java entre plataformas, incluíndo a questão dos acentos do português.



Feita esta observação (para nós necessária), experimente o     exercício que pretende responder ao problema de construção     posto pelo enunciado que encima este artigo.
Pedimos desculpa pelas gralhas nos comentários (da consola do exercício) e mesmo por alguma falta de clareza que deles transpira. Desculpado isto que há-de vir a ser corrigido, para além de se divertirem a resolver o exercício, digam como é que vêem o desenrolar da coisa em cada computador. Será uma grande ajuda.

(V) - Raios de Circunferências

São dadas duas circunferências: uma de centro A e raio s, outra de centro B e raio t.
Traçar uma circunferência de raio r dado que seja tangente a duas circunferências dadas,

(Proposta de Puig Adam e Aurélio Fernandes)


Pois! Sofia Isabel Fonseca Miranda escolheu este problema e apresentou uma resolução que aqui se publica.



Para ver a construção dinâmica de Sofia Isabel, basta clicar sobre a ilustração.

(IV) - Rectas e circunferências

É dada uma circunferência de centro C e raio s; é dada uma recta m. Traçar uma circunferência de raio r dado que seja tangente à recta m e à circunferência de centro C.

(Proposta de Puig Adam e Aurélio Fernandes)








Para ter acesso e tentar resolver o exercício ou ver a nossa resolução, basta clicar sobre a ilustração. Utilize as ferramentas que estão disponíveis (a ferramenta de traçar perpendicular actua seleccionando um ponto e uma recta). Se precisar de alguma ajuda ou quiser ver a nossa resolução, carregue na ferramenta interrogativa.

(III) - Rectas e circunferências

Traçar uma circunferência de raio r dado que seja tangente a duas rectas concorrentes dadas.

(Proposta de Puig Adam e Aurélio Fernandes)




Resolução enviada por Brigite Simões da Silva em carta publicada em 29 de Maio de 2005.


Resolução enviada por Brigite Simões da Silva em carta publicada em 29 de Maio de 2005.

Se quer ver a construção proposta por Brigite Silva, basta clicar aqui ou sobre a ilustração.

(II) - Pontos, rectas e circunferências

São dadas duas rectas paralelas, a e b, e um ponto P. Traçar a circunferência tangente às duas rectas e que passa por P.

(Proposta de Puig Adam e Aurélio Fernandes)


Henrique escreveu no seu comentário:

O centro da circunferência tangente a duas rectas paralelas, tem de estar sobre um recta equidistante das primeiras. Depois, é preciso que o raio seja igual a metade da distância entre as rectas, sendo essa também a distância do ponto P ao centro. Não é?

E aqui fica a construção que respeita o comentário.

Julgamos poder afirmar que só há circunferência nas condições descritas quando P está entre as duas rectas paralelas. Não é?

Tomamos um ponto qualquer de uma das rectas, A sobre a, e por ele uma recta perpendicular a a. A distãncia entre as duas rectas a e b é |AB|. Pelo ponto médio de [AB],C, tomemos a recta paralela às duas a e b. Qualquer circunferência tangente a a e b terá o seu centro sobre essa paralela que passa por C, sendo o seu raio |AC|.

Bastará, agora tomar uma circunferência de centro em P e raio |AC|. O centro da circunferência que passa por P e é tangente às rectas a e b. O raio é |AC|.

Para ver a construção basta clicar sobre a ilustração. Na construção pode mover o ponto P.

(I) - Pontos, rectas e circunferências

Traçar por um ponto A de uma recta r uma circunferência tangente em r a A e que passa por um ponto B exterior a r.

(Proposta de Puig Adam e Aurélio Fernandes)


Mariana S. enviou-nos esta ilustração
à    
acompanhada deste texto:
1. Desenhei a recta b perpendicular a r no ponto A (ela irá conter o centro da circunferência)
2. Desenhei o segmento de recta [AB] (c)e a recta d perpendicular a [AB] no ponto B
3. C é o ponto de intersecção de d e b.
4. Como o ângulo ABC é recto está inscrito na semicircunferência de centro D, ponto médio de [AC], e diâmetro [AC].


