31.1.05

A curva do ingénuo

Aquela a que chamámos primeira experiência
que fez nascer este "blog" não foi a nossa primeira experiência nem sequer a mais fascinante. As nossas descobertas(?), que iremos apresentar por aqui à medida do tempo disponível e das nossas desinibições têm a ver com tentativas de resolução de exercícios clássicos com o computador.
Entre essas redescobertas, uma há que me fez deambular pelos belos livros com belos desenhos de curvas de Gomes Teixeira (Tratados de Curvas), bem como os de Fernando Vasconcelos (que Franco de Oliveira faz bem em lembrar na última Gazeta de Matemática, nº 158, Janeiro de 2005) e que se encontram facilmente na biblioteca da Escola Secundária de José Estêvão onde trabalho e, obviamente, pelo menos nas bibliotecas das escolas da mesma idade.

Ao fazer algumas experiências com o Geometer's SketchPad (GSP- software dinâmico para geometria, Key Curriculum Press), obtivémos uma curva tão simples quanto interessante, a seguir apresentada.





Tomámos um ponto P livre sobre o segmento [AB] e as circunferências, uma de centro em M' - ponto médio de [AP] - passando por A e outra com centro em M'' - ponto médio de [M'B]- passando por B. O lugar geométrico dos pontos de intersecção das duas circunferências é a curva que encontrámos e nos propusémos estudar.

Na altura, escrevemos:


Com este estudo, chamamos a atenção para a potência formativa do conceito de lugar geométrico e para as potencialidades de motivação e descoberta que o uso da tecnologia porporciona. Chamamos ainda a atenção para as diversas sugestões de trabalho que se podem fazer em geometria analítica e cálculo (com manejo de ferramentas de cálculo disponíveis no ensino secundário), com incursões naturais em assuntos de história da matemática e para as diversas possibilidades de iniciar, de forma não artificial, os estudantes na pesquisa de informação com sentido, no estudo das nossas nacionais fontes e na criação de uma identificação dos nossos matemáticos e do nosso património cultural (quantas vezes presente em obras clássicas disponíveis nas escolas). Esperamos ter contribuído para mostrar que não é a introdução do uso da tecnologia no ensino secundário que enfraquece o trabalho com o cálculo ou com quaisquer outros assuntos de abordagem necessária.
Finalmente, pretendemos mostrar que as sugestões didácticas para o ensino da matemática dependem fundamentalmente do domínio de cada um dos conceitos matemáticos que devem ser mergulhados em cultura matemática, como parte do caldo cultural dos cidadãos.
Esperamos ainda ter sugerido um caminho para a realização de projectos, usando tecnologia e criando interesse pela evolução histórica dos conceitos e no contexto dos seus autores.




Nota final:
Se houver alguém com paciência para seguir o texto que então escrevemos sobre a curva do ingénuo e acrescentar, corrigir, propor outras interpretações ou outras abordagens...

24.1.05

Hipérbole (cartesiana)

Tomem-se duas perpendiculares, OX e OY, passando por O, que se toma para origem das coordenadas e seja U(1,0). X é um ponto livre de se mover sobre a recta OU. A construção auxiliar que é visível, de duas concorrentes OC e OX cortadas por duas paralelas XC e UD, em que |XC|=|OU|=1 e |UD|=|OY|, garante que, em valor absoluto, |UD|=|OY|=1:|OX|. O ponto P(x,y) é tal que y=1/x. P percorre uma hipérbole quando X percorre a recta OU.



Tem acesso a uma construção interactiva. Mova X e verifique que P se desloca sobre a hipérbole, aqui construída como o lugar geométrico dos pontos (x,y) tais que y=1/x.


Recomendamos a leitura do pequeno artigo A geometria analítica de Fermat e de Descartes pp 556 e seguintes da História da Matemática, de Carlos Sá, Fernanda Estrada, João Queiró, Maria do Céu Silva e Maria José Costa, publicada pela Universidade Aberta, em 2002. Ou, para cheirar também a escrita da época, ver
Descartes; A Geometria.Prometeu. Lisboa:2001

Neste caso da hipérbole, os cálculos do Cinderella para cada vez que deslocamos X (aos deslocamentos em xx correspondem deslocamentos em yy) não costuma apresentar complicações. O mesmo não acontece na parábola, como verificará nas construções em futuros artigos.

