Ponto de Miquel

No artigo anterior sobre a recta de Droz-Farny, refere-se Jean-Louis Ayme e a sua demonstração sintética do Teorema de Droz-Farny, publicada no Forum Geometricorum. Nesta demonstração, J-L Ayme recorre a um Teorema de Miquel* que enuncia assim: Se marcarmos um ponto sobre cada um dos lados de um triângulo e tormarmos a circunferência que passa por cada vértice e pelos dois pontos marcados nos lados adjacentes, obtemos três circunferências que se intersectam num ponto. Diz ainda J-L Ayme, na pequena nota, que muito poucos geómetras contemporâneos de Miquel tiveram consciência de que o resultado de Miquel daria origem a um sem número de teoremas. Há referências a resultados atribuídos a Miquel, mas não encontramos notas biográficas. Por exemplo na enciclopédia mathworld - letra M , podemos encontrar sete entradas com o nome de Miquel - Miquel Circles, Miquel Equation, Miquel Five Circles Theorem, *Miquel's Pivot Theorem, Miquel Point, Miquel'Theorem e Miquel Triangle.

Esta referência lembrou-nos que já tínhamos feito uma construção sobre o ponto de Miquel, sugerida pelo Dicionário de Geometria Curiosa de David Wells que foi editado em Portugal pela Gradiva.

Tomemos quatro rectas a, b, c e d concorrentes duas a duas. Ficam definidos quatro triângulos cujas circunferências circunscritas se interesectam num ponto M, a que chamamos ponto de Miquel. Melhor ainda: Há uma circunferência que passa pelos quatro circuncentros e, por onde?, pelo ponto de Miquel.

Figura de J-L Ayme

Se clicar sobre a figura, tem acesso à nossa construção. Pode movimentar as rectas na figura. Pode tentar demonstrar o resultado, para além de fazer a sua própria construção com o Cinderella.

Nota:
Auguste Miquel; Mémoire de Géométrie, Journal de mathématiques pures et appliquées de Liouville 1 (1838) 485-487.
E desafiamos o leitor a procurar a biografia de A. Miquel, bem como referências a Miquel. Bem merece ser conhecido - diz o companheiro Aurélio - embora acrescente que há outras coisas divertidas para fazer na vida.