Para ver a construção e manipular a recta e os pontos, basta clicar sobre a ilustração.


Este exercício é mais rico do que parece. De facto, a resolução da Mariana S. não é a única e, em meu entender, não é a mais natural. Tem muito interesse saber porque é que para esta ou aquela construção (ou problema), cada um mobiliza este ou aquele conceito ou noção ou método ou processo. Gosto disto.

No Trapézio

A nova proposta de António Aurélio Fernandes, como modelo para parte das publicações, é esta:
Colocamos um problema geométrico para ser resolvido por quem quiser pensar nisso e, caso saibamos ou aprendamos a resolvê-lo entretanto, passados oito dias, publicamos alguma resolução nossa ou que nos seja proposta.

Escrevam comentários ou enviem-nos resoluções (com o cinderella, gsp, cabri,... ou de papel). É claro que aceitamos que nos proponham desafios.
[O Eduardo Veloso perguntava-me recentemente, a propósito das intenções deste "blog", que exercícios não sabia eu resolver. São tantas as minhas dificuldades em Geometria, acrescidas da dificuldade das abordagens com os computadores!... Eu nem consegui ainda fazer uma simples "cindy-roulette (?)" para a ciclóide que ele propôe no seu livro Geometria  (já citado em vários artigos), imaginem bem! E não estou sozinho, ... digo eu.]
Prometo que tentaremos resolver o que nos propuserem, pedir ajuda ou declararmo-nos derrotados, sempre que for caso disso. E não é pouco. Falem com a geometria. Sugiram ligações. Aceitamos todas as sugestões e conselhos.



A primeira proposta de trabalho é a construção de um trapézio conhecidos os seus lados. E mais: Que condições devem ser satisfeitas por quatro segmentos para que haja um trapézio que os tenha por lados? [Para que 3 segmentos sejam lados de um triângulo, basta que verifiquem aquela condição de cada um deles ser menor que a soma dos outros dois. E aqui?]




Casimiro e Mariana Sacchetti fizeram uma bela construção que nos enviaram.

Parabéns aos dois.


Nós transformámos a proposta em exercício interactivo para ser resolvido com poucas ferramentas - ponto, recta a passar por dois pontos, compasso. Mantemos o balão de bd com o "?" para o caso de querer sugestões ou para ver a construção passo a passo, bem como a "<-" de voltar atrás em algum passo. Esperamos que goste.
Comentários? Diga-nos se correr mal. Diga-nos se correr bem.


Há um ano atrás, colocámos aos alunos do 10º ano, o problema de construir em verdadeira grandeza, o polígono que se obtinha quando se cortava um cubo por um determinado plano. Tratava-se de determinar a secção e construir   um certo trapézio isósceles . Fez-se então uma pequena reflexão a respeito do assunto (e do uso a dar ao papel quadriculado) que se pode reviver agora. O problema que ora propomos é o mais geral.

11.2.05

Um problema de Euclides - exemplo

Dada uma semi-recta AB e um segmento de recta CD, construir um ponto H na semi-recta AB de modo que os segmentos AH e CD sejam congruentes.

Pode aceder à     nossa construção      [ ou outra: se não vir tudo bem na primeira, clique aqui  ]  feita como resolução (com instrumentos euclidianos - não há compasso que mantenha a abertura e transfira comprimentos; Postulado 3 - dados dois pontos, há (e não é pouco) uma circunferência com centro num deles e a passar pelo outro ) do problema de transporte do segmento. Estamos a experimentar a exportação de exercícios interactivos. Se as coisas correrem bem, pode tentar resover antes de ver, usando as ferramentas nele disponíveis. Sempre que tiver uma dúvida e precisar de ajuda, bastará clicar sobre a "ferramenta interrogativa(?)":-) e ser-lhe-á dada uma sugestão ou dado um passo em frente na construção. A todos quantos visitem a nossa construção, pedimos que nos informem sobre o que viram e o funcionamento do computador utilizado - alguns dos computadores que usamos mostram nada, outros mostram tudo menos as ferramentas e, por isso, ficamos sem poder dar o passo seguinte, outros mostram ferramentas esmagadas e quase irreconhecíveis, outros mostram tudo perfeito para nos dar esperanças??? que só saberemos se são infundadas ou fundadas quando as testemunhas independentes escreverem a contar o que viram ou não viram...


