Triângulos auto-polares inscritos numa cónica e circunscritos a outra

Na última entrada, ilustrámos e demonstrámos o teorema de involução de Desargues.
Sobre a ilustração que se segue, pode dizer-se que a cónica em que se inscreve o quadrângulo PQRS interseta a reta g num par de pontos TU da involução definida pela projetividade que permuta SR.g com SQ.g e também RP.g e PQ.g (Pode verificar isso considerando S variável sobre a cónica e P, Q, R, T e U posições de R).
Mas também podemos considerar a polaridade (PQR)(Sg) em que P, Q, R, S são respetivamente polos de QR, PR, PQ, g.
Esta polaridade (PQR)(Sg), em que S não incide em g, induz uma involução de pontos conjugados em g que não é autoconjugada, que é a involução determinada em g pelo quadrângulo PQRS permutando SR.g com SQ.g (e é a mesma involução de Desargues).

E podemos, assim, ler a ilustração que se segue do seguinte modo:
Se dois triângulos PQR e STU têm os seis vértices (distintos) sobre uma cónica, há uma polaridade para a qual esses dois triângulos são auto-polares.
De fato, para aquela polaridade, o triângulo PQR é auto-polar e do mesmo modo STU o é. Como a polar de S é g que passa por T e U, S é conjugado de T e a polar t de T passa por S; e, do mesmo modo, a polar u de U passa por S. As polares de T e U passam por S=t.u e, sendo T e U conjugados ou t passa por U e u passa por T ou S, T e U são colineares, já que quando as polares de vértices de um triângulo não coincidem com os lados opostos, encontram estes em três pontos colineares: g.t, g.u, u.t conforme o teorema de Chasles que enunciámos assim: se ABC e a'b'c' são triângulos distintos e polares um do outro, então são perspetivos. Pode verificar o que se passa na ilustração deslocando o S sobre a construção
Também poderiamos ter usado o teorema de Hesse assim enunciado: Se dois pares de vértices opostos de um quadrilátero completo são pares de pontos conjugados para uma dada polaridade, então o terceiro par de vértices opostos é também um par de pontos conjugados pela mesma polaridade

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

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Pode deslocar os pontos (particularmente S) sobre a cónica, de modo a ver o que acontece nas diversas posições.

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A construção desta entrada ilustra especialmente o recíproco do resultado que a abre. A saber:
Se dois triângulos, em que nenhum dos vértices de qualquer deles incide em qualquer dos lados do outro, são autopolares para uma dada polaridade, os seus seis vérices incidem sobre uma cónica e os seus seis lados são tangentes a outra
Faz lembrar a segunda construção da entrada Definição projetiva de cónicas, publicada em Setembro, para que, da viagem, na paisagem da chegada, se reconheça a paisagem da partida.

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H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994

Desargues: Teorema da involução

Teorema da involução de Desargues:
Das cónicas que passam pelos vértices de um quadrilátero, aquelas que intersetam uma dada reta (que não passe pelos vértices) fazem-no num par de pontos de uma involução.
A construção que se segue pretende ilustrar este enunciado. Na figura está representado um quadrângulo de vértices P, Q, R, S e uma reta g que não passa por qualquer desses vértices. Representa-se também uma cónica de entre as que passam pelos 4 vértices do quadrângulo.
Os pontos de intersecção da reta g
com os lados do quadrângulos são A=PS.g, B=QS.g, D=QR.g, E=PR.g
e com a cónica são T e U.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

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Pode deslocar os pontos R e S e o ponto verde sobre a cónica, de modo a ver o que acontece nas diversas posições. E também pode controlar a animação no controlador ao fundo à esquerda.

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Se considerarmos os pontos S, R, T, U como posições de um ponto variável da cónica, podemos considerar dois feixes projetivos de retas, um centrado em P relacionado com outro centrado em Q.
PS→A=PS.g e QS→B=QS.g
PR→E=PR.g e PS→D=PS.g
E como já tinhamos visto no Teorema de Steiner, há uma projetividade que transforma A em B e E em D.
Deslocando o ponto verde sobre a cónica, vê-se que quando este coincide com R as intersecções com g das retas correspondentes dos feixes por P e por Q estão em A e B; quando este ponto verde coincide com S as intersecções com g das retas correspondentes nos dois feixes por P e Q estão em E e D. Já quando o ponto verde (variável, claro) coincide com T ambas as retas correspondentes dos feixes projetivos por P e Q intersetam a reta g no mesmo ponto T e, como é óbvio, qando o ponto verde é U as retas correspondentes dos dois feixes projetivos intersetam g em U.
Podemos, pois, escrever que
há uma projetividade que transforma AETU em BDTU. E, como sabemos que quaisquer quatro pontos colineares podem ser permutados por uma projetividade, BDTU e DBUT são projetivos.
Em conclusão: como AETU projetivo com BDTU e BDTU projetivo com DBUT, também AETU é projetivo com DBUT, ou seja, podemos concluir que o par TU das intersecções de g com a cónica é um par da involução (AD)(BE) que depende unicamente do quadrângulo. O que quer dizer que o resultado é válido para todas as cónicas de que g seja secante ou tangente, isto é, determinando um par (T≠U) ou um ponto invariante (T=U) da involução.
Vale a pena ainda ver que, quando o R coincide com P, a reta RP é substituída pela tangente em P. Ou quando R=Q, a reta RQ é substituída pela tangente em Q ou quando S=Q, SB é a tangente em Q.…
Assim, podemos escrever que
das cónicas tangentes a uma reta num dado ponto e que passam por dois outros pontos dados, se intersetam uma outra reta (não passando por qualquer dos três pontos dados) fazem-no em pares de uma involução.

