Usando perspetividades para determinar projetividades entre pontuais: permutações

A construção seguinte parte de uma "pontual" A,B,C - conjunto de pontos colineares. Toma-se um ponto Q, exterior a ABC, e, por ele, o feixe QA,QB cortado por uma reta arbitrária tirada por C que corta o feixe QA,QB em R e S. Ficamos com os feixes (AQ,AS,AC),(BR,BQ,BC). O ponto P de incidência comum a AS e BR define um novo feixe (PQ,PR,PS). O ponto D, colinear com ABC fica determinado univocamente por construção.
Esta construção é muito interessante para ver que compostas de diferentes perspetividades têm o mesmo efeito e serve ainda para resolver vários problemas de projetividades que definem permutações dos pontos das pontuais ABCD, ABC, etc
[A.A.M.] Por exemplo:

1. o feixe RA,RB,RC corta ABC e APS e a perspetividade de centro R leva de A para A, B para P e C para S e o feixe QA,QB,QC corta APS e ABC e a perspetividade de centro Q leva de A para A, P para D e S para B, tendo a sua composta o efeito de levar de ABC para ADB. Podemos escrever ABC →_R APS →_Q ADB
2. O mesmo efeito obteríamos se, tomássemos os feixes SA,SB,SC e respetivas secções ABC e AQR para a perspetividade de centro S e o feixe PA,PQ, PR e respetivas secções AQR e ADB ABC →_S AQR →_P ADB
3. Para obter a permutação BAC de ABC, podemos tomar uma perspetividade de centro P, seguida de uma perspetividade de centro Q, abreviadamente ABC →_P SRC →_Q BAC

Pontual de 4 pontos: permutações por projetividade

Quaisquer quatro pontos colineares podem ser permutados em pares por projetividade

Na construção que se segue, tomam-se quatro pontos colineares (quaisquer) A,B, C, D. Vamos provar que existe uma projetividade tal que A→B e B→A, C→D e D→C.


[A.A.M]
Sigamos os passos da construção - perspectiva e projectiva - deslocando o cursor n=1, 2, ..., 5
Sendo R um ponto não colinear com A,B,C,D, uma reta arbitrária incidindo em D corta o feixe RA, RB, RC na pontual T,Q, W. Sendo Z o ponto de incidência comum às retas AQ e RC, podemos concluir que
ABCD → BADC
Assim:
n=3 ---> pela perspetividade de centro Q, (feixe verde, cortado por RZWC e ABCD):   ABCD →ZRCW,
n=4 ---> seguida da perspetividade de centro A, (feixe azul cortado por RZWC e TQWD):    ZRCW → QTDW e
n=5 ---> da perspetividade de centro R, (feixe castanho cortado por TQWD e ABCD):    QTDW→BADC.

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Exercicios propostos por Coxeter:

1. Dados 3 pontos colineares A, B, C, definir duas perspetividades cuja composta tenha o efeito A→B, B→A e C→C
2. Dadas três retas concorrentes a, b, c, definir duas perspetividades cuja composta tenha o efeito abc →bac
3. Dados três pontos colineares A,B,C e três retas concorrentes a,b,c definir cinco correspondências elementares (biunívocas) cuja composta tenha o efeito
   ABC→abc.
4. Dados quatro pontos colineares A,B,C,D, determinar três perspetividades cuja composta tenha o efeito
   ABCD →DCBA

Determinar a imagem de um ponto pela projetividade entre duas pontuais da mesma base

Sobre uma mesma base r, tomemos a projetividade entre as pontuais ABCD e A'B'C'D' em que A' é a imagem de A, B'de B, C' de C. Determine D' - imagem de D, pela projetividade definida por (ABC) →(A'B'C').

[A.A.M.]

• Como as pontuais ABC e A'B'C' que definem a projectividade estão numa só base r=r', temos de projectar uma delas, seja A'B'C', numa qualquer outra outra recta que designamos por r₁ (optámos por uma reta paralela a r), a partir de um ponto V (próprio ou impróprio), no caso da nossa construção optámos por um ponto próprio: VA'.r ={A₁}, VB'.r ={B₁} e VC'.r ={C₁}.
  
• Usamos a pontual A₁B₁C₁ em r₁ e determinamos o eixo projectivo de r e r₁ pelos pontos AB₁.B₁A={A''} e BC₁.C₁B={C''}: r''= A''C''.
  
• O homólogo do ponto D é obtido pela sucessão de intersecções DA₁ . r'' ={D''},   AD'' . r₁ = {D₁} e VD₁ . r = {D'}.

Projetividade entre duas pontuais com a mesma base

Consideremos as pontuais A,  B ,  C  e  A',  B',  C',tendo por base a mesma reta. Vamos determinar a projetividade A→A',  B→B',  C→C', usando feixes de retas e pontuais como secções de feixes.
Comecemos por tomar um ponto V em que não incide a reta dos pontos A,  B,  C,  A',  B',  C'. 
E consideremos o feixe VA',  VB',  VC'.
Tomamos a pontual A₁,  B₁,  C₁ secção do feixe centrado em V por  s (auxiliar). Obviamente que A', B' ,C'  e  A₁,  B₁,  C₁ são V-perspetivos.
Teremos agora de arranjar uma pontual A₂,  B₂ ,  C₂, que é secção comum aos feixes AA₁,  AB₁,  AC₁ (por A)  e A₁A,  A₁B,  A₁C (por A₁), seguindo um processo já antes usado.


Assim:
- pela perspetividade centrada em A₁,
A→A₂,   B→B₂ ,  C→C₂;
- pela perspetividade centrada em A,
A₂→A₁,    B₂→B₁,   C₂→C₁;
- pela perspetividade centrada em V,
A₁ →A', B₁→B', C₁→C'
Concluindo:
A→A',   B→B',   C→C'.