Demonstração:




Utiliza-se Elementos I.2 para encontrar o segmento AG congruente a CD. A circunferência com centro em A e passando por G (Post 3) intersecta a recta tirada de A para B. Seja H esse ponto de intersecção. Por definição de circunferência (Def 15) AH=AG. E como AG=CD, AH=CD (Noção comum 1)   c.q.d.


Postulado 1 - Traçar uma linha recta de qualquer ponto a qualquer ponto.
Postulado 2 - Prolongar continuamente uma linha recta numa linha recta.
Postulado 3 - Descrever um círculo com um dado centro e passando por um dado ponto.
Definição 15 - Círculo é uma figura plana contida por uma linha tal que todas as linhas rectas com extremidades nessa linha e num ponto contido na figura são iguais. Este ponto chama-se centro do círculo.
Noção comum 1 - Coisas iguais a uma terceira são iguais entre si.
Noção comum 2 - Se iguais são adicionados a iguais então os todos são iguais.
Noção comum 3 - Se iguais forem subtraídos de iguais então os restantes são iguais.
Elementos I.1 - Sobre uma linha recta dada, construir um triângulo equilátero.
Elementos I. 2. - Problema: Dado um ponto A e um segmento de recta BC, construir um ponto F tal que o segmento AF é congruente com BC.

9.2.05

Parábola

O ponto P está a igual distância de d (directriz) e de F (foco). Quando o ponto D se move sobre d, P desenha a parábola (a negro).




Para ver a nossa animação, basta clicar sobre esta ilustração.

A recta t (PM), mediatriz de PD é sempre tangente à parábola. A parábola é a envolvente das rectas t (exactamente como na construção da parábola como envolvente, do artigo anterior).

Parábola como envolvente

Um ponto T que se move livremente sobre uma recta está ligado a um ponto P, exterior à recta. A perpendicular a PT, em T, é tangente a uma parábola.

Para aceder á nossa construção, basta clicar sobre esta ilustração.






Estas construções das cónicas como envolventes de rectas correspondem às aproximações das cónicas que podemos obter por dobragens sucessivas de uma folha de papel. Pode experimentar obter por dobragens sucessivas as diferentes cónicas que foram sendo apresentadas.

Parábolas cartesianas - de outro modo.

Se em vez de utilizarmos as operações sobre segmentos feitas usando um feixe cortado por paralelas, usarmos a altura relativa à hipotenusa de um triângulo rectângulo como meio proporcional dos segmentos em que divide a hipotenusa, podemos facilmente obter pontos em que uma das coordenadas é o quadrado da outra.

Na figura, 1=|OU|=|XA|. Se |OA| é o diâmetro de uma circunferência, [OTA] é um triângulo rectângulo em T e são semelhantes os triângulos [OTA], [OUT] e [TUA]. Concluirá facilmente que 1/|TU|=|TU|/|OX|, ou seja, |OX|=|TU|^2.





Clicando na ilustração, pode obter as construções de parábolas e, neste caso, acontece que o Cinderella fornece as equações respectivas. Porque será?



Estes dois últimos artigos podem e devem servir para estudar o problema das operações sobre segmentos e nada melhor que ler a história da geometria das coordenadas. Há informação bem desenvolvida e muito instrutiva em dois livros já citados em anteriores artigos, a saber, - Descartes; A Geometria. Prometeu - e - História da Matemática. Universidade Aberta- que recomendamos vivamente.



