Reconstruir um triângulo de que se conhece um vértice e as rectas que contêm as suas bissectrizes.
Sugestão.
Desenhe um triângulo e as suas bissectrizes (que se intersectam no incentro)dos ângulos internos. Pense em usar a perpendicular à bissectriz tirada pelo vértice do ângulo. Pode confirmar o que se pretende com a nossa construção:
Bissectrizes dos
ângulos de um triângulo
Sugestão: resultado com bissectrizes de um triângulo
Num triângulo [ABC] consideramos habitualmente os ângulos internos e as suas bissectrizes a verde na figura e que se interesectam no ponto I, incentro.Mas podemos considerar as bissectrizes exteriores, a vermelho na figura. Movendo A, B ou C, vimos como os ângulos do triângulo mudam, mas o ângulo que cada bissectriz interior, AI, com a respectiva bissectriz externa, AD, parece manter-se constantemente perto de 90 graus. Podemos conjecturar que as bissectrizes dos dois ângulos formados por duas rectas são perpendiculares. Outro resultado que a figura sugere: A bissectriz interna do ângulo C, passa pelo ponto de intersecção das bissectrizes exteriores em A e em B.
Procure demonstrar os resultados que a figura sugere.
Resposta ao desafio:
Se não tiver reconstruído o triângulo, pode ver a nossa construção com Cinderella.
Reconstrução de um triângulo a partir de um vértice e das bissectrizes
São dadas as três bissectrizes, para além do vértice A (é dado o verde da figura). Traçamos a bissectriz exterior em A (perpendicular à bissectriz verde que contém A).Tomemos D, intersecção desta perpendicular (bissectriz exterior em A) com outra bissectriz. Por este D passará a bissectriz exterior noutro vértice, seja B, intersecção da terceira bissectriz com a sua perpendicular tirada por D. O terceiro vértice domtriângulo obtém-se, fazendo intersectar a recta simétrica de AB, por simetria cujo eixo é a bissectriz do ângulo B.
Construção dinâmica de um triângulo dados um vértice e as três bissectrizes
Pode movimentar A sobre a sua bissectriz, assim como pode movimentar qualquer das bissectrizes passando por I
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