Outra forma de definir a projetividade entre duas pontuais

Nas últimas entradas, tratámos de determinar a projetividade entre duas pontuais ABC e DEF (ou entre dois feixes abc e def).
Para isso considerámos que A→D, B→E e C→F. Em seguida tomámos os feixes por A: AD, AE, AF e por D: DA,DB,DC. Traçámos a reta que incide nos pontos de interseção de AE com DB e AF com DC. Ficando assim definidas duas perpetividades entre as pontuais ABC e DEF para a secção comum dos feixes por A e por D.
A projetividade entre as pontuais ABC e DEF aparece como a composta das duas perspetividades. Note-se que essa projetividade não é uma perspetividade, já que AD,BE e CF não têm qualquer ponto em comum.
Na figura que se segue, não vamos tomar perspetividades centradas em A e D. Tomamos pontos quaisquer sobre BE (podia ser sobre AD ou sobre CF), a saber: O₁ e O₂ e os feixes O₁A, O₁B, O₁C e O₂D, O₂E, O₂F, definindo uma reta intermédia incidindo em I=O₁A∩ O₂D K=O₁C∩O₂F. Tomamos ainda J na interseção de O₁O₂ com a reta intermédia.
A projetividade fica definida A→I→D, B→J→E e C→K→F.
Obtivemos assim a projetividade como produto de duas perspetividades. Se mover os pontos O₁ ou O₂, verá que a projetividade se pode decompor em duas perspetividades de uma infinidade de modos.

Projetividade entre quaisquer dois feixes

Será que entre dois feixes a,b,c por R e d,e,f por S (quaisquer) se pode estabelecer uma correspondência biunívoca que seja uma projetividade?
Pode. Tomemos uma reta que corte a,b,c em A,B,C e outra que corte d,e,f em D,E,F. Usando o processo da anterior entrada (a castanho na figura), determina-se a projetividade entre as pontuais A,B,C e D,E,F como composta de duas perspetividades.

Temos
abc→ABC →    DEF →de f
Para cada reta x do feixe por R, há uma só reta do feixe por S que é projetiva com x (para a projetividade construída). Na edição inicial ficava como exercício a sua determinação usando as ferramentas disponíveis pelo CaR e o computador reconhecia a solução. Nesta,em GeoGebra, apresentamos os passos da construção até à solução.



Fica assim provado que há uma projetividade que transforma o feixe abc noutro def. Ficará por provar que é única.
Será que há sempre uma projectividade entre dois feixes de 4 retas?

Projectividade entre quaisquer duas pontuais?

Será que entre duas pontuais A,B,C de r e D,E,F de s (quaisquer) se pode estabelecer uma correspondência biunívoca que seja uma projectividade?
Pode. Tomemos os feixes de retas AD, AE e AF (por A) e DA, DB e DC (por D) e a reta GH (=o) em que G=AE∩DB e H=AF∩DC. E tomemos I=AD∩GH. Ficam assim construidas duas perspectividades: uma que transforma a pontual A,B,C de r a pontual I,G,H de o (secções por r e o do feixe de retas incidentes em D) e outra que transforma a pontual I,G,H de o na pontual D,E,F de s (secções por o e s do feixe de retas incidentes em A).
A o chamamos eixo da projectividade que transforma a pontual A,B,C de r na pontual D,E,F de s. Escrevemos
ABC → IGH → DEF
Para cada ponto X de r, o correspondente em s, pela projetividade assim definida, será o ponto X'' de incidência comum a AX' e s, em que X' é o ponto de incidência comuma a DX e o.

Fica assim provado que há sempre uma projectividade que transforma uma pontual ABC noutra DEF (determinada como composta de duas perspectividades). Ficará por provar que é única. Para isso, bastará verificar que qualquer sequência de perspectividades relacionando ABC com DEF terá sempre o mesmo efeito sobre X.
Será que há sempre uma projectividade entre duas pontuais de 4 pontos?

Perspetividades

Tomemos duas pontuais: A, B, C sobre uma reta r e D, E, F sobre outra reta s distinta de r. Claro que podemos estabelecer várias correspondências biunívocas entre os pontos das duas pontuais (ou fileiras). Há, no entanto, correspondências biunívocas especiais. Para exemplo, tomemos A→ D, B→E e C→F. Se as retas AD, BE e CF incidirem num mesmo ponto O, dizemos que as duas fileiras estão relacionadas por uma perspetividade com centro em O (são secções de um mesmo feixe por O) ou são perspetivas.


Dualmente, se tomarmos dois feixes de retas: a, b, c incidindo em R e d, e, f incidindo em S, há várias correspondências biunívocas entre as retas dos dois feixes. Para exemplo tomemos a→d, b→e, c→f. Se as interseções dos pares de retas correspondentes A=a∩d, B=b∩e, C=c∩f incidem numa mesma reta o, dizemos que os feixes estão em perspetividade de eixo o

Projetividade

Na construção acima, tomamos uma transformação obtida pela combinação de três correspondências elementares (introduzidas na mensagem anterior). Para isso, usámos uma sequência de retas e pontos (alternadamente):

o,O, o₁, O₁, o₂, O₂,o₃, O₃, ... , o_n-1, O_n-1, o_n, O_n

Claro que tomamos os pontos O_n não incidentes em qualquer das retas o_n para que as correspondências X⁽ⁿ⁾ para x⁽ⁿ⁾ sejam biunívocas, ligando pontos da fileira de pontos X em o (ou o feixe de retas x passando por O) com o feixe das retas x⁽ⁿ⁾ passando por O_n (ou a fileira dos pontos X⁽ⁿ⁾ da reta o_n) . A esta transformação dá-se o nome de projetividade. E em vez de escrever

X→x→X'→x'→X''→x''→X'''→ ... → x^(n-1) →X⁽ⁿ⁾

escrevemos simplesmente
X →X⁽ⁿ⁾ ou x →X⁽ⁿ⁾ ou X→x⁽ⁿ⁾

Feixes e fileiras

A um conjunto de pontos distintos sobre uma mesma reta r chamamos uma fileira (ou pontual) da reta. A um conjunto de retas distintas que passam por um mesmo ponto R chamamos feixe de retas por R.
Na construção seguinte, temos uma reta r e um ponto R não incidentes. Siga as instruções:

1. Clique no botão fileira
• e observe o que acontece
2. clique de novo no botão fileira para ocultar e, em seguida, clique no botão feixe
• e observe o que acontece.
3. Finalmente mantenha os dois botões ativos

Repare que o feixe de retas a,b,c corta a reta r nos pontos A, B, C. E, por isso, podemos dizer que a fileira A,B C é a secção por r do feixe tirado por R. Se r não incide em R, há uma correspondência um a um entre A,B,C e as retas a,b,c do feixe (por A e R passa uma só reta a). A reter: há uma correspondência biunívoca em que para cada X da fileira de r, há uma só reta do feixe por R que passa por X e, em que, para cada reta x do feixe por R há um só ponto X da fileira de r.