Parábola Cartesiana




Na figura, |OU|=1, |OX|=|UA|, UA e XB paralelas. E, em consequência, |OU|/|OX|= |XB|/|UA|, ou |XB|=|OX|^2.
Tomou-se P, tal que |YP|=|OX| e |XP|=|XB|=|OX|^2.
Quando X se desloca sobre o eixo horizontal (dos xx), P descreve um lugar geométrico dos pontos (x,y) tais que y=x^2.
Clicando sobre a ilustração, tem acesso à construção e animação que fizemos e pode seguir as variações nas figura e na álgebra respectiva. O Cinderella não fornece, neste caso, a equação do lugar geométrico dos pontos P.

2.2.05

Hipociclóide tricúspide

Os pés - R, S e T - das perpendiculares aos lados de um triângulo[ABC] tiradas por um ponto P da circunferência circunscrita são colineares. A recta que passa pelos pontos R, S e T toma o nome de recta de Simson. Fixado o triângulo e a sua circunferência circunscrita, há uma recta de Simson para cada ponto P da circunferência. Aqui se apresenta a envolvente dessas rectas de Simson. Para ver a nossa animação, basta clicar na ilustração:



31.1.05

A curva do ingénuo

Aquela a que chamámos a primeira experiência que fez nascer este "blog" não foi a nossa primeira experiência nem sequer a mais fascinante. As nossas descobertas(?), que iremos apresentar por aqui à medida do tempo disponível e das nossas desinibições têm a ver com tentativas de resolução de exercícios clássicos com o computador.
Entre essas redescobertas, uma há que me fez deambular pelos belos livros com belos desenhos de curvas de Gomes Teixeira (Tratados de Curvas), bem como os de Fernando Vasconcelos (que Franco de Oliveira faz bem em lembrar na última Gazeta de Matemática, nº 158, Janeiro de 2005) e que se encontram facilmente na biblioteca da Escola Secundária de José Estêvão onde trabalho e, obviamente, pelo menos nas bibliotecas das escolas da mesma idade.

Ao fazer algumas experiências com o Geometer's SketchPad (GSP- software dinâmico para geometria, Key Curriculum Press), obtivémos uma curva tão simples quanto interessante, a seguir apresentada.





Tomámos um ponto P livre sobre o segmento [AB] e as circunferências, uma de centro em M' - ponto médio de [AP] - passando por A e outra com centro em M'' - ponto médio de [M'B]- passando por B. O lugar geométrico dos pontos de intersecção das duas circunferências é a curva que encontrámos e nos propusémos estudar.

Na altura, escrevemos:


Com este estudo, chamamos a atenção para a potência formativa do conceito de lugar geométrico e para as potencialidades de motivação e descoberta que o uso da tecnologia porporciona. Chamamos ainda a atenção para as diversas sugestões de trabalho que se podem fazer em geometria analítica e cálculo (com manejo de ferramentas de cálculo disponíveis no ensino secundário), com incursões naturais em assuntos de história da matemática e para as diversas possibilidades de iniciar, de forma não artificial, os estudantes na pesquisa de informação com sentido, no estudo das nossas nacionais fontes e na criação de uma identificação dos nossos matemáticos e do nosso património cultural (quantas vezes presente em obras clássicas disponíveis nas escolas). Esperamos ter contribuído para mostrar que não é a introdução do uso da tecnologia no ensino secundário que enfraquece o trabalho com o cálculo ou com quaisquer outros assuntos de abordagem necessária.
Finalmente, pretendemos mostrar que as sugestões didácticas para o ensino da matemática dependem fundamentalmente do domínio de cada um dos conceitos matemáticos que devem ser mergulhados em cultura matemática, como parte do caldo cultural dos cidadãos.
Esperamos ainda ter sugerido um caminho para a realização de projectos, usando tecnologia e criando interesse pela evolução histórica dos conceitos e no contexto dos seus autores.




Nota final:
Se houver alguém com paciência para seguir o texto que então escrevemos sobre a curva do ingénuo e acrescentar, corrigir, propor outras interpretações ou outras abordagens... Para aceder à animação relativa ao lugar geométrico, basta clicar (como sempre) sobre a ilustração.