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H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994

Teorema de Pascal

Na entrada Hexágono com diagonais concorrentes tem uma cónica inscrita ilustrava-se o resultado:
Teorema de Brianchon (1760-1854): Se os lados de um hexágno são tangentes a uma cónica, as suas três diagonais inicidem num só ponto, ou "se um hexágono circunscreve uma cónica então as suas diagonais são concorrentes"
obtido por dualização do Teorema de Pascal (1623-1662): Se pelos vértices de um hexágono passa uma cónica, os pares de lados opostos intersetam-se em 3 pontos que inicidem numa mesma reta, ou se um hexágono se inscreve numa cónica, os pares de lados opostos intersetam-se em pontos colineares.
Na ilustração que se segue, temos uma cónica e o hexágono de lados a, b, c, d, e, f nela inscrito (os vértices a.b, c.d, d.e, e.b, b.f e f.a são pontos da cónica) sendo, por isso, os pontos a.d, b.e, c.f colineares.

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Em "Essay pour les coniques" de 1640, Blaise Pascal enuncia este resultado como segue:"Se num plano MSQ, do ponto M partem as duas retas MK e MV, e do ponto S partem as duas retas SK, SV… e pelos pontos K e V passa a circunferência de um círculo cortando as retas MV, MK, SV, SV, SK nos pontos O, P, Q, N:
eu digo que as retas MS, No, PQ são da mesma ordem" no sentido de pertencerem a um mesmo feixe.

Vale a pena chamar a atenção para o facto de este Teorema de Pascal ser o recíproco do resultado ilustrado em Cónica por 5 pontos: Construção de Braikenbridge e Maclaurin

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H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry. 2nd ed, Wiley Classics Library. NY:1989

Cónica por 5 pontos

Na entrada Cónica inscrita num pentágono ilustrava-se o resultado:
Se p, q, r são três retas não concorrentes e XYZ é um triângulo variável em que X toma posições sobre p, Y sobre q e Z sobre r enquanto XZ e YZ passam respetivamente por pontos B e A fixos (não necessariamente incidentes em p ou q) não colineares com p.q
então
o lado XY envolve uma cónica (tangente a p, q, A(p.r), B(q.r), e AB ou inscrita num pentágono).

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Nessta entrada, apresentamos uma construção que ilustra o resultado dual desse, descoberto por Braikenbridge e Maclaurin, que se enuncia como segue:
Se P,Q, R são três pontos não colineares e xyz é um triângulo variável em que x passa por P, y passa por Q e z passa por R, enquanto x.z e y.z são pontos respetivamente de b e a fixas (não necessariamente a passar por P ou Q) não incidentes em PQ
então
o lugar geométrico dos pontos x.y é uma cónica (que passa por P, Q, a.PR, b.QR e a.b ou circunscrita a um pentágono)

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A animação pode ser controlada nos botões ao fundo à esquerda.
Esta construção sugere que os lados opostos de um hexágono inscrito numa cónica (de vértices P, Q, a.PR, b.QR, a.b, x.y) se intersetam em pontos colineares (b.x, a.y, PR.QR=c.d na figura).

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H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994

Cónica por 5 pontos: Construção de Braikenbridge e Maclaurin

Em várias entradas abordámos definições de cónicas, por exemplo,
- na entrada Steiner: definição dual mostrámos que
Quaisquer 5 retas, das quais não há 3 que incidam num mesmo ponto, determinam uma única cónica tangente a elas
- ou na entrada Steiner: cónica por 5 pontos construímos uma cónica passando por 5 pontos, dos quais não houvesse 3 colineares, sugerindo um resultado dual do anterior
Quaisquer 5 pontos, dos quais não há 3 colineares, determinam uma única cónica que passa por eles
Qualquer projetividade (entre conjuntos de pontos ou entre conjuntos de retas) fica bem definida por 6 dados: 3 elementos e seus 3 correspondentes. O que estes resultados nos dizem é que não são precisos os 6 elementos para definir uma cónica. Bastarão 5.
Uma construção que é atribuída a William Braikenridge e Colin MacLaurin ilustra bem que 5 pontos (dentre os quais não há 3 colineares) definem uma cónica, ou que há uma só cónica a passar por 5 pontos dados. De seguida, apresentamos essa construção:
Tomam-se cinco pontos A₁, B₁, C₁, A₂ e B₂, não colineares 3 a 3. E toma-se uma reta variável z que passe por A₁B₂.B₁A₂.
A reta A₂C₁ interseta z, seja z.A₂C₁ que com A₁ definem uma nova reta. Do mesmo modo, determina-se outra reta que passa por B₁ e por z.B₂C₁.
E designamos por C₂ a intersecção dessas duas retas definidas por último.

Quando z roda em torno de A₁B₂.B₁A₂, C₂ descreve uma cónica que passa pelos cinco pontos A₁, B₁, C₁, A₂ e B₂

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da antiga dinâmica:A animação pode ser controlada nos botões ao fundo à esquerda.
Resumindo:
A cónica que passa por A₁, B₁, C₁, A₂ e B₂, não colineares 3 a 3, é o lugar geométrico dos pontos C₂=A₁(z.C₁A₂).B₁(z.C₁B₂), em que z é uma reta variável que passa pelo ponto A₁B₂.B₁A₂.

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H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry. 2nd ed, Wiley Classics Library. NY:1989

Hexágono que tem diagonais concorrentes tem uma cónica inscrita

Na entrada anterior, apresentámos a demonstração (e a construção dinâmica que a ilustra) do
Teorema de Brianchon:
Se os lados de um hexágno são tangentes a uma cónica, as suas três diagonais inicidem num só ponto.

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No livro Geometria Projetiva que temos vindo a estudar, Coxeter apresenta várias ilustrações para esse resultado.
Aqui deixamos uma delas, "animada".
Trata-se de um hexágono ABCDEF em que as diagonais AD, BE e CF são concorrentes num ponto.