Nota: Agradecemos a José Manuel Santos dos Santos (do IGP) que nos livrou de uma intrigante janela algébrica que se sobrepunha à construção.

Nomes da Geometria Projetiva

Nestas entradas de Geometria Projetiva, interessam-nos primordialmente noções, problemas e construções dinâmicas. Não acompanharemos a história da Geometria Projetiva, mas forçosamente aparecerão os nomes dos matemáticos que fizeram história. Por isso, aqui deixamos uma lista de Referências que estabelecem ligações a páginas onde se podem consultar as biografias e os principais resultados a que cada um ficou ligado.
A lista será enriquecida à medida que nos for chamada a atenção para os nomes de outros geómetras.

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Do último desta lista, Coxeter, retemos dois livros
The real projective plane (Cambridge: University, 1961) e
Projective geometry (New York:Springe, 1994).

As definições e nomes que vamos seguir são, em larga medida, deste último livro de Coxeter.

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weBiografias

Pappus(n.350-f.290AC)	Euclides(? -300AC)	Arquimedes(287-212AC)
Brunelleschi(1377-1446)	Alberti(1404-1472)	Kepler(1571-1630)
Desargues (1591-1661)	Georg Mohr(1640-1697)	Mascheroni (1750-1800)
Gergonne (1771-1859)	von Staudt (1770-1875)	Poncelet (1788-1788)
Chasles (1793-1880)	Karl Feuerbach (1800-1834)	Klein (1849-1925)
Coxeter(1907-2003)

Introdução à Geometria Projetiva Plana

1. Temos realizado construções dinâmicas (ou não) para ilustrar resultados (resolver problemas) da geometria elementar. Recorremos para isso à régua e ao compasso, no fundamental. Na geometria euclideana plana estudamos propriedades dos pontos e retas de um plano que se mantêm invariantes por transformações de semelhança. Começamos hoje a estudar problemas e resultados da geometria projetiva plana que é o estudo das propriedades que se mantêm invariantes pela projeção central.
   Enquanto que na geomeria euclideana plana utilizamos o compasso no transporte de segmentos, o que equivale a dizer que usamos a noção de comprimento de um segmento, na geometria projetiva não considera comprimentos.
   F. Enriques resumia o ponto de vista destas geometrias, dizendo que "o homem normal constituiu a geometria elementar" e que suprimindo "as mãos desse homem, impedindo-o de medir as distâncias, ele é conduzido à geometria projetiva".
   A geometria projetiva é a geometria do que se vê. Quando olhamos para os carris (paralelos) de um caminho de ferro, vemos que eles se encontram num ponto. Quando avançamos, o ponto em que se intersetam avança. O ponto de interseção afasta-se à medida que dele nos aproximamos. Na geometria projetiva não há retas paralelas, há retas que se juntam num ponto do infinito, a que também se chama ponto limite, ponto impróprio, ponto ideal, etc.
   
2. Para a geometria projetiva plana, as noções primitivas são as de ponto, reta e incidência. As palavras incidência, incidente, incide, incidem... são substituídas muito frequentemente por outras expressões. Em geral, não dizemos "o ponto P incide na reta r" e antes dizemos que "o ponto P pertence à reta r" ou "P está sobre r" ou "P é um ponto de r", como também não dizemos "a reta r incide no ponto A" e antes dizemos "r passa por A", etc. Para o plano onde trabalhamos, usamos uma letra grega α, por exemplo, para os pontos de α usamos letras maiúsculas A, B, C, ... e para as retas do plano α usamos a, b, c, ...r, s, t,... Claro que também designamos por AB a reta que incide nos pontos A e B. E se três pontos incidirem numa mesma reta, diremos que os pontos são colinerares. Quando duas retas incidem num só ponto comum, dizemos que as retas são concorrentes.
3. Primeiro esboço de uma axiomática.
   Consideremos um plano α de pontos P e uma família não vazia de subconjuntos próprios não vazios de α a que chamamos retas. Os axiomas de incidência que usamos, são:
   
   Axiomas de incidência
   

   Dois pontos distintos de α pertencem a uma só reta	Duas retas distintas têm um só ponto em comum
   Existem quatro pontos em α distintos dos quais quaisquer três deles não incidem numa mesma reta	Existem quatro retas distintas, das quais quaisquer três delas não incidem num mesmo ponto

   
   Reparemos que os enunciados dos dois axiomas de cada linha são tais que se num deles substituirmos ponto por reta e reta por ponto obtemos o outro. Dizemos, por isso, que qualquer um dos enunciados é dual do outro (o princípio da dualidade é fundamental na geometria projetiva plana).
   Observemos que, por haver uma família não vazia de retas do plano α, os axiomas da primeira linha garantem que,  no mínimo, há dois pontos e, como as retas são subconjuntos próprios do plano, este tem no mínimmo três pontos.
   Claro que pode ser pouco interessante, o estudo das propriedades de uma geometria tendo por base um conjunto de pontos que não seja infinito. À medida que forem sendo precisas, incluiremos novas noções óbvias: feixe de retas, triângulo, quadrângulo, hexágono, etc.