Para além do interesse formativo (e histórico) que estas construções têm, deve acrescentar-se que elas servem de esclarecimento aos problemas que a continuidade levanta e às limitações dos programas computacionais para os enfrentar.

23.1.05

A hipérbole como envolvente

Um ponto T que se move livremente sobre uma circunferência está ligado a um ponto P a ela exterior. A recta perpendicular a PT, em T, é tangente a uma hipérbole.







A envolvente variável.


É claro que esta animação aparece muito parecida com aquela primeira que apresentámos para a elipse. Apresentamos uma
construção em que pode mover o ponto P do exterior para o interior da circunferência em que T se move.

Mas a melhor



Para ver a trajectória de P, pode mover o ponto A sobre a nossa construção (a que tem acesso clicando na figura). Também pode alterar a inclinação da parede onde A desliza.

Já agora! O que é melhor? A manipulação interactiva sobre os pontos livres ou a observação do movimento automático numa animação?

Outra situação

E se em vez de pensar numa simples barra, tomarmos um triângulo rígido cuja base desliza tendo os seus vértices assentes nos lados de um ângulo? Qual será o lugar das posições do vértice oposto à base quando a base desliza?



21.1.05

Elipse inscrita num paralelogramo

Para apoiar a resolução de um problema - Construção de uma lata para ervilhas* - de uma aula do 11º ano, tentámos animações com GSP que exigiam um animação de um cilindro em cavaleira uma elipse inscrita num paralelogramo. Bem, como tentativa de melhorar o tentado, aqui se apresenta uma construção de uma elipse inscrita num paralelogramo. Estude a nossa construção e justifique a sua validade.







* Ana Maria Brito Jorge, Conceição Barroso Alves, Graziela Fonseca e Judite Barbedo. Infinito 11A, parte 2 (p 14). Areal. Porto: 2003

Dizia o problema qualquer coisa como: Para construir uma lata cilíndrica, destinada a comercializar ervilhas, são utilizados dois rectângulos de chapa um para a parte lateral e outra para os fundos ou bases. Sendo que a lata de ervilhas vai ter a capacidade de 1 litro, quais devem ser os diâmetros da base e a altura para que se gaste o mínimo de chapa metálica (lata)?

20.1.05

Elipse como envolvente

Um ponto livre T que descreve uma circunferência está ligado a um ponto P interior a esta. A recta perpendicular a PT, em T, é constantemente tangente a uma elipse. Porquê?



19.1.05

Elipse

X desloca-se livremente em [AB]. O ponto P que desenha a elipse de focos, F1 e F2, é tal PF1=AX e PF2=XB. O eixo maior da elipse tem comprimento igual a |AB|.




Tomemos um sistema de eixos coordenados (ortonormado) passando pelo centro da elipse, chamando 2c à distância entre os focos e 2a à distãncia entre os extremos do eixo maior. Relativamente a esse sistema de eixos, os pontos P(x,y) da elipse respeitam a seguinte condição |PF1|+|PF2|=2a.




Redescoberta de um método antigo



Em Portugal saíram alguns livros importantes para o ensino da Geometria. O mais importante para os professores é Geometria - Temas Actuais(*) da autoria de Eduardo Veloso. A respeito das cónicas e da importância da tecnologia no ensino da geometria, recomendamos a leitura das páginas 109 e seguintes. Aqui introduzimos uma animação sobre uma construção da elipse (p. 114) na base de duas circunferências concêntricas. Tem interesse por ser um exemplo de método (re)descoberto graças ao Geometer's SketchPad. Veloso encontrou o mesmo método em obra de Carnoy, publicado em 1912.




(*) Eduardo Veloso; Geometria - Temas actuais (Materiais para professores), IIE. Lisboa:1998

Duas astróides

Tomamos um ponto P(x,y) a mover-se sobre uma circunferência de centro O. A astróide vermelha é envolvente das rectas a vermelho (cortadas na figura) que passam pelos pontos (x,0) e (0,y).
A astróide azul é envolvente das rectas perpendiculares às vermelhas (em cada posição de P)




Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) fundou a teoria das envolventes em 1692 com De linea ex lineis numero infinitis ordinatim ductis inter se concurrentibus easque omnes tangente. Parte das construções e animações que gostámos de fazer e gostamos de olhar referem-se a envolventes. Podem encontrar muitos resultados e sugestões em
Dörrie, Heinrich; 100 Great Problems of Elementary Mathematics. Dover Publications. New York: 1965.
Nessa obra podemos encontrar definições das astróides como envolventes e o trabalho algébrico de determinação das suas equações tipo.