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da antiga dinâmicaA animação pode ser controlada nos botões ao fundo à esquerda.
Construímos de tal modo que, mantendo fixos os lados AB, BC e AF, ao deslocar o ponto Z de encontro das diagonais, o lado XY (que toma a posição particular de DE, à partida) toma como posições particulares cada um dos lados do hexágono ABCDEF. As posições do ponto X sobre a reta EF constituem uma pontual relacionada por uma projetividade de eixo CF (não perspetiva) com a pontual Y de pontos sobre a reta CD. Conformes à definição de Steiner, as retas XY são tangentes a uma cónica (única) inscrita no hexágono ABCDEF.

Teorema de Brianchon

A construção e a demonstração da última entrada deram-nos um método simples e seguro para determinar uma cónica inscrita num pentágono qualquer. Pode ser descrito como segue:
Seja um pentágono ABCDE. Tome-se um ponto variável sobre uma das diagonais, por exemplo, Z em CE.
Para cada Z de CE tomem-se os pontos X=DE.ZB e Y=CD.AZ e a reta XY por eles definida.
O conjunto das retas assim definidas (quando Z percorre CE) são tangentes à cónica inscrita no pentágono ABCDE.

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Na altura, chamámos a atenção para o hexágno da figura ABCYXE, com os seis lados tangentes à cónica. Cada par de vértices opostos define o que chamamos uma diagonal do hexágono, a saber AY, BX e CE e a construção associada mostrava-nos que quaisquer que fossem as pontuais X (sobre DE) e Y (sobre CD) projetivas, i.e. tais que AY e BX se intersetassem sobre CE. Via-se também que os lados desse pentágono eram posições particulares de XY e, por isso, a cónica definida é tangente a todos os lados do pentágono ABCDE.

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da antiga dinâmica animada:A animação pode ser controlada nos botões ao fundo à esquerda.
Se os seis lados de um hexágono qualquer são tangentes a uma cónica, cinco deles, como tomámos por exemplo, DE, EA, AB, BC e CD, também são tangentes. Como é única a cónica tangente a estas 5 retas fixas, o sexto lado tem de coincidir com uma posição particular de XY para a qual BX.AY é um ponto de CE
Fica assim demonstrado o
Teorema de Brianchon:
Se os lados de um hexágno são tangentes a uma cónica, as suas três diagonais inicidem num só ponto.

Cónica inscrita num pentágono

Na anterior entrada, vimos que
Se p, q, d são 3 retas que não incidem num mesmo ponto e XYZ for um triângulo variável
- com X a mover-se sobre p, Y a mover-se sobre q e Z a mover-se sobre d, e
- o lado XZ a passar por um ponto fixo B de q e o lado YZ a passar por um ponto fixo A de p
então o terceiro lado do triângulo envolve uma e uma só cónica tangente a p e q nos pontos P=p.d e Q=q.d.

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A construção, que se segue, ilustra um resultado mais geral:
Se p, q, r são três retas não concorrentes e XYZ é um triângulo variável em que X toma posições sobre p, Y sobre q e Z sobre r enquanto XZ e YZ passam respetivamente por pontos B e A fixos (não necessariamente incidentes em p ou q) não colineares com p.q
então
o lado XY envolve uma cónica.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
da antiga dinâmica:A animação pode ser controlada nos botões ao fundo à esquerda.
Nas condições da figura, a perspetividade centrada em B seguida da perspetividade centrada em A X → ^B → Z → ^A → Y é uma projetividade relacionando X com Y, que não é uma perspetividade, já que nem r nem AB passam por D=p.q.
Assim as retas XY são tangentes uma cónica que também admite como tangentes p e q.
Podemos verificar o que acontece para algumas posições dos vértices e correspondentes posições de XY:

1. quando Z=E=p.r, X=E, AY=AE e também XY=AE, que significa que AE é tangente à cónica
2. quando Z=C, Y=C, BX=BC e também XY=BC tangente à cónica
3. quando Z=G, X=I, Y=J e também XY=AB tangente à cónica

Podemos assim olhar para o essencial da nossa construção de uma cónica tangente aos lados de um pentágono ABCDE.
Na nossa construção, partimos de p=DE, q=CD, r=CE, AB, em que r=CE é a diagonal do pentágono ABCDE. Para a determinação do triângulo variável XYZ, partimos de Z livre sobre a diagonal r, X=p.BZ, Y=q.AZ, para uma projetividade que não é perpsetividade entre as pontuais X (sobre p) e Y (sobre q).
E, conforme a definição de Steiner, as retas XY (passando por correspondentes projetivos) geram a cónica inscrita no pentágono.
Também podemos olhar para a nossa construção para ver um hexágono ABCYXE de diagonais AY, BX e CE (a passar por Z) cujos lados são tangentes à cónica.

Cónica tangente a duas retas e pontos de tangência

Dualizando a definição de Steiner, obtivemos:
Sejam dois pontos X e Y pontos variáveis sobre as retas p e q tais que X e Y são projetivos mas não perspetivos. A envolvente das retas XY é uma cónica tangente a p e q.
Qualquer projetividade que relacione X (pontual de base p) com Y (pontual de base q) tem um eixo. Se tomarmos dois pontos fixos - A sobre p como posição particular de X e B sobre q como a posição particular correspondente de Y - XB.YA=Z é um ponto do eixo (da projetividade que relaciona X com Y) que se mantém independente das variações de X.
Na nossa construção, pode ver que quando X=A, Y=B. O lugar geométrico dos pontos Z quando X varia sobre p é a reta d. Se tomarmos d como eixo dessa projetividade, e designarmos d.p=P e d.q=Q, quando X=P, Y=D=p.q, Z=P; quando X=D=p.q, Y=Q=d.q, Z=Q. O que significa que os pontos P=d.p e Q=d.q são os pontos de tangência da cónica envolvente das retas XY com as p e q.
A projetividade em causa pode ser sempre descrita como um produto de duas perspetividades. Atendendo à construção em que G=d.AB, vimos que a perspetividade de centro em B transforma a pontual APDX sobre p na pontual GPQZ sobre d e a perpspetividade de centro em A transforma esta pontual GPQZ sobre d em BDQY sobre q.
Na polaridade associada à cónica envolvente das retas XY, P é polo de p, Q é polo de q, D=p.q é polo de d=PQ.

