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28.6.14

Resolver problema de construção, usando análise e síntese (4)

Problema:     Construir um triângulo isósceles de que se conhecem o circulo circunscrito e a soma da base com a altura correspondente.
Th. Caronnet, Exércices de Géométrie. Vuibert. Paris:1947

Para obter a solução por construção, temos de fazer a análise do problema a partir do problema como se ele estivesse resolvido.
  1. Suponhamos o problema resolvido: Teremos um triângulo isósceles \;[ABC]\; (AB=AC),\; inscrito no círculo circunscrito \;(O)\; dado e tal que a altura \;AD=h\; e a base \;BC=a\; têm soma dada \;s=a+h.\;
    • Num triângulo isósceles a altura \;AD\; bisseta a base \;BC,\; por isso passa pelo circuncentro \;O\;. Podemos escrever \;AD+2BD=s.\; Quando prolongamos \;AD\; até \;E\; tal que \;DE=BC,\; temos \;AE=s\; e \;2BD=DE,\; donde \;\displaystyle \frac{BD}{BE} =\frac{1}{2}.
    • Se prolongarmos \;EB\; até encontrar no ponto \;F\; a tangente a \;(O)\; tirada por \;A\;, temos um novo triângulo \;[EAF]\;, retângulo em \;A\;, que é obviamente semelhante ao triângulo \;[EDB]: \;\;\; \displaystyle \frac{AF}{AE}=\frac{DB}{DE} = \frac{1}{2};\;\; \;\;AE=s\; e \;\displaystyle AF=\frac{s}{2}.\;
A construção (sintética, a seguir) é sugerida pelas relações descobertas na análise. Pode segui-la fazendo variar os valores de \;n\; no cursor \;\fbox{n=1,..., 6}.\;

© geometrias, 28 de Junho de 2014, Criado com GeoGebra


  1. É dado um segmento de comprimento \;s=a+h\; e uma circunferência de centro \;O\; circunscrita do triângulo procurado.
  2. Assim, começamos por tomar para vértice \;A\; um ponto qualquer da circunferência dada e traçamos o diâmetro que passa por \;A\; e contém a altura \;h\; relativa a \;a.\;.
  3. De acordo com o sugerido na análise feita, interessa determinar o ponto \;E\;, desse diâmetro tal que \;AE=a+h\;: \;AO.(A,s).\;
  4. E, em seguida, determinamos o ponto \;F\; da tangente a \;(O)\; tirada por \;A\; e à distância \;\displaystyle \frac{s}{2}\; de \;A.\;
  5. A reta \;EF\; interseta a circunscrita \;(O\;)\;, para os dados da nosso problema, por exemplo, \;B\;. A perpendicular a \;AE\; (ou paralela a \;AF\;) interseta \;(O)\; num ponto \;C\;, para além de \;B\; e \;AE\; em \;D\;. O triângulo \;[ABC]\; de altura \;AD\; é uma das soluções do problema: Como, por construção, \;O \in AE,\; e \;AE\perp BC, \; então \;AD=DB\;. Assim fica provado que \;[ABC]\; está inscrito em \;(O)\; e é isósceles. □
  6. Outra solução, será o triângulo \;[AB_1C_1]\; de altura \;AD_1\; e base \;B_1C_1\;
Para cada \;A\; de \;(O)\; haverá duas soluções, para os dados que se mostram inicialmente. Fazendo variar o comprimento do segmento \;s\; pode ver em que condições há 0, 1 ou 2 soluções para o problema
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26.6.14

Resolver problema de construção, usando análise e síntese (3)

Problema:     Num dado triângulo, traçar uma linha paralela à base de tal forma que se se traçarem a partir dos seus extremos linhas paralelas aos lados até cortarem a base, somadas meçam o dobro que a linha inscrita. (31/12/1881)
Charles Lutwidge Dodgson, Um conto enredado e outros problemas de almofada. RBA: 2008

Para obter a solução por construção, temos de fazer a análise do problema a partir do problema como se ele estivesse resolvido. (ilustrada, na figura, para os valores \;2\;de \;n\; no cursor \;\fbox{n=1,..., 4}.\;
  1. São dados \;A, \;B, \;C\;. Resolver o problema consiste em determinar, por construção, pontos \;C'\; sobre \;AB\; e \;B'\; sobre \;AC\;, de tal forma que \;B'C' \parallel BC \wedge C'E+B'D = 2\times B'C',\; sendo \;D, \;E\; pontos de \;BC\; e \;B'D \parallel AB\; e \;C'E \parallel AC. \;
  2. Supor que o problema está resolvido é supor que \;B'C'\; está situada de tal forma que \;B'D\; e \;C'E\;, paralelas aos lados, somados dêem \;2B'C'.
    De acordo com a proposição 34 do Livro I dos Elementos de Euclides
    \;B'D =C'B\; e \;C'E=B'C\; e portanto \;B'C + C'B = 2B'C'.
    E há um ponto \;L\; de \;B'C'\; que o divide em duas partes sendo uma igual a metade de \;B'C\; e outra igual a metade de \;C'B.\; Se deteminarmos este ponto \;L,\; por ele passa uma única paralela a \;BC...

    3. A construção (sintética, a seguir) está ilustrada para os valores \;3,\; 4\; de \;n\; no cursor \;\fbox{n=1,..., 4}.\;

    © geometrias, 25 de Junho de 2014, Criado com GeoGebra


    Considerando a decomposição (análise) do problema antes feita, apresentamos, agora sinteticamente, os passos da determinação da reta \;B'C'\; .
  3. Para determinar o ponto \;L\; sobre \; B'C'\; paralela a \;BC,\; de tal modo que \;2LC'=C'B\; e \;2LB'=B'C \; (i.e. \;2(LC'+LB')= 2C'B' =C'B+B'C = B'D+C'E\; ), podemos usar um ponto \;F\; qualquer de \;AB\; (ou de \;AC\;) e por ele tirar uma paralela a \;BC.\;
  4. Depois é só tomar \;G\; sobre essa paralela de tal modo que \;2FG =FB\; e \;L\; estará sobre a reta \;BG.\; Claro que, fazendo o mesmo para o lado \;AC,\; \;L\; estará sobre \;CK,\; estando \;K\; sobre uma paralela a \;BC\; tirada por um ponto \;H\; de \;AC\; sendo \;2KH=HC.\; \;L\; é único \;CK.BG \; e \;B'C'\; é a única paralela a \;BC \; tirada por \; L
  5. São semelhantes os triângulos \;[FBG]\; e \;[C'BL]\; e os lados opostos ao ângulo \;\hat{B}\; comum são homólogos e \;BC' = 2C'L,\; já que por construção \;FB=2FG.\; Do mesmo modo, se mostra que \;2LB'=B'C\; □
O ponto \;F\; pode tomar as diversas posições sobre \;AB.\; Verá que a variação de \;F\; sobre \;AB\; não afeta a posição de \;L.\; No caso da nossa construção, quando \;F\; toma a posição de \;C',\; K\; toma a posição de \;B',\; \;G\; e \;K\; coincidem com \;L.\; Os pares de arcos iguais (centrados em \;F\; e \;M,\; e em \;H\; e \;N)   acompanham a deslocação de \;F\; e ilustram as relações estabelecidas.
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