17.1.05

Cardióide

A curva da animação abaixo foi desenhada por Dührer (o meu ídolo, este sim!) antes de Étienne Pascal (pai do mais conhecido Pascal, de nome próprio Blaise ) a quem é atribuída.

Limaçon de Pascal

Toma-se um ponto A fixo numa dada circunferência e um ponto M que se move sobre a circunferência. Se tomarmos dois pontos P e Q da recta AM que estão a igual distância de M, estes descrevem o caracol enquanto M dá a volta à circunferência.
Pode descrever de outra forma a obtenção deste lugar geométrico. Há mais do que uma.



Quando |PM| e |MQ| são iguais ao raio da circunferência de partida (|PM|=|MQ|=|AO|), obtemos um caracol especial a que damos o nome de cardióide (o mais conhecido dos caracóis de Pascal, por razões do coração que a razão desconhece).




(*) Eduardo Veloso; Geometria - Temas actuais (Materiais para professores), IIE. Lisboa:1998

A partir da página 162, sob o título "Curvas planas e mecanismos" são apresentadas várias definições para a cardióide, são contadas as histórias (que eu tinha reduzido a pouco pela consulta do Dicionário de Goemetria Curiosa) e apresentados diversos processos. Veloso inclui mesmo o processo de Dürer para construir o caracol de Pascal. Pode ser que ainda venha a tentar fazer a construção em Cinderella.

14.1.05

Básico - Construção de Triângulos (IV)

Desafio:
Reconstruir um triângulo de que se conhecem um vértice e as rectas que contêm a mediana, a altura e a bissectriz por ele tiradas.


Pode estudar a nossa resolução:


Reconstrução




Outro(s) desafio(s):



Construir um triângulo de que se conhecem os comprimentos de uma altura e dois outros elementos.

Considere-se um triângulo [ABC], em relação ao qual adoptamos as seguintes designações: a=BC, b=AC, c=AB e h' a altura tirada a partir de A.
1)


Dados a, b e h'
2)



Dados b, c e h'
3)
Dados b, ângulo B e h'
4)
Dados ângulo B, ângulo C e h'
5)
Dados a, ângulo B e h'
6)

Dados b, ângulo A e h' - solução de Sofia Canoso

Básico - Construção de Triângulos (III)

Desafio:
Reconstruir um triângulo de que se conhece um vértice e as rectas que contêm as suas bissectrizes.



Sugestão.
Desenhe um triângulo e as suas bissectrizes (que se intersectam no incentro)dos ângulos internos. Pense em usar a perpendicular à bissectriz tirada pelo vértice do ângulo. Pode confirmar o que se pretende com a nossa construção:


Sugestão: resultado com bissectrizes de um triângulo



Resposta ao desafio:
Se não tiver reconstruído o triângulo, pode ver a nossa construção com Cinderella.



Construção dinâmica de um triângulo dados um vértice e as três bissectrizes

13.1.05

Básico - Construção de Triângulos (II)

Construção dinâmica de um triângulo dados dois lados e o ângulo por eles formado



Nesta construção, é importante lembrar que afinal só transportamos segmentos. Não é? De facto, para transportar o ângulo usamos o compasso para, em primeiro lugar, desenhar duas circunferências de igual raio uma com centro no vértice do ângulo dado e outra no vértice do triângulo a construir. E, depois, sobre a cirucnferência de centro no vértice do ângulo a transferir, transferir a sua corda cujos extremos são os pontos de intersecção com os lados (em circunferências iguais, a cordas iguais correspondem iguais ângulos ao centro).
Algumas outras construções que proporemos podem aguçar o apetite para estes assuntos básicos de geometria dos triângulos.


Assisti recentemente a uma aula em que o professor se esforçou para que alunos do 7º ano de escolaridade fizessem construções rigorosas. Podia ter escolhido melhor os exemplos e podia ter dado mais tempo para que os alunos fizessem as construções. Mas, pelo que vi, é certo que os estudantes têm ideias preconcebidas sobre o trabalho com ferramentas e não as levam para a sala de aula. E é verdade também que não escrevem. Reparei também que os estudantes dão definições decoradas como respostas a perguntas que dependeriam da observação do que lhes é mostrado. Está difícil.