Referências:
Godeaux, L. As Geometrias, Col. Saber, Pub Europa-América, Lx: 1960
Samuel, P. Projective Geometry, Readings in Mathematics,Springer-Verlag. NY: 1988
Coxeter,H. The real Projective Plane, Cambridge University Press. Cambridge:1961
Coxeter, H. Introduction to Geometry, John Wiley and sons,INC, NY:1969
Coxeter, H. Projective Geometry, Springer-Verlago. NY:1994
Puig Adam, Curso de Geometria Métrica, Gráficas S.A. Rodrigues San Pedro. Madrid:1949
Izquierdo, F. Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Dossat. Madrid:1980
Berzolari L. Enciclopedia delle Matematiche Elementari e Complementi. Ulrico Hoepli. Mlano:1949
Ryos de Sousa, J. Lições de Geometria Projectiva. Porto Editora. Porto:

Pavimentações não periódicas por replicação de um ladrilho

Pavimentamos o plano, com ladrilhos todos congruentes não lado com lado, sem simetrias de translação e em que cada ladrilho pode ser dividido num certo número de ladrilhos iguais e semelhantes ao original.

Começamos por uma pavimentação com esfinges congruentes





seguida de uma com triângulos retângulos em que um cateto é dobro do outro e em que cada triângulo pode ser dividido em 5 congruentes a ele semelhantes.

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Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho dos ladrilhos.

Pavimentações não periódicas

Pavimentamos o plano negro, com ladrilhos todos congruentes, mas sem simetrias de translação.

Começamos por uma pavimentação com triângulos isósceles congruentes e simetrias de reflexão e de rotação (D₁₂)





seguida de uma pavimentação com pentágonos côncavos equiláteros e simetrias de meia volta (C₂) (ferramenta de Mariana Sacchetti, rotações e reflexões).

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Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho dos ladrilhos.

Problema de Hilbert e contra-exemplo.

Da lista de problemas apresentada por Hilbert durante o segundo Congresso II Congresso Internacional de Matemáticos que se realizou em 1900 (Paris) constava um problema sobre pavimentações:

Será verdade que qualquer pavimentação pura (monoedral, composta por polígonos congruentes) também admite que há uma simetria da pavimentação que leva de um ladrilho para qualquer outro?

Supostamente, Hilbert pensava que isso era verdade. Passados 35 anos alguém provou que não era verdade com um contra-exemplo em que o ladrilho era um polígono concavo.

E depois Kershner apresentou exemplos de pentágonos convexos que pavimentavam o plano e em que havia pares de ladrilhos, para os quais nenhuma simetria da pavimentação levava de um para o outro.

Apresenta-se a ilustração dinâmica de uma pavimentação em que deixamos as propriedades do ladrilho pentagonal (ferramenta geogebra e pavimentação feita por Mariana Sacchetti) e os quatro pentágonos de partida. Trata-se ainda de uma pavimentação periódica com translações associadas a dois vetores independentes).

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Pode deslocar o ponto verde e variar o tamanho dos ladrilhos.

Pavimentações e propriedades das suas simetrias

As pavimentações do plano construídas até agora são periódicas (admitindo simetrias de translação associadas a dois vetores independentes). Dada uma pavimentação regular ou semi-regular, ao seu grupo de simetrias correspondem pavimentações todas semelhantes a ela.
Destas pavimentações periódicas compostas por ladrilhos poligonais regulares em que cada lado de um polígono é comum a dois polígonos e cada vértice é vértice de pelo menos três polígonos, é interessante verificar como se relacionam ladrilhos, lados (ou arestas) e vértices.
Será que tomados dois vértices quaisquer de uma pavimentação, alguma das simetrias da pavimentação transforma um no outro? E que pavimentação terá simetria que transforma um lado noutro qualquer? Ou em que pavimentação haverá simetria que transforme um ladrilho noutro qualquer?
Será que tomados dois vértices quaisquer de uma pavimentação, alguma das simetrias da pavimentação transforma um no outro? E que pavimentação terá simetria que transforma um lado noutro qualquer? Ou em que pavimentação haverá simetria que transforme um ladrilho noutro qualquer?

Apresentam-se a seguir duas ilustrações dinâmicas. Na primeira, tomados quaisquer dois vértices (dois lados, dois ladrilhos), há uma simetria da pavimentação que leva de um para o outro.





Na segunda já não se pode verificar tanto até porque não há um só tipo de ladrilhos ou os ladrilhos não são todos congruentes. Mas nessa segunda ilustração tomados quaisquer dois vértices (dois lados, dois ladrilhos congruentes) uma das simetrias da pavimentação que faz corresponder a um deles o outro.

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Parece-nos imediato que estas propriedades se verificam em qualquer das 3 pavimentações regulares. Mas será que tal se passa nas semi-regulares?

1. Numa pavimentação semi-regular, dados dois vértices quaisquer há uma simetria da pavimentação que transforma um no outro daqueles vértices. (?)
   
2. Há uma única pavimentação semi-regular, em que há sempre uma simetria a transformar uma aresta em qualquer outra. Qual é?
   
3. Em qualquer pavimentação semi-regular, para quaisquer dois ladrilhos congruentes há uma simetria da pavimentação que transforme um no outro?
   

Ilustrações de todas as pavimentações regulares e semi-regulares

Publicamos ilustrações estáticas das pavimentações regulares e semi-regulares, feitas a partir das construções dinâmicas que foram sendo apresentadas nas diversas entradas sobre pavimentações.

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Pavimentações regulares

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3.3.3.3.3.3

4.4.4.4

6.6.6

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Pavimentações semi-regulares ou arquimedianas

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3.3.3.3.6	3.3.3.4.4	3.3.4.3.4
3.6.3.6	3.4.6.4	3.12.12
4.6.12	4.8.8

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Resumindo:
A menos de semelhanças, há exatamente onze pavimentações cujos ladrilhos são polígonos regulares e em que todos os vértices são do mesmo tipo. (Teorema de Kepler).

As pavimentações do plano construídas até agora são periódicas (admitindo simetrias de translação associadas a dois vetores independentes). Dada uma pavimentação regular ou semi-regular, ao seu grupo de simetrias correspondem pavimentações todas semelhantes a ela.

Nota: Seguimos Martin, G. Transformation Geometry: and introduction to symmetry. Springer-Verlag, N.Y: 1982, sem grandes preocupações de terminologia. As mesmas (ou parte delas) construções estão ilustradas no livro de Eduardo Veloso (Geometria) e na brochura de "Geometria e Medida no Ensino Básico" de Ana Breda (e outros) editada pela DGIDC/ME, em 2011. Os professores seguirão a terminologia dessa brochura, como é óbvio.