24.1.05

Hipérbole (cartesiana)

Tomem-se duas perpendiculares, OX e OY, passando por O, que se toma para origem das coordenadas e seja U(1,0). X é um ponto livre de se mover sobre a recta OU. A construção auxiliar que é visível, de duas concorrentes OC e OX cortadas por duas paralelas XC e UD, em que |XC|=|OU|=1 e |UD|=|OY|, garante que, em valor absoluto, |UD|=|OY|=1:|OX|. O ponto P(x,y) é tal que y=1/x. P percorre uma hipérbole quando X percorre a recta OU.





Clicando sobre a ilustração, tem acesso a uma construção interactiva. Mova X e verifique que P se desloca sobre a hipérbole, aqui construída como o lugar geométrico dos pontos (x,y) tais que y=1/x.


Recomendamos a leitura do pequeno artigo A geometria analítica de Fermat e de Descartes pp 556 e seguintes da História da Matemática, de Carlos Sá, Fernanda Estrada, João Queiró, Maria do Céu Silva e Maria José Costa, publicada pela Universidade Aberta, em 2002. Ou, para cheirar também a escrita da época, ver
Descartes; A Geometria.Prometeu. Lisboa:2001

Neste caso da hipérbole, os cálculos do Cinderella para cada vez que deslocamos X (aos deslocamentos em xx correspondem deslocamentos em yy) não costuma apresentar complicações. O mesmo não acontece na parábola, como verificará nas construções em futuros artigos.

Para além do interesse formativo (e histórico) que estas construções têm, deve acrescentar-se que elas servem de esclarecimento aos problemas que a continuidade levanta e às limitações dos programas computacionais para os enfrentar.

23.1.05

A hipérbole como envolvente

Um ponto T que se move livremente sobre uma circunferência está ligado a um ponto P a ela exterior. A recta perpendicular a PT, em T, é tangente a uma hipérbole.





Basta clicar sobre a ilustração acima para ter acesso à animação.




A envolvente variável.


É claro que esta animação aparece muito parecida com aquela primeira que apresentámos para a elipse. Apresentamos uma construção em que pode mover o ponto P do exterior para o interior da circunferência em que T se move.

Mas a melhor ilustração para a situação ainda é ver o que se passa na esfera. Pode mover o ponto P do exterior para o interior da circunferência.

22.1.05

O deslize da escada

Imagine uma escada (uma barra rígida [AB]) e os meus pés (P) incapazes de fugir do degrau onde foram surpreendidos quando a escada começou a deslizar. Por onde andam os meus pés? (Qual é o lugar geométrico das posições do ponto P, fixo numa barra rígida [AB], quando as extremidades desta se deslocam sobre os lados de um ângulo qualquer?)





Para ver a trajectória de P, pode mover o ponto A sobre a nossa construção (a que tem acesso clicando na figura). Também pode alterar a inclinação da parede onde A desliza.

Já agora! O que é melhor? A manipulação interactiva sobre os pontos livres ou a observação do movimento automático numa animação?

Outra situação

E se em vez de pensar numa simples barra, tomarmos um triângulo rígido cuja base desliza tendo os seus vértices assentes nos lados de um ângulo? Qual será o lugar das posições do vértice oposto à base quando a base desliza?




21.1.05

Elipse inscrita num paralelogramo

Para apoiar a resolução de um problema - Construção de uma lata para ervilhas* - de uma aula do 11º ano, tentámos animações com GSP que exigiam um animação de um cilindro em cavaleira uma elipse inscrita num paralelogramo. Bem, como tentativa de melhorar o tentado, aqui se apresenta uma construção de uma elipse inscrita num paralelogramo. Estude a nossa construção e justifique a sua validade. Para ver a animação, basta clicar sobre a ilustração.







* Ana Maria Brito Jorge, Conceição Barroso Alves, Graziela Fonseca e Judite Barbedo. Infinito 11A, parte 2 (p 14). Areal. Porto: 2003

Dizia o problema qualquer coisa como: Para construir uma lata cilíndrica, destinada a comercializar ervilhas, são utilizados dois rectângulos de chapa um para a parte lateral e outra para os fundos ou bases. Sendo que a lata de ervilhas vai ter a capacidade de 1 litro, quais devem ser os diâmetros da base e a altura para que se gaste o mínimo de chapa metálica (lata)?