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da antiga animação:A animação pode ser controlada nos botões ao fundo à esquerda.
Podemos olhar para a figura da construção de outro modo,
como se tivessemos um triângulo variável XYZ
com X a mover-se sobre uma reta p, Y a mover-se sobre uma reta q e Z a mover-se sobre uma reta d,
o lado XZ a passar por um ponto fixo B de q e o lado YZ a passar por um ponto fixo A de p.
E, nestas condições, o terceiro lado do triângulo envolve uma e uma só cónica.

Steiner: definição dual

Dualizando a definição de Steiner, obtemos:
Sejam dois pontos X e Y pontos variáveis sobre as retas p e q tais que X e Y são projetivos mas não perspetivos. A envolvente das retas XY é uma cónica tangente a p e q.
Se a projetividade faz corresponder PDX a DQY, sendo D=p.q, P e Q são os pontos de contacto da cónica com p e q.
A construção, que se apresenta a seguir, ilustra uma projetividade entre as pontuais de base p e q: para cada conjunto de posições X₁, X₂, X₃ de X em p e as correspondentes posições Y₁, Y₂, Y₃ de Y em q, há uma única projetividade X₁ X₂ X₃X → Y₁Y₂Y₃Y.
A envolvente de XY é uma cónica quando quaisquer 3 das retas X_iY_i, p, q não forem concorrentes (não incidirem num mesmo ponto).
Verificará que quando X coincidir com D, XY coincide com q e Y coindirá com o ponto de tangência Q. E se for Y=D, XY=p e X=P.
Para a polaridade associada à cónica definida pelas cinco retas, PQ=d é a polar de D=p.q, p é polar de P, q é polar de Q,

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella). da antiga animação pode ser controlada nos botões ao fundo à esquerda.
Reciprocamente
Se 5 retas nas condições (X₁Y₁, X₂Y₂,X₃Y₃, p, q em que X_i é ponto de p e Y_i é ponto de q e nenhum terno delas ser concorrente) são tangentes a uma cónica, então para qualquer outra tangente XY
X₁X₂X₃X e Y₁Y₂Y₃Y são projetivos

Steiner: Cónica por 5 pontos

Sejam 5 pontos quaisquer P, Q, R, P' e Q' dos quais não há 3 que sejam colineares e uma reta variável x passando por P.
Definem-se
N=PQ'.P'Q, M=RP'.x, L=Q'R.MN e R'=QL.x
Procura-se o lugar geométrico dos pontos R'.

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A construção, que se apresenta a seguir, sugere que, quando x roda em torno de P, R' descreve uma cónica.

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da antiga dinâmica:A animação pode ser controlada nos botões ao fundo à esquerda.
Se as retas x formam um feixe centrado em P, as retas y=LQ formam um outro feixe centrado em Q. Para cada x, há um ponto M=x.RP' a que corresponde um só ponto L sobre MN (N-persp) que por sua vez determina uma só reta y=LQ
Quando x=PQ (sendo uma reta do feixe centrado em P) corresponde-lhe uma reta y≠PQ (do feixe centrado em Q) . Do mesmo modo, quando y=PQ (reta do feixe centrado em Q) corresponde-lhe uma reta x≠PQ (do feixe centrado em P. Por isso, os dois feixes de retas (x e y) são projetivos não perspetivos. Se fossem perspetivos, à reta definida por P e Q (centros dos feixes) teria como imagem ela mesma.
Assim, pela definição de Steiner, x.y=R' está sobre a cónica que passa pelos pontos P, Q, R, P' e Q'.

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Esta construção sugere fortemente

1. que, para definir uma cónica bastam 5 pontos entre os quais não haja 3 a incidir numa reta comum, e, também,
2. que um método para determinar a tangente num dado ponto P de uma cónica pode consistir em determinar a reta de um feixe centrado em P que seja a correspondente projetiva a uma secante à cónica, qualquer, tirada por P, tomada como reta de um feixe centrado na intersecção da secante com a cónica

Steiner:Cónica como lugar geométrico dos polos trilineares de um feixe de retas

Na construção desta entrada, procuramos o lugar geométrico dos polos trilineares de um feixe de retas de centro O distinto de qualquer dos vértices de um triângulo ABC (em relação ao qual se estabelece a polaridade trilinear). Sobre o polo trilinear, pode consultar as entradas

1. Polar trilinear, em que se faz referência específica às relações harmónicas estabelecidas na determinação do triângulo ceviano de ABC da relação entre polo e polar trilinear relativamente a ABC e da homologia que relaciona os dois triângulos
2. Da polar ao polo em que se apresenta uma construção, passo a passo, em resposta a pergunta de um leitor anónimo.

Relativamente ao triângulo ABC, a determinação da polo trilinear X de uma qualquer das retas x a passar por um ponto O é feita assim:

• Determinam-se os pontos de intersecção da recta x com os lados do triângulo ABC - X'_a=BC.x, X'_b=AC.x e X'_c=AB.x.
• O ponto X_c determina-se como conjugado harmónico de X'_c relativamente aos pontos A e B. O ponto x.CX_c será conjugado harmónico de X'_c relativamente X'_a e X'_b.
• Determinado X_c, imediatamente se determinam X_a e X_b tirando as rectas X'_a X_c e X'_b X_c que intersectam os lados AC em X_b e BC em X_a respetivamente. A reta X'_cX_a passa por X_b e, por isso X_aX_bX_c determinam um triângulo inscrito em ABC com lados a intersectar x nos pontos de intersecção desta com o triângulo original.
• As cevianas AX_a, BX_b e CX_c intersetam-se no pólo X, correspondente à polar trilinear x.