Básico - Construção de Triângulos (I)


No ensino básico, aprendem-se muitas coisas sobre ângulos e triângulos. Devia ser tudo acompanhado de muito desenho e raciocínios geométricos apoiados em instrumentos de desenho. Infelizmente, a utilização de instrumentos de desenho está a ser cada vez menos frequente e começamos a aceitar que os estudantes não tragam consigo as ferramentas próprias do trabalho - régua, esquadro, compasso, transferidor. Do ponto de vista formativo (e ao contrário do que se pensa muitas vezes) desenhar ilustrações de pensamentos sem preocupações de rigor não ajuda à abstracção. Ainda menos ajuda se os estudantes não verbalizarem os pensamentos e os não escreverem completamente na língua em que pensam. Parte das falhas podem ser colmatadas pelo uso de programas informáticos (como o que aqui usamos) já que os estudantes terão de escolher ferramentas de desenho para cada construção e simulam completamente a actividade que deviam desenvolver e já não desenvolvem no ambiente de lápis e papel.


Na sala de aula, os estudantes devem fazer algumas construções com cuidado e devem ser chamados a fazer raciocínios geométricos que as apoiam.
Aqui deixamos uma construção do triângulo dados os seus lados. O desenho final no quadro seria assim:



Construção dinâmica de um triângulo dados os seus lados



Em primeiro lugar, a construção a branco sobre o fundo negro do quadro é bonita. E resulta de trabalho pensado. Vamos construir, a partir de um ponto A do quadro, um triângulo [ABC] de lados previamente estabelecidos - a, b e c - em que a é o lado oposto ao vértice A, b o lado oposto ao vértice B e c o lado oposto ao vértice C.
Assim, B deve estar à distância c de A, isto é, deve estar sobre uma circunferência de centro em A e raio igual a c. Com o compasso, posso transportar o comprimento c. (Cada ponta do compasso sobre um extremo de c e leva-se o compasso até A mantendo a abertura do compasso. Com a ponta seca sobre A, desenha-se a circunferência que queremos). B pode ser um ponto qualquer desta circunferência. Se quero que C esteja à distãncia b de A, basta desenhar a circunferência de centro em A e raio b. C deverá estar sobre essa circunferência. Mas onde? Bem, tem de estar nessa circunferência mas ao mesmo tempo na circunferência de centro em B e raio a. Não é? Façamos os transportes todos.

Bem. Isso é o que deve fazer para construir o triângulo.


Agora pode clicar sobre o nosso desenho final (branco sobre o negro do quadro) para ter acesso à nossa construção dinâmica. E, como pode manipular a figura deslocando os pontos a verde, deve poder verificar se há sempre triângulos quaisquer que sejam a, b e c. E se não há, quando é que isso acontece? E quando há... qual é a relação entre os lados a, b e c?
Está a ver a utilidade da geometria dinâmica? Gosto muito de quadros negros e de instrumentos de desenho, mas isto é muito potente, não é?

Ponto de Miquel


No artigo anterior sobre a recta de Droz-Farny, refere-se Jean-Louis Ayme e a sua demonstração sintética do Teorema de Droz-Farny, publicada no Forum Geometricorum. Nesta demonstração, J-L Ayme recorre a um Teorema de Miquel* que enuncia assim: Se marcarmos um ponto sobre cada um dos lados de um triângulo e tormarmos a circunferência que passa por cada vértice e pelos dois pontos marcados nos lados adjacentes, obtemos três circunferências que se intersectam num ponto. Diz ainda J-L Ayme, na pequena nota, que muito poucos geómetras contemporâneos de Miquel tiveram consciência de que o resultado de Miquel daria origem a um sem número de teoremas. Há referências a resultados atribuídos a Miquel, mas não encontramos notas biográficas. Por exemplo na enciclopédia mathworld - letra M , podemos encontrar sete entradas com o nome de Miquel - Miquel Circles, Miquel Equation, Miquel Five Circles Theorem, *Miquel's Pivot Theorem, Miquel Point, Miquel'Theorem e Miquel Triangle.

Esta referência lembrou-nos que já tínhamos feito uma construção sobre o ponto de Miquel, sugerida pelo Dicionário de Geometria Curiosa de David Wells que foi editado em Portugal pela Gradiva.