Pavimentações do plano com ladrilhos regulares: quadrados e octógonos, com vértices da mesma espécie

Nesta entrada, apresentamos pavimentações com ladrilhos regulares: quadrangulares e octangulares, sendo os vértices da espécie 4.8.8 ou, dito de outro modo, cada vértice é comum a um quadrado e a dois octógonos (1x90+2x135=360)

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Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho dos ladrilhos.

Pavimentações do plano com triângulos quadrados e hexágonos regulares e vértices todos da mesma espécie

Nesta entrada, apresentamos pavimentações com ladrilhos regulares, ambas com ladrilhos triangulares, quadrangulares e hexagonais. Cada vértice é vértice de um triângulo, de dois quadrado e de um hexágono (1x60+2x90+1x120=360).

Da primeira, todos os vértices são da mesma espécie e, vistos por uma determinada ordem circular, os polígonos aparecem sempre 3.4.6.4 (são do mesmo tipo).





Da segunda, todos os vértices são da mesma espécie, mas, vistos por uma determinada ordem circular, uns são 3.4.4.6 e outros 3.4.6.4. Neste caso, todos os vértices são da mesma espécie, não sendo do mesmo tipo.

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Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho dos ladrilhos.

Pavimentações do plano com triângulos, quadrados, hexágonos e dodecágonos com vértice da mesma espécie

Nesta entrada, apresentamos pavimentações de ladrilhos regulares, uma com ladrilhos triangulares e dodecagonais e outra com ladrilhos quadrangulares, hexagonais e dodecagonais regulares e em que dois ladrilhos ou não se intersetam ou quando se intersetam o fazem num vértice comum ou num lado comum.

Na primeira das pavimentações, cada vértice é vértice de um triângulo e de dois dodecágonos (1x60+2x150=360) ou seja todos os vértices são da espécie 3.12.12.





Na segunda, todos os vértices são da espécie 4.6.12, o que quer dizer que, ligados a cada vértice há um quadrado, um hexágono e um dodecágono(1x90+1x120+1x150 =360).

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Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho dos ladrilhos.

Pavimentações do plano por triângulos e quadrados com vértices da mesma espécie

Apresentamos, nesta entrada, pavimentações com ladrilhos triangulares e quadrilaterais regulares e em que dois ladrilhos ou não se intersetam ou quando se intersetam o fazem num vértice comum ou num lado comum. Nestas pavimentações, cada vértice é vértice de três triângulos e de dois quadrados (3x60+2x90=360).

Na primeira, todos os vértices são da espécie 3.3.3.4.4.





Distingue-se a segunda da primeira, vendo que todos os vértices são da espécie 3.3.4.3.4, o que se pode perceber observando as ilustrações.

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Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho dos ladrilhos.

Pavimentações do plano por triângulos e hexágonos regulares com vértices da mesma espécie

Apresentamos, nesta entrada, pavimentações com ladrilhos regulares, triangulares e hexágonos e em que dois ladrilhos ou não se intersetam ou quando se intersetam o fazem num vértice comum ou num lado comum.

Na primeira destas pavimentações, cada vértice é vértice de dois triângulos e de dois hexágonos, e é por isso que dizemos que todos os vértices são da mesma espécie 3.6.3.6 (2x60+2x120=360).





Na segunda, cada vértice é vértice de 4 triângulos e 1 hexágono, sendo todos os vértices da mesma espécie 3.3.3.3.6 (4x60+1x120=360).

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Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho dos ladrilhos.

Pavimentações do plano por polígonos regulares (triângulos e hexágonos)

Apresentamos, nesta entrada, pavimentações com ladrilhos regulares: triângulos e hexágonos e em que dois ladrilhos ou não se intersetam ou quando se intersetam o fazem num vértice comum ou num lado comum.

Na primeira destas pavimentações, há vértices rodeados por dois triângulos e de dois hexágonos (2x60+2x120=360) e vértices rodeados por 3 hexágonos (3x120=360).





Na segunda, cada um dos vértices está rodeado por dois triângulos e dois hexágonos (2x60+2x120=360).
Ter vértices da mesma espécie é uma propriedade de que gozam infinitas pavimentações e é mantida sempre que o padrão é obtido por translações, aplicadas a um friso, associadas a um dado vetor independente daquele que está associado ao friso.

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Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho e a orientação dos ladrilhos.

Pavimentações do plano por polígonos regulares sem lados comuns

Apresentámos inicialmente pavimentações regulares com um só tipo de ladrilho poligonal e em que dois ladrilhos ou não se intersetam ou quando se intersetam o fazem num vértice comum ou num lado comum.

Apresentamos, nesta entrada, pavimentações em que os ladrilhos são polígonos regulares mas em que acontece não haver dois com lados comuns.


No caso, geradas usando meias voltas,

• uma com triângulos equiláteros e hexágonos regulares (pgg)
  
  
  
  
  
  
• e outra com 2 quadrados diferentes(p4g)
  
  
  
  
  
  

Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho e a orientação dos ladrilhos.

o geometrias está a entrar no oitavo ano...

... de grandes festas. BOAS FESTAS.

Pavimentações do plano por polígonos irregulares

De entre as pavimentações apresentados em entradas anteriores, encontram-se vários exemplos de pavimentações, com um só tipo de ladrilhos, uns côncavos outros convexos. De entre estes últimos, destacamos os retângulos que pavimentam. Pavimentações como essa de ladrilhos retangulares tomam o nome de pavimentações irregulares.

Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho e a orientação dos ladrilhos.
Qualquer triângulo pavimenta o plano. br>




E também um quadrilátero qualquer pavimenta o plano (padrão p2) como pode ver-se.




Já o hexágono irregular pavimenta se tiver um centro de simetria (de novo, padrão p2).
Deslocar o po







Apresenta-se ainda um caso notável de pavimentação do plano conhecida por pavimentação "Cairo". Pentágonos equiláteros não regulares pavimentam o plano, já que quatro desses pentágonos formam um hexágono irregular com um centro de simetria.

Pavimentações regulares de polígono regulares iguais

De entre as pavimentações apresentados nas entradas precedentes, encontram-se vários exemplos de pavimentações (com um só tipo de ladrilhos) de entre os quais destacamos os quadrados (p4m) que pavimentam. Pavimentações como essa de ladrilhos quadrados tomam o nome de pavimentações regulares em que cada vértice é vértice de 4 ângulos retos (4x90=360) ou de 4 quadrados (todos os vértices são da mesma espécie 4.4.4.4).
Nestas pavimentações, podemos chamar vértices da pavimentação aos vértices dos ladrilhos.
Claro que um triângulo equilátero (e equiangular) pavimenta o plano. Cada vértice de um ladrilho (triangular regular) é vértice de seis ladrilhos ou vértice de 6 ângulos de 60 graus (6x60=360) ou vértice de 6 triângulos regulares (todos os vértices são da mesma espécie 3.3.3.3.3.3)

Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho e a orientação dos ladrilhos.

Também o hexágono regular pavimenta o plano. Cada vértice de um ladrilho hexagonal regular é vértice de 3 ângulos de 120 graus (ângulo interno do hexágono regular)(3x120=360) ou é vértice de 3 hexágonos regulares (todos os vértices são da mesma espécie 6.6.6) .
Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho e a orientação dos ladrilhos.



O mesmo não podemos dizer do pentágono regular que tem um ângulo interno de 72 graus e 360 não é múltiplo de 72.

Simetrias dos padrões do plano, simetrias das pavimentações - rotações de grau 6

Apresentamos ilustrações dos grupos que admitem simetrias de rotação de grau 6 (e consequentes simetrias de rotação de grau 2 e 3).

GRAU 6

p6 Sem eixos de simetria

p6m Com eixos de simetria

Simetrias dos padrões do plano, simetrias das pavimentações - rotações de grau 3

Apresentamos ilustrações dos grupos que admitem simetrias de rotação de grau 3 apenas.

GRAU 3

p3 Sem eixos de simetria
p3m1 Todos os centros de grau 3 estão em eixos de simetria	p31m Um eixo de simetria não passa por quaisquer dos centros de grau 3

Simetrias dos padrões do plano, simetrias das pavimentações - rotações de grau 4

Apresentamos ilustrações dos grupos que só admitem simetrias de rotação de grau 4 (e consequentes simetrias de meia volta, compostas de rotações de 90º).

GRAU 4

p4 Sem eixos de simetria
p4m Um eixo de simetria passando por centros de grau 4	p4g Um eixo de simetria não passa por quaisquer dos centros de grau 4

Simetrias dos padrões do plano, simetrias das pavimentações - rotações de grau ≤ 2

Apresentamos ilustrações dos grupos que não admitem simetrias de rotação de grau superior a 2.

SÓ CENTROS DE GRAU 2

p2 Sem simetrias de reflexão ou reflexão deslizante	cmm Alguns dos centros das meias voltas não estão sobre eixos de simetria
pmm Todos dos centros das meias voltas estão sobre eixos de simetria	pmg Os eixos de simetria são todos paralelos
	pgg Não há eixos de simetria. Há simetrias de reflexão deslizante

Grupos de simetrias dos padrões do plano e simetrias das pavimentações- GRAU 1

Como podemos facilmente verificar uma parte das ilustrações dos grupos de simetrias do plano apresentadas como padrões de papel de parede ilustram diferentes pavimentações do plano (para a definição feita na entrada anterior). Para além de outras, assim acontece com as últimas ilustrações dos exercícios de identificação (tendo F como motivo mínimo), publicados recentemente. Em Martin, G. Transformation Geometry: and introduction to symmetry. Springer-Verlag, N.Y: 1982, o estudo dos grupos de simetria do plano (que antecede o estudo das pavimentações) é concluído com uma síntese da tabela classificativa dos padrões do plano, usando como ilustração de cada grupo uma pavimentação do plano.
Pensamos que, para a classificação dos 17 padrões do plano pode ser uma grande ajuda rever a tabela algorítmica acompanhada destas ilustrações. E é um bom começo para estudar pavimentações poligonais do plano. Como se sabe, estas classificações foram feitas tomando por base que um padrão do plano tem sempre no seu grupo de simetrias, translações associadas a dois vetores u e v independentes ou associadas a m.u+n.v, com m e n inteiros e as restrições no que respeita às simetrias de rotação. A rotação de grau 1, identidade - rotação de 360.k graus com k inteiro, está sempre presente em todos os padrões, mas, para além dessa,m grupos de simetria de padrões do plano, só são admissíveis rotações de grau 2 (180.k ou meias voltas), de grau 3 (120.k), de grau 4 (45.k) e as de grau 6 (60.k).

Começamos com as ilustrações dos grupos que não admitem rotações de grau superior a 1. Assim:

ROTAÇOES DE GRAU 1

p1 Sem simetrias de reflexão ou reflexão deslizante	cm Com simetrias de reflexão e reflexão deslizante (rd); alguns dos eixos de (rd) não são espelhos
pm Com simetrias de reflexão e reflexão deslizante (rd); todos eixos de (rd) são espelhos	pg Sem simetrias de reflexão, mas com simetrias de reflexão deslizante.

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Voltamos a lembrar que em todos os grupos de simetrias dos padrões dos planos há simetrias de translação...

Pavimentação com regiões poligonais

Chamamos região poligonal (referida como polígono) a uma região contendo a sua própria fronteira, sendo esta uma linha poligonal fechada ou conjunto de segmentos de reta em que cada um dos extremos de um dos seus segmentos é extremo de outro segmento do conjunto. Dizemos que um conjunto P de polígonos {P_n: n ∈N} é uma pavimentação do plano quando, para cada ponto do plano existe pelo menos um polígono de P que o contém e, no caso de um ponto pertencer a mais que um polígono, está sobre a fronteira comum aos polígonos que o contêm. Dito de outro modo, a reunião dos polígonos de P é o plano e são vazias as interseções de interiores de polígonos de P. Chamamos interior de um polígono P_n ao conjunto dos seus pontos que não estão na fronteira.


As próximas publicações tratam de pavimentações poligonais. Natural é que, numa pavimentação, chamemos ladrilhos aos polígonos que a compõem e que as classificações (e a terminologia) associadas aos polígonos sejam usadas no estudo das pavimentações.

Exercícios de identificação (11)

(exercícios propostos em Martin, G. Transformation Geometry: and introduction to symmetry. Springer-Verlag, N.Y: 1982)
Pensamos ter resolvido bem estes exercícios, mas, ... quem sabe?

Exercícios de identificação (10)

(exercícios propostos em Martin, G. Transformation Geometry: and introduction to symmetry. Springer-Verlag, N.Y: 1982)

Exercícios de identificação (9)

(exercícios propostos em Martin, G. Transformation Geometry: and introduction to symmetry. Springer-Verlag, N.Y: 1982)

Exercícios de identificação (8)

(exercícios propostos em Martin, G. Transformation Geometry: and introduction to symmetry. Springer-Verlag, N.Y: 1982)

Exercícios de identificação (7)

Exercícios de identificação (6)

Exercícios de identificação (5)

Exercício de identificação (5)

Exercícios de identificação (3)

Exercícios de identificação (2)

Exercícios de identificação (1)

Vamos apresentar algumas ilustrações e esperar que consigam identificar as simetrias dos grupos a elas associados, bem como a classificação do padrão em jogo.

Simetrias do plano - webibliografia

Algumas fontes sobre isometrias e simetrias do plano

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1. Algumas ligações úteis
1. Symmetries of Culture- Donald Crowe
2. http://euler.slu.edu/escher/index.php/Wallpaper_Patterns#Wallpaper_Patterns
3. http://www.oswego.edu/~baloglou/103/seventeen.html
4. http://clowder.net/hop/17walppr/17walppr.html
5. Atractor - Simetrias
6. Eduardo Veloso - GSP
7. Eduardo Veloso
8. Lopes, Isabel Cristina da Silva; GRUPOS CRISTALOGRÁFICOS E ORBIFOLDS EUCLIDIANOS BIDIMENSIONAIS. Dissertação de Mestrado (usar pesquisa simples pelo título). Porto:2009
9. Brochura de Geometria NPMEB
10. Bibliografia sobre transformações geométricas e Simetria APM/ESE Lisboa
    

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2. Alguns livros
1. Martin,G.E. Transformatio Geometry - An. Introduction to Symmetry A.M.S.Springer- Verlag, N.York:1982
2. Veloso, E. Geometria: Temas actuais ME / IIE, Lisboa:1998
   
3. Bellingeri P., Dedò M., Di Sieno S., Turrini C. O ritmo das formas (Trad. Maria Pires de Carvalho) Atractor. Porto:
   
4. Gómez, R P., Vivo La Alhanbra,Proyecto Sur de Ediciones, S.AL., Granada:1990.
   
5. Farmer, D.W. Groups and Symmetry - A guide to discovering Mathematics American Mathematical Society. Providence:1996
   
6. Coxeter, H.M.S; Moser, W.O.TJ. Generators and Relations for Discrete Groups Springer-Verlag, NY:1979
7. Washburn, D.; Crowe, D. Symmetries of culture: Theory and Practice of Plane Pattern Analysis University of Washington Press.Seatle: 1988
   
8. Garfunkel, S. (coord) For all practical purposes(3rd ed.) COMAP.Freeman. NY:1988
   

Os 17 padrões do plano: uma classificação muito usada

Há 17 padrões cristalográficos do plano. Em cada uma das 17 entradas (artigos) anteriores ilustrámos cada um deles com construções dinâmicas feitas em Geogebra, aplicação (de uso livre e livre de custos) recomendada no programa do ensino básico de matemática.

Esta entrada tem por objetivo único apresentar uma lista (tabela classificativa) que nos permita enumerar (distinguindo cada um) todos os 17 tipos. Assim:

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Se o maior grau das simetrias de rotação do padrão do plano é:

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• 1 [360º - identidade(1)]
  
  • com simetrias de reflexão
    
    • e com simetrias de reflexão deslizante : cm
    • e sem simetrias de reflexão deslizante : pm
  • sem simetrias de reflexão
    
    • e com simetrias de reflexão deslizante: pg
    • e sem simetrias de reflexão deslizante : p1

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• 2 [180º - meia volta(2x180=360)]
  
  • com simetrias de reflexão
    
    • em duas direções
      
      • e com todos os centros de rotação sobre eixos de reflexão: pmm
        
      • nem todos os centros de rotação sobre eixos de reflexão: cmm
        
    • numa só direção: pmg
  • sem simetrias de reflexão
    
    • e com simetrias de reflexão deslizante: pgg
      
    • e sem simetrias de reflexão deslizante : p2
      

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• 3 [120º (3x120=360)]
  
  • com simetrias de reflexão
    
    • e com todos os centros de rotação sobre eixos de reflexão: p3m1
      
    • e nem todos os centros de rotação sobre eixos de reflexão: p31m
      
  • sem simetrias de reflexão: p3
    

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• 4 [90º (4x90=360)]
  
  • com simetrias de reflexão
    
    • com eixos de reflexão a intersetar-se a 45º:p4m
      
    • sem eixos de reflexão a intersetar-se a 45º: p4g
      
  • sem simetrias de reflexão: p4
    

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• 6 [60º (6x60=360)]
  
  • com simetrias de reflexão: p6m
    
  • sem simetrias de reflexão: p6
    

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Para além das simetrias de translação, simetrias de reflexão, de reflexão deslizante e de meia volta

Na ilustração que se segue, mostramos a região fundamental (com todos os seus elementos) do trabalho para a nossa última das ilustrações dos 17 padrões cristalográficos do plano.



Neste caso, o motivo mínimo é o triângulo com um vértice assinalado a verde e todos os tipos de simetrias do padrão estão no losango cinzento: as diagonais a cheio são os espelhos perpendiculares, os lados não aparecem como tal e não têm qualquer papel, para além de termos tomado os vetores (um a verde -u- outro a vermelho-v-) das translações com as suas direçoes e comprimento. Os pontos a cheio sobre os espelhos são centros de meias voltas (compostas de reflexões de eixos perpendiculares). Os segmentos a tracejado correspondem a reflexões deslizantes (composta de .5(u+v) com o espelho vertical e de .5(u-v) com o eixo horizontal) e os pontos abertos sobre estes segmentos tracejados são centros de meias voltas que não estão sobre espelhos e resultam da composição de reflexões deslizantes de eixos perpendiculares. Claro que também a identidade está sempre presente, embora já nem nos referiramos a ela.
Fica assim bem claro que para a produção da ilustração deste grupo de simetrias do plano não usámos mais que o motivo mínimo e como transformações geradoras as reflexões relativas às diagonais e as translações associadas aos vetores combinações de u e v. Podia ser de outro modo, mas realçamos os dois espelhos mm que vão aparecer na classificação.
Com os seus espelhos perpendiculares e translações o padrão pmm é muito parecido, mas então não partimos de uma região fundamental rômbica e é, por isso, radicalmente diferente deste. Todos os centros das meias voltas em pmm estão sobre eixos de reflexão.
Esclarecemos assim que a (unidade mínima ou) região fundamental e o motivo mínimo determinam cada um dos padrões do plano (ou grupos de simetrias planas) que têm em comum a existência de translações associadas a dois vetores independentes.
Na ilustração dinâmica que apresentamos a seguir pode reproduzir passo a passo a construção, clicando sobre as teclas $>>$ para andar para a frente ou $<<$ para andar para trás que aparecem ao fundo. No fim terá interesse movimentar o motivo mínimo para obter diferentes (con)figurações(?), o que é muito divertido. Com as cautelas ou a compreensão sobre as alterações que provoca e as nossas quase óbvias limitações de construção, pode mudar a região mínima e ver o que acontece.... A classificação deste grupo de simetria é cmm

Para além das simetrias de translação, simetrias de reflexão deslizante e de reflexão

No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração de um grupo de simetrias do plano em que, para além de simetrias de translação associadas a combinações lineares de dois vetores (v e w) de diferentes direções e de comprimentos iguais - losango, usámos a reflexão relativa à diagonal menor e uma reflexão deslizante com a mesma direção da diagonal menor (no caso paralela tirada pelos pontos médios dos lados do losango).
O motivo mínimo é

Sobre o papel de parede

• podemos ver um ponto verde que lhe permite obter diversas ilustrações do mesmo padrão (deslocando só o motivo mínimo).
• um botão clik que ao ser clicado, mostra vetores das translações sobre os lados do losango, o vetor a amarelo tracejado associado à reflexão deslizante e, a cheio, o espelho da reflexão todos eles associados a simetrias do padrão plano.

Repare-se que o vetor u da reflexão deslizante não tem a direção de v ou w, embora tenha a direção de alguma das combinações de v e w, v-w. E também que a reflexão deslizante tem eixo paralelo ao do espelho da reflexão. Se os eixos fossem concorrentes, as compostas seriam rotações. Este padrão não admite pois simetrias de rotação (para além da trivial identidade). Os outros padrões do plano que não admitiam simetrias de rotação já foram todos ilustrados em entradas sucessivas. Foram eles p1, pm e pg. Este é um caso diferente destes e, tendo simetrias de reflexão (m) e de reflexão deslizante (g) com eixos paralelos é completamente diferente de pmg que, ainda que podendo ser gerado pelas mesmas isometrias, admite simetrias de rotação. Este é classificado classificado diferentemente como

cm


Parece-nos que a ilustração mais adequada para este diferente tipo de papel de parede reside na construção do telhado tendo para motivo mínimo a meia telha

que apresentamos a seguir e em que, usando os botões de navegação ao fundo, pode seguir o processo utilizado

Além das simetrias por translação, simetrias por rotação de 120, reflexões e reflexões deslizantes

No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração de um grupo de simetrias do plano em que, para além de simetrias de translação associadas a combinações lineares de dois vetores de diferentes direções e de comprimentos iguais - losango de dois triângulos equiláteros, usámos reflexões relativas às mediatrizes dos lados dos triângulos e rotações de $120^o$ centradas no centro de um dos triângulos equiláteros (sobre o motivo mínimo). Assim gerado, ficamos com outras simetrias além dessas: simetrias de reflexão, de rotações de $120^o$ reflexões deslizantes
O motivo mínimo é

Sobre o papel de parede

• podemos ver um ponto verde que lhe permite obter diversas ilustrações do mesmo padrão (deslocando só o motivo mínimo).
• um botão que ao ser clicado, mostra vetores, exemplos dos centros de rotação de 120, eixos de reflexão a cheio e de reflexo deslizante a tracejado, todos eles associados a simetrias do padrão plano.

À semelhança de p3 em que 3 se referia âs rotações de amplitude $120^o$, a classificação deste padrão pode ser

p3m1
em que o m da 3ª posição se refere à simetria de reflexão

Além das simetrias por translação, simetrias por rotação de 120 e 180, reflexões e reflexões deslizantes

No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração de um grupo de simetrias do plano em que, para além de simetrias de translação associadas a combinações lineares de dois vetores de diferentes direções e de comprimentos iguais - losango de dois triângulos equiláteros, usámos rotações de $120^o$ com centro no centro de um dos triângulos equiláteros e posterior reflexão relativa a uma das diagonais - lado comum aos dois tringulos. Assim gerado, ficamos com outras simetrias além dessas: simetrias de reflexão, de rotações de $120^o$ e reflexões deslizantes.
O motivo mínimo é

Sobre o papel de parede

• podemos ver um ponto verde que permite obter diversas ilustrações do mesmo padrão (deslocando só o motivo mínimo).
• um botão que ao ser clicado, mostra vetores, exemplos dos centros de rotação de 120, eixos de reflexão a cheio e de reflexo deslizante a tracejado, todos eles associados a simetrias do padrão plano.

À semelhança de p3 em que 3 se referia âs rotações de amplitude $120^o$, a classificação deste padrão pode ser

p31m
em que o m da 4ª posição se refere à simetria de reflexão