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Os botões ao fundo à esquerda permitem controlar a animação.
A cada reta x, variável, do feixe centrado em O, corresponde AX_a, por um lado, e BX_b por outro, afinal dois feixes projetivos mas não perspetivos nas condições da definição de Steiner para uma cónica. O lugar geométrico dos pontos de intersecção das retas correspondentes dos dois feixes projetivos não perspetivos X=AX_a.BX_b é uma cónica que passa por A, B e C.
Fazendo variar a reta x, fará variar as retas AX_a e BX_b, em consequência, variar X. Pode ver quais são as tangentes em A, B ou C (distintas sempre de AB, BC, CA)
Pode também deslocar O e ver o que acontece quando O está no exterior ou interior de ABC, sobre algum dos lados, sobre algum dos vértices.

Steiner: a outra definição de cónica

Numa entrada Definição projetiva de cónicas, de Setembro de 2012, já abordámos a definição de uma cónica como lugar geométrico dos pontos de interseção das retas correspondentes em dois feixes projetivos, mas não perspetivos. Nas entradas posteriores, definimos cada cónica como o lugar geométrico dos pontos auto-conjugados (ou retas auto-conjugadas) numa dada polaridade (seguindo Von Staudt, escreve Coxeter)
O enunciado do provado Teorema de Steiner garante que
Sendo x e y retas a passar por pontos de uma cónica, R comum, variável, e outros dois fixos P e Q (x=PR e y=RQ), x e y são projetivas que é o mesmo que dizer que,
se para uma dada polaridade (ABC)(Pp) em que ABC é o triângulo auto-polar diagonal de quadrângulo de que se conhecem três vértices P, Q, R auto-conjugados (da cónica) os feixes das retas x=PR e y=QR (R variável) são projetivos.
O procedimento alternativo à definição de cónica como polaridade hiperbólica (com pontos auto-conjugados) é: Sejam os feixes de retas variáveis x e y passando por P e Q (fixos) projetivos mas não perspetivos. O lugar geométrico dos pontos x.y é uma cónica que passa por P e por Q.
Se pela projetividade entre os feixes for pdx →dqy, em que d=PQ, então p e q são as tangentes em P e Q.

Se a projetividade x→y não é uma perspetividade, a reta d=PQ não é transformada em si mesma. Por isso, há obrigatoriamente duas retas p e q que a projetividade relaciona com d, assim: p→d e d→q. Como sabemos há uma única cónica a passar por PQ e x.y=R e tal que p e q são tangentes.

Novos pontos sobre a cónica de que se dão três pontos e as tangentes em dois deles

Uma cónica fica determinada por 3 dos seus pontos P,Q, R e pelas tangentes p e q em dois deles, P e Q respetivamente.
Retomamos nesta entrada a construção feita na entrada anterior, mas tomamos agora um ponto C de PQ diferente de RD.PQ
A polar c de C∈ PQ passará forçosamente por D, polo de PQ=d e pelo conjugado harmónico de C relativamente a P e Q, C₁ determinado sobre PQ: c=C₁D. Essa cónica é a mesma cónica associada à polaridade determinada pelo quadrângulo PQRS autoconjugados que admite ABC como triângulo diagonal auto-polar: A=RQ.c, B=RQ.c e S=AP.BQ ou seja (ABC)(Pp)
Fixado C sobre PQ, c é agora uma polar de C comum a todas as cónicas do "feixe" de cónicas que se tocam em P e Q. Pode verificar isso, fazendo variar unicamente R.
Sendo C₂= RC.c, RS é um par da involução (CC)(C₂C₂) sobre h=RC.
Concluímos assim que:
De todas as cónicas tangentes a duas retas em pontos dados, aquelas que encontram uma terceira reta (que não passe por quaisquer dos outros pontos) fazem-no em pares de pontos de uma involução.

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Repare que pode tomar qualquer ponto C sobre a reta d=PQ e, a cada posição de C corresponderá um ponto S de tal modo que RS é um par da involução (CC)(C₂C₂). Este resultado aponta o processo para determinar pontos da cónica definida por (ABC)(Pp).

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"Feixe" de cónicas

Uma cónica fica determinada por 3 dos seus pontos P,Q, R e pelas tangentes p e q em dois deles, P e Q respetivamente.
Na construção dinâmica desta entrada, a cónica fica determinada por (PQR)(Dp), em que p=DP. p=DP é a polar de P (ou tangente à cónica em P) e q=DQ é a polar de Q (ou tangente à cónica em Q) D=DP.DQ=p.q é polo de PQ. Sobre a reta PQ tomamos C=PQ.RD e, depois o seu conjugado harmónico C₁. Sobre a reta c=C₁D, tomamos A=c.RQ e B=c.RP. O ponto S=AQ.BP quarto vértice do quadrângulo PQRS que admite ABC como triângulo diagonal (auto-polar).

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Nas condições da construção, para cada (P,Q, R, D) há uma cónica a passar por P, Q e R da qual PD e QD são tangentes.
Faça variar unicamente R (deslocando na construção) e verifique que cada diferente posição de R corresponde uma única cónica e uma diferente reta c a passar por D.
As cónicas correspondentes às diferentes posições de R constituem um feixe de cónicas duplamente tangentes (em P e Q sendo as tangentes comuns DP e DQ). Este feixe de cónicas tem dois centros, no sentido de que todas as suas cónicas têm dois pontos em comum. As retas c formam um feixe centrado num só ponto D, no sentido de que que todas essas retas tem um só ponto em comum.

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Cónica de que se conhecem 3 pontos e as tangentes em dois deles

Na última entrada, ao fazer a demonstração do Teorema de Steiner, tomámos 3 pontos sobre uma cónica - dois fixos P e Q e um outro variável R. E tomámos uma reta c a passar por D polo de uma reta PQ para polaridade associada à cónica da qual P e Q são pontos (auto-conjugados, portanto): Para uma dada posição de R, tomamos C=RD.PQ e a reta c=AB,em que A=RQ.c e B=RP.c e de tal modo que ABC seja o triângulo diagonal de um quadrângulo PQRS, ou seja, em que S=AP.BQ, convenientemente.
O ponto C₁=c.PQ é o polo da reta CD, e é o conjugado harmónico de C relativamente a P e Q.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella). Se não tivéssemos dado a cónica, mas, só os pontos P,Q, R e D, podíamos ter construído C=PQ.RD e o seu conjugado harmónico C₁. A reta c ficaria determinada como c=C₁ que nos daria A=c.RQ e B=c.RP e ficaria assim determinada uma cónica que pode ser descrita como ser descrita como o lugar geométrico dos pontos auto-conjugados (ou a envolvente das retas autoconjugadas) na polaridade (ABC)(Pp) em que p=PD (ou (ABC)(Qq) em que q=QD)
E podemos assim concluir: Uma cónica fica determinada por 3 dos seus pontos e pelas tangentes em dois deles.

Relação entre pontos conjugados e retas conjugadas por polaridade associada a cónica

Se um triângulo PQR está inscrito numa cónica, qualquer reta conjugada comum dos seus lados encontra os outros em pontos conjugados. (Teorema de Seydewitz)
De facto, uma reta conjugada com PQ é a polar de algum ponto C de PQ. Seja S o ponto de intersecção da reta RC com a cónica. Os pontos diagonais de o quadrângulo PQRS formam um triângulo auto-polar cujo lado c incide nos pontos A e B, conjugados, A incidente em QR e B inicidente em PR.

( Dualmente: De um triângulo circunscrito a uma cónica, qualquer ponto conjugado com um dos seus vértices liga-se aos outros dois vértices por retas conjugadas)

Na construção, consideramos R um ponto variável sobre a cónica e P e Q pontos fixos sobre a cónica e chamámos x a PR e y a PQ. Podemos deslocar R sobre a cónica e verificar que quando R coincide com P (ou com Q) x=y=d=PQ.
Sendo x e y retas a passar por pontos de uma cónica, R comum, variável, e outros dois fixos P e Q (x=PR e y=RQ), x e y são projetivas. (Teorema de Steiner)
Já sabemos que as tangentes p (em P) e q (em Q) se encontram em D=p.q que é o polo de PQ. Seja uma reta c que passe por D, mas não passe por P nem por Q.
Como x.c=B e y.c=A, AB é um par em involução de pontos conjugados em c. Fazendo variar R=x.y sobre a cónica verá que x→B→A→y x e y são projetivos, ficando concluida assim a demonstração do teorema de Steiner.

Sendo d=PQ e C₁=c.d, P e Q são posições possíveis para R. Quando R=P, y=d, A=C₁, B é ponto conjugado de D, e x=p. Do mesmo modo, quando R=Q, x=d, B=C₁, A=D e y=q. Quando y é d, x é p quando x é d, y é q
( Dualmente: Considere-se uma tangente a uma cónica, variável, que interseta duas outras tangentes à mesma cónica, fixas, em dois pontos X e Y. X e Y são projetivos)

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Coxeter. Introduction to Geometry, Wiley & Sons. NY:1969
Coxeter. Projective Geometry. Springer. NY:1994 " width="700">

Tangente a uma cónica por um ponto a ela exterior

E como é que se determina a polar de um ponto auto-conjugado para uma dada polaridade? Ou, dito de outro modo, como é que se determina a tangente (polar) a uma cónica de que conhecemos o ponto de tangência (seu polo)?
Consideremos a cónica (vermelha) e sobre ela um ponto (negro) P.
1. Tracemos uma secante à cónica que passe por P, seja PQ.
2. O polo de PQ será o ponto de intersecção p.q, em que p é a polar de P e q a polar de Q ( p e q serão tangentes à cónica em P e Q, respetivamente)
3. Como se determina o polo p.q de PQ? Tome-se um quadrilátero PQRS inscrito na cónica que terá um ponto diagonal C sobre PQ. Deste quadrilátero, o triângulo ABC autopolar, em que a polar de C é c=AB. Tome-se também um outro ponto de PQ, C₁, e por ele duas secantes à conica R₁S₁ e P₁Q₁. P₁Q₁R₁S₁ é um quadrilátero inscrito na cónica sendo A₁B₁C₁ o seu triângulo diagonal, auto-polar. A polar de C₁ é c₁= A₁B₁. PQ=CC₁ tem polo p.q=c.c₁.
4. A tangente à cónica, p, em P será a reta que passa por c.c₁ e por P.

da antiga dinâmica:Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Tangente à cónica num dos seus pontos

E como é que se determina a polar de um ponto auto-conjugado para uma dada polaridade? Ou, dito de outro modo, como é que se determina a tangente (polar) a uma cónica de que conhecemos o ponto de tangência (seu polo)?
Consideremos a cónica (vermelha) e sobre ela um ponto (verde) P.
1. Tracemos uma secante à cónica que passe por P, seja PQ.
2. O polo de PQ será o ponto de intersecção p.q, em que p é a polar de P e q a polar de Q ( p e q serão tangentes à cónica em P e Q, respetivamente)
3. Como se determina o polo p.q de PQ? Tome-se um quadrilátero PQRS inscrito na cónica que terá um ponto diagonal C sobre PQ. Deste quadrilátero, o triângulo ABC autopolar, em que a polar de C é c=AB. Tome-se também um outro ponto de PQ, C₁, e por ele duas secantes à conica R₁S₁ PQ. PQR₁S₁ é um quadrilátero inscrito na cónica sendo A₁B₁C₁ o seu triângulo diagonal, auto-polar. A polar de C₁ é c₁= A₁B₁. PQ=CC₁ tem polo p.q=c.c₁.
4. A tangente à cónica, p, em P será a reta que passa por c.c₁ e por P.

da antiga dinâmica:Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Polar de um ponto relativamente a uma cónica

As construção e demonstração da entrada anterior pretendem convencer que cada cónica, qualquer que ela seja, induz uma polaridade que fica definida por qualquer quadrângulo de vértices P,Q,R,S sobre a cónica para o qual se prova que o triângulo diagonal ABC é auto-polar. Antes disso já se tinha definido cónica como lugar geométrico dos pontos auto-conjugados para uma polaridade (ABC)(Pp).
Desse modo, ficou também indicado o método para determinar a polar de um ponto qualquer não incidente na cónica. Para determinar a polar de um ponto C bastaria traçar duas retas por C, secantes à cónica (seguindo a figura dessa entrada) PQ e RS para, em seguida, obter os restantes pontos de intersecção de lados opostos de PQRS: A=PS.QR e B=PR.QS
A reta AB=c (lado oposto a C no triângulo diagonal ABC, como vimos, auto-polar) é a polar de C.