Tomemos quatro rectas a, b, c e d concorrentes duas a duas. Ficam definidos quatro triângulos cujas circunferências circunscritas se interesectam num ponto M, a que chamamos ponto de Miquel. Melhor ainda: Há uma circunferência que passa pelos quatro circuncentros e, por onde?, pelo ponto de Miquel.




Se clicar sobre a figura, tem acesso a uma construção que pode manipular (quer movendo os pontos A,B e C quer movendo Y'X'. Se puder fazer a construção com o seu Cinderella, no seu computador, não se esqueça de abrir desde início o texto da construção e a janela de informações. Quando, ao fim da construção mandar passar uma recta por M e N (por exemplo), a janela de informações confirmará que o ponto P também está sobre MN, isto é, confirmará que M, N e P são colineares.


O artigo do Forum Geometricorum aqui citado em primeiro lugar contempla, para além da demonstração sintética do teorema, uma pequena resenha biográfica de Arnold Droz-Farny. Esperamos também ter chamado a atenção para o Forum Geometricorum. Com uma simples inscrição pode receber gratuitamente informação sobre o que lá vai sendo publicado e pode também gratuitamente carregar os artigos (em.pdf ou .ps)



Forum Geometricorum


3.1.05

Pontos e rectas notáveis de um triângulo

Seguimos uma lição de Puig Adam e fizemos um certo número de construções dinâmicas com o Cinderella.

Veja a lição e faça os exercícios propostos.


Circunferência circunscrita. Circuncentro.
Ortocentro. Um lugar geométrico interessante (ortocentro)
Um resultado de invariância de áreas de triângulos
Circunferência inscrita. Incentro.
Circunferências exinscritas.Exincentros.
Triângulo órtico
Seis pontos notáveis da circunferância circunscrita.
Circunferência dos nove pontos ( de Feuerbach ou de Euler)
Baricentro de um triângulo. Um lugar geométrico (para o baricentro).
Recta de Euler. Recta de Simson.


Da lição de Puig Adam, escolhemos 8 exercícios para propor aos leitores. São eles:


1. Demonstrar que as paralelas a dois lados de um triângulo que passem pelo baricentro dividem o terceiro lado em três partes iguais.
2.Demonstrar que a recta que une o vértice A de um triângulo [ABC] com o incentro I corta a circunferência circunscrita num ponto P equidistante de B, de I e de C.
3. Em que circunstâncias é que os quatro lados de um quadrilátero determinam dois a dois quatro triângulos dos quais as circunferências circunscritas passam por um mesmo ponto M? Enunciar e demonstrar o resultado.
4. Demonstrar que os circuncentros dos quatro triângulos em que um quadrilátero convexo fica dividido pelas suas diagonais são vértices de um paralelogramo.
5. Construir um triângulo de que se conhece um lado e duas medianas
6. Demonstrar que o triângulo dos exincentros é sempre acutângulo.
7. Demonstrar que a recta de Simson relativa ao ponto P está a igual distância de P e do ortocentro H.
8. Construir um triângulo de que se conhece os pontos médios dos seus lados. E um pentágono? E um heptágono? O que se passa se o polígono tiver um número par de lados?


O que é espantoso é que, apesar de ser um texto muito escondido e perdido, mais de um ano sobre a primeira publicação, Andreia Figueiredo leu-o até ao fim e enviou-nos a resolução de uma parte do oitavo exercício proposto. Até nós o tínhamos esquecido.

2.1.05

Básico - Comparação de áreas

Primeiro.
Construímos um rectângulo [ABCD] e tomámos um ponto E sobre [CD] de modo que o triângulo [AEB] é rectângulo em E.



A figura é feita como uma construção dinâmica que nos permite conjecturar que a área de [AEB] é metade da área de [ABCD]. Podemos mover B ou C sobre a construção para modificar o rectângulo segundo cada uma das dimensões.

É verdade? Sempre? Porquê?

Segundo.
Construímos um rectângulo [ABCD] e tomámos um ponto E do seu interior e de tal modo que o triângulo [AEB] é rectângulo em E.


A figura é feita como construção dinâmica que nos permite conjecturar que a soma das áreas de [AEB] e [CDE] é metade da área de [ABCD]. Podemos mover E sobre a semicircunferência de diâmetro[AB]. E também podemos mover B ou C sobre a construção para modificar o rectângulo segundo cada uma das suas dimensões.

Como exercício simples, propomos que estude e explique as construções geométricas e demonstre a validade da conjectura.

2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção