Duas astróides

Tomamos um ponto P(x,y) a mover-se sobre uma circunferência de centro O. A astróide vermelha é envolvente das rectas a vermelho (cortadas na figura) que passam pelos pontos (x,0) e (0,y).
A astróide azul é envolvente das rectas perpendiculares às vermelhas (em cada posição de P)

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Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) fundou a teoria das envolventes em 1692 com De linea ex lineis numero infinitis ordinatim ductis inter se concurrentibus easque omnes tangente. Parte das construções e animações que gostámos de fazer e gostamos de olhar referem-se a envolventes. Podem encontrar muitos resultados e sugestões em
Dörrie, Heinrich; 100 Great Problems of Elementary Mathematics. Dover Publications. New York: 1965.
Nessa obra podemos encontrar definições das astróides como envolventes e o trabalho algébrico de determinação das suas equações tipo.