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Insistimos na determinação da polar. Como determinamos a polar de um ponto A (ponto negro) relativamente à cónica (vermelha) da figura?
Por A traçámos duas secantes à cónica QR e PS. Em seguida, determinados B=PR.QS e C=PQ.RS, pontos de intersecção dos restantes lados opostos de PQRS. ABC é o triângulo auto-polar de PQRS inscrito na cónica e, por isso, a polar de A é a=BC.

da antiga: Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Nesta entrada, se deslocar A, alterando a posição de A do interior para o exterior, pode verificar a relação entre as posições relativas de A e a relativamente à cónica. Pode deslocar o ponto P sobre a cónica para verificar que a não depende das secantes tiradas por A. Deixámos o ponto R (de que o desenho depende) para poder variar a cónica.

Da cónica para a polaridade associada

Na entrada anterior, tomámos a polaridade (ABC)(Pp) em que P incide em p. P é um ponto da cónica associada sendo p a tangente à cónica em P. Outros três pontos da cónica Q, R e S ficaram determinadas como conjugados harmónicos de P sobre as secantes CP (relativamente a C e CP.c), BP (relativamente a B e BP.b), AP (relativamente a A e AP.a).
A_p=AP.a, B_p=BP.b e C_p=CP.c são pontos de p, polar de P, conjugados de P. Aliás todos os pontos da reta p (tangente em P) são conjugados de P. Determinados os pontos Q, R e S deste modo a partir de (ABC)(Pp), a construção sugere que A=RQ.PS, B=PR.QS e C=PQ.RS ou que o triângulo auto-polar ABC é o triângulo diagonal do quadrângulo PQRS.
O último parágrafo da entrada anterior sugere que se se os vértices de um quadrângulo PQRS completo forem pontos auto-conjugados para uma dada polaridade, então o triãngulo diagonal ABC do quadrângulo é um triângulo auto-polar.
O lugar geométrico dos pontos autoconjugados de uma polaridade (hiperbólica) é uma cónica.
Será que se tivermos quatro pontos de uma cónica P, Q, R, S , o seu triângulo diagonal ABC é um triângulo auto-polar?
A construção seguinte ilustra isso mesmo

da antiga:Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella). Os pontos diagonais são as intersecções dos lados opostos do quadrângulo: A=PS.QR, B=PR.QS e C=RS.PQ. Tomemos ainda os pontos de intersecção com o lado AB do triângulo diagonal oposto ao vértice C, a saber: E=AB.RS e F=AB.PQ
Sabemos das relações harmónicas H(AB,EF), H(PQ,CF) ou H(RS,CE) e, em consequência, ficamos a saber que C é conjugado de E e também conjugado de F, ou seja, C é polo de AB=c, seu lado oposto. De modo análogo, ficaremos a saber que B é polo de AC e A é polo de BC.
É auto-polar o triângulo diagonal ABC de um quadrângulo qualquer PQRS de vértices incidentes numa cónica.
Sabíamos que, sendo P∈p, a polaridade (ABC)(Pp) determina uma cónica.
Esta construção ilustra bem que uma cónica induz uma polaridade e mostra como ela se determina. Serve também para sugerir um método construtivo para determinar a polar de um qualquer ponto C que não seja ponto da cónica.
Já agora, pode reparar que
Um ponto interior, no caso C, tem uma polar que não interseta a cónica (é não secante). A polar de um ponto exterior, A por exemplo, interseta a cónica (é secante). A polar de um ponto da cónica, P por exemplo, passa por um só ponto da cónica (é tangente).

Construção de uma polaridade (cónica) com um triângulo auto-polar e um ponto auto-conjugado

Na entrada anterior, fixámos uma definição de cónica como figura auto-dual: lugar geométrico dos pontos auto-conjugados de uma polaridade e envolvente das retas auto-conjugadas .
Essa polaridade com pontos auto-conjugados pode ser bem descrita por (ABC)(Pp), em que P incide em p (P é auto-conjugado e p é auto-conjugada) e ABC é um triângulo auto-polar (i.e., as polares de A é a=BC, de B é b=AC e de C é c=AB). O problema agora é construir um triângulo auto-polar, uma reta p e sobre ela o seu polo P que fique associada a uma cónica. Para isso, retomamos a construção da entrada Polaridade a partir de um triângulo auto-polar, publicada a 26 de Maio de 2012, em que provámos que uma correlação projetiva que relacione cada um dos três vértices de um triângulo com o seu lado oposto é uma polaridade. Na construção, que apresentamos a seguir, consideramos a correlação ABCP → abcp, em que a, b, c, são os lados opostos respetivamente a A, B, C e p é uma reta que não passa por qualquer dos vértices do triângulo, sendo P um ponto de p. O ponto P e a reta p correspondente, determinam 6 pontos sobre os lados do triângulo ABC, a saber: P_a=a.AP, P_b=b.BP, P_c=c.CP, A_p=a.p, B_p=b.p, C_p=c.p

da antiga:Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

A correlação, transformando A,B,C em a,b,c, transforma a=BC em b.c=A, b=AC em a.c=B, c=AB em a.b=C, AP em a.p=A_p, BP em b.p=B_p, CP em c.p=C_p.
Claro que transforma o triângulo (cada vértice no lado oposto, cada lado no vértice oposto) como uma polaridade.
Falta ver que, para além de transformar P em p, também transforma p em P.
A correlação transforma cada ponto X de c numa certa reta que interseta c em Y. Como se trata de uma correlação projetiva, X e Y são projetivos. Quando X é A, Y é B e quando X é B, Y é A. Dito de outro modo a correlação transforma A em B e B em A. Já que a correlação transforma P_c=c.CP em CC_p, como vimos para A e B, P_c→C_p e C_p→P_c. A correlação transforma ainda C_p=c.p em CP_c=CP. E do mesmo modo, a correlação transforma A_p=a.p em AP e B_p=b.p em BP. Finalmente, podemos concluir que esta correlação transforma p=A_pB_p=(a.p)(b.p) em AP.BP=P.

Ficou assim provado que a correlação ABCP→abcp é a polaridade (ABC)(Pp), sendo P o polo de p. P é um ponto de p, auto-conjugado.
Já sabemos que sobre p não há outros pontos autoconjugados, mas também sabemos que em cada reta tirada por P, que não seja p, há um e só um ponto conjugado de P e auto-conjugado na polaridade. Sobre cada uma das retas da figura que passam por P, determinamos os conjugados harmónicos de P: S relativamente a A e P_a, R relativamente a B e P_b, Q relativamente a C e P_c. P, Q, R e S são pontos auto-conjugados para a polaridade (ABC)(Pp), em que p é uma reta auto-conjugada.
A cónica associada passa por P, Q, R, S e p só tem um ponto autoconjugado que é P.

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Pode realizar esta construção e verificar que, nas condições da construção, A está nas retas RQ e PS, B e, S são vértices de um quadrângulo completo cujo triângulo diagonal é ABC. Para ilustrar estes factos, traçámos após todo o trabalho da construção, na figura as retas QS, RQ e RS.

Uma polaridade, uma cónica

Na entrada anterior, tratámos da definição projetiva de cónicas com recurso às perspetividades e projetividades entre pontuais e entre feixes. Ocupar-nos-emos agora de uma outra abordagem da cónica; usando polaridades - correspondências que, associando a cada ponto A uma só reta a, fazem corresponder à reta a o ponto A, caso particular de correlação projetiva.
Algumas notas sobre polaridades já abordadas antes:

• Se, por uma polaridade, ao ponto A corresponde uma reta a, chamamos a A polo da reta a e desta dizemos que é a polar de A.
• Por ser uma correlação projetiva, as polares dos pontos de a formam um feixe de retas passando por A.
• Qualquer polaridade dualiza incidências e isso signica que se A incide em b a sua polar a passa pelo polo B de b. Quando isto acontece dizemos que A e B são pontos conjugados e que a e b são retas conjugadas.
• Se A incidir na sua polar a, diz-se que A é auto-conjugado: A pertence à sua polar a ou a passa pelo seu polo.
• Uma reta que tem dois pontos auto-conjugados não pode ser uma reta autoconjugada e
• Uma reta nunca pode ter mais que dois pontos auto-conjugados
• Uma polaridade induz uma involução de pontos conjugados em qualquer reta que não seja auto-conjugada. De facto, sobre uma reta c não auto-conjugado, a projetividade que faz corresponder a um ponto qualquer X o ponto Y de intersecção de c com a reta x polar de X transforma um ponto B não auto-conjugado num outro ponto A=c.b, cuja polar é BC e, do mesmo modo, transforma A em B. Esta projetividade permuta dois pontos de c é uma involução em c. Dualmente, as retas x e CX são emparelhadas pela involução de retas conjugadas tiradas por C.
• A um triângulo, em que cada vértice tem como polar o lado oposto (em que quaisquqer dois vértices são conjugados e quaisquer dois lados são retas conjugadas) chamamos triângulo auto-polar
• À semelhança do que pensámos para as involuções, podemos dividir as polaridades em dois tipos: as que admitem pontos auto-conjugados e as que não admitem qualquer ponto autoconjugado. Claro que é o mesmo que dizer se admitem ou não admitem retas auto-conjugadas.

Uma polaridade com pontos auto-conjugados também admite obviamente retas autoconjugadas. E pode ficar bem descrita simbolicamente por (ABC)(Pp), sendo P incidente em p.
A existência de um tal ponto P auto-conjugado basta, já que a sua existência garante que, para além dele, em cada reta diferente de p que passa por P há um outro ponto auto-conjugado.
Como sabemos o único ponto auto-conjugado de uma reta auto-conjugada é o seu polo (que é único). Dualmente, a única reta auto-conjugada a passar por um ponto P auto-conjugado é a sua polar p (única). Sobre qualquer reta, não seja p, tirada por P, é induzida uma involução de pontos conjugados. Por esta involução, essa reta que tem P como ponto invariante (duplo), terá um segundo ponto invariante Q, o qual é um outro ponto auto-conjugado da polaridade.
Quer isto dizer, que a existência de um ponto auto-conjugado para uma dada polaridade implica a existência de muitos pontos auto-conjugados. Ao lugar geométrico dos pontos auto-conjugados numa dada polaridade chamamos cónica. E às polares dos pontos auto-conjugados chamaremos tangentes à cónica. Fica assim estabelecida uma definição de cónica como figura auto-dual: lugar geométrico dos pontos auto-conjugados de uma polaridade e envolvente das retas auto-conjugadas .
E, a partir de agora, consideramos que falar de uma cónica é o mesmo que falar da polaridade associada,se falamos de polo (ou polar) pode ser e é no sentido de polo (ou polar) relativamente a uma cónica, e, em vez de conjugado para a polaridade, conjugado relativamente a cónica. Uma tangente tem um só ponto (o seu polo) em comum com a cónica, chamado ponto de contato ou de tangência. Qualquer outra reta é secante ou não secante conforme corte a cónica em dois pontos ou não corte, isto é, conforme a involução de pontos conjugados tem ou não pontos invariantes.