20.1.05

Elipse como envolvente

Um ponto livre T que descreve uma circunferência está ligado a um ponto P interior a esta. A recta perpendicular a PT, em T, é constantemente tangente a uma elipse. Porquê?





Para ver a animação que construímos, basta clicar sobre a ilustração.

19.1.05

Elipse

X desloca-se livremente em [AB]. O ponto P que desenha a elipse de focos, F1 e F2, é tal PF1=AX e PF2=XB. O eixo maior da elipse tem comprimento igual a |AB|.





Tomemos um sistema de eixos coordenados (ortonormado) passando pelo centro da elipse, chamando 2c à distância entre os focos e 2a à distãncia entre os extremos do eixo maior. Relativamente a esse sistema de eixos, os pontos P(x,y) da elipse respeitam a seguinte condição |PF1|+|PF2|=2a.





Redescoberta de um método antigo



Em Portugal saíram alguns livros importantes para o ensino da Geometria. O mais importante para os professores é Geometria - Temas Actuais(*) da autoria de Eduardo Veloso. A respeito das cónicas e da importância da tecnologia no ensino da geometria, recomendamos a leitura das páginas 109 e seguintes. Aqui introduzimos uma animação sobre uma construção da elipse (p. 114) na base de duas circunferências concêntricas. Tem interesse por ser um exemplo de método (re)descoberto graças ao Geometer's SketchPad. Veloso encontrou o mesmo método em obra de Carnoy, publicado em 1912.





(*) Eduardo Veloso; Geometria - Temas actuais (Materiais para professores), IIE. Lisboa:1998

Duas astróides

Tomamos um ponto P(x,y) a mover-se sobre uma circunferência de centro O. A astróide vermelha é envolvente das rectas a vermelho (cortadas na figura) que passam pelos pontos (x,0) e (0,y).
A astróide azul é envolvente das rectas perpendiculares às vermelhas (em cada posição de P)





Veja a animação, clicando sobre a ilustração.


Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) fundou a teoria das envolventes em 1692 com De linea ex lineis numero infinitis ordinatim ductis inter se concurrentibus easque omnes tangente. Parte das construções e animações que gostámos de fazer e gostamos de olhar referem-se a envolventes. Podem encontrar muitos resultados e sugestões em
Dörrie, Heinrich; 100 Great Problems of Elementary Mathematics. Dover Publications. New York: 1965.
Nessa obra podemos encontrar definições das astróides como envolventes e o trabalho algébrico de determinação das suas equações tipo.

17.1.05

Cardióide

A curva da animação abaixo foi desenhada por Dührer (o meu ídolo, este sim!) antes de Étienne Pascal (pai do mais conhecido Pascal, de nome próprio Blaise ) a quem é atribuída.


Limaçon de Pascal

Toma-se um ponto A fixo numa dada circunferência e um ponto M que se move sobre a circunferência. Se tomarmos dois pontos P e Q da recta AM que estão a igual distância de M, estes descrevem o caracol enquanto M dá a volta à circunferência.
Pode descrever de outra forma a obtenção deste lugar geométrico. Há mais do que uma.






Quando |PM| e |MQ| são iguais ao raio da circunferência de partida (|PM|=|MQ|=|AO|), obtemos um caracol especial a que damos o nome de cardióide (o mais conhecido dos caracóis de Pascal, por razões do coração que a razão desconhece).



Basta clicar sobre a figura, para ver a construção animada.



(*) Eduardo Veloso; Geometria - Temas actuais (Materiais para professores), IIE. Lisboa:1998

A partir da página 162, sob o título "Curvas planas e mecanismos" são apresentadas várias definições para a cardióide, são contadas as histórias (que eu tinha reduzido a pouco pela consulta do Dicionário de Goemetria Curiosa) e apresentados diversos processos. Veloso inclui mesmo o processo de Dürer para construir o caracol de Pascal. Pode ser que ainda venha a tentar fazer a construção em Cinderella.

2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção