Resolver problema de construção, usando análise e síntese (3)

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Problema:     Num dado triângulo, traçar uma linha paralela à base de tal forma que se se traçarem a partir dos seus extremos linhas paralelas aos lados até cortarem a base, somadas meçam o dobro que a linha inscrita. (31/12/1881)

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Charles Lutwidge Dodgson, Um conto enredado e outros problemas de almofada. RBA: 2008

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Para obter a solução por construção, temos de fazer a análise do problema a partir do problema como se ele estivesse resolvido. (ilustrada, na figura, para os valores $\;2\;$de $\;n\;$ no cursor $\;\fbox{n=1,..., 4}.\;$

1. São dados $\;A, \;B, \;C\;$. Resolver o problema consiste em determinar, por construção, pontos $\;C'\;$ sobre $\;AB\;$ e $\;B'\;$ sobre $\;AC\;$, de tal forma que $\;B'C' \parallel BC \wedge C'E+B'D = 2\times B'C',\;$ sendo $\;D, \;E\;$ pontos de $\;BC\;$ e $\;B'D \parallel AB\;$ e $\;C'E \parallel AC. \;$
2. Supor que o problema está resolvido é supor que $\;B'C'\;$ está situada de tal forma que $\;B'D\;$ e $\;C'E\;$, paralelas aos lados, somados dêem $\;2B'C'$.
   De acordo com a proposição 34 do Livro I dos Elementos de Euclides
   $\;B'D =C'B\;$ e $\;C'E=B'C\;$ e portanto $\;B'C + C'B = 2B'C'$.
   E há um ponto $\;L\;$ de $\;B'C'\;$ que o divide em duas partes sendo uma igual a metade de $\;B'C\;$ e outra igual a metade de $\;C'B.\;$ Se deteminarmos este ponto $\;L,\;$ por ele passa uma única paralela a $\;BC$...

A construção (sintética, a seguir) está ilustrada para os valores $\;3,\; 4\;$ de $\;n\;$ no cursor $\;\fbox{n=1,..., 4}.\;$



© geometrias, 25 de Junho de 2014, Criado com GeoGebra

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Considerando a decomposição (análise) do problema antes feita, apresentamos, agora sinteticamente, os passos da determinação da reta $\;B'C'\;$ .
3. Para determinar o ponto $\;L\;$ sobre $\; B'C'\;$ paralela a $\;BC,\;$ de tal modo que $\;2LC'=C'B\;$ e $\;2LB'=B'C \;$ (i.e. $\;2(LC'+LB')= 2C'B' =C'B+B'C = B'D+C'E\;$ ), podemos usar um ponto $\;F\;$ qualquer de $\;AB\;$ (ou de $\;AC\;$) e por ele tirar uma paralela a $\;BC.\;$
4. Depois é só tomar $\;G\;$ sobre essa paralela de tal modo que $\;2FG =FB\;$ e $\;L\;$ estará sobre a reta $\;BG.\;$ Claro que, fazendo o mesmo para o lado $\;AC,\;$ $\;L\;$ estará sobre $\;CK,\;$ estando $\;K\;$ sobre uma paralela a $\;BC\;$ tirada por um ponto $\;H\;$ de $\;AC\;$ sendo $\;2KH=HC.\;$ $\;L\;$ é único $\;CK.BG \;$ e $\;B'C'\;$ é a única paralela a $\;BC \;$ tirada por $\; L$
5. São semelhantes os triângulos $\;[FBG]\;$ e $\;[C'BL]\;$ e os lados opostos ao ângulo $\;\hat{B}\;$ comum são homólogos e $\;BC' = 2C'L,\;$ já que por construção $\;FB=2FG.\;$ Do mesmo modo, se mostra que $\;2LB'=B'C\;$ □

O ponto $\;F\;$ pode tomar as diversas posições sobre $\;AB.\;$ Verá que a variação de $\;F\;$ sobre $\;AB\;$ não afeta a posição de $\;L.\;$ No caso da nossa construção, quando $\;F\;$ toma a posição de $\;C',\;$ $K\;$ toma a posição de $\;B',\;$ $\;G\;$ e $\;K\;$ coincidem com $\;L.\;$ Os pares de arcos iguais (centrados em $\;F\;$ e $\;M,\;$ e em $\;H\;$ e $\;N$)   acompanham a deslocação de $\;F\;$ e ilustram as relações estabelecidas.

Resolver problemas de construção usando homotetia

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Problema:     Para uma dada circunferência $\;c\;$ e um ponto $\;O\;$ do seu interior, determinar a corda que passa pelo ponto $\;O\;$ e por ele fica dividida em dois segmentos cuja razão $\;k\;$ é dada.

A construção a seguir ilustra a resolução do problema recorrendo a transformações geométricas. Clicando no botão Resolução pode ver a solução do problema.

© geometrias, 20 de Maio de 2014, Criado com GeoGebra

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1. É dada a circunferência $\;c\;$ de centro em $\;C\;$ e o ponto $\;O\;$ no seu interior, para além da razão $\;k$.
2. A corda que procurarmos $\;XY\;$ que procuramos passa por $\;O\;$ e deve ser dividida por $\;O\;$ em dois segmentos $\;OX\;$ e $\;OY\;$, tais que $\displaystyle \frac{OX}{OY} = k$. Procuramos $\;X, \;Y$ sobre a circunferência $\;c\;$ que satisfaçam essa condição.
   Essa condição é equivalente a $\;X\;$ ser o correspondente (a imagem) de $\;Y\;$ (original) por uma homotetia - $\;{\cal{H}} (O, \;-k)\;$ -de centro $\;O\;$ e razão $\;-k\;$, já que $\;OX\;$ é de sentido contrário a $\;OY$.
   Para encontrar a posição de algum deles bastará, usando qualquer pontos de $\;c\;$ e o seu centro $\;C\;$, determinar a imagem $\;c' =(C')\;$ de $\;c =(C)\;$ pela homotetia $\;{\cal{H}} (O, \;-k)\;$.
3. No caso da nossa construção, os pontos de interseção $\;c.c'\;$ são $\;A\;$ e $\;B$. Tomemos $\;A\;$, para exemplo.
   Ao ponto $\;A\;$ de $\;c\;$ corresponde o ponto $\;A'\;$ de $\;c'\;$, tal que $\;\overrightarrow{OA'} = - k. \overrightarrow{OA}$.
   A reta $\;AA'\;$ passa por $\;O\;$ e corta a circunferência $\;c\;$ em $\;D$, para além de $\;A\;$ determinado na interseção $\;c.c'\;$. E como $\;D,\;O,\;A\;$ são colineares com $\;O\;$, $\;D \in c\;$ e $\;A \in c'\;$, $\;{\cal{H}} (O, \;-k) (D) = A\;$ e, em consequência, podemos concluir que: o segmento $\;AD\;$ é uma corda de $\;c\;$ a passar por $\;O\;$ para a qual $\;OA = k. DO$.
4. O mesmo se pode fazer com $\;B\;$, para concluir que
   o segmento $\;BE\;$ é uma corda de $\;c\;$ a passar por $\;O\;$ para a qual $\;OB = k. EO$.

Deslocando o cursor $\;\fbox{k=1, ..., 4}\;$ ao cimo à esquerda, pode constatar que, para haver soluções do problema, não pode tomar quaisquer valores para $\;k\;$.

Resolver problema de construção usando uma homotetia

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Problema:    De uma dada circunferência são dados dois raios. Determinar a corda da circunferência dada que trisseta aqueles dois raios

A construção a seguir ilustra a resolução do problema recorrendo a transformações geométricas e na resolução do problema da entrada anterior.

© geometrias, 16 de Maio de 2014, Criado com GeoGebra

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Deslocando o cursor $\;\fbox{k=1, ..., 6}\;$ ao fundo, pode seguir os passos da construção.

1. É dada a circunferência de centro em $\;O\;$ e seus dois raios $\;OR. \;OS\;$
2. Na nossa resolução, tomamos o segmento $\;RS\;$, prolongamos os raios e, por um ponto $\;A\;$ de $\;OR\;$, tiramos uma paralela a $\;RS\;$ que interseta $\;OS\;$ em $\;B\;$.
3. Sobre a reta $\;AB\;$ marcamos $\;C, \;D\;$ tais que $\;AB = AC =BD$
4. Consideramos a homotetia de centro $\;O\;$ definida por $\;C\longmapsto C'\;$, sendo $\;C'= (O, \;OR).OC $.
   Pela mesma homotetia, $\;D\longmapsto D'\;$, sendo $\;D'= (O, \;OR).OD $.
5. A corda $\;C'D'\;$ deve ser a solução do problema.
6. $\;C'D'\;$ é paralela a $\;CD\;$ e corta $\;OR\;$ e $\;OS\;$ respetivamente em $\;A'\;$ e $\;B'$, assim designados por serem correspondentes de $\;A\;$ e de $\;B\;$ pela homotetia de centro $\;O\;$ antes definida.
   A homotetia transforma segmentos iguais em segmentos iguais. Assim, $$\begin{matrix} CA &= &AB&=&BD\\ \downarrow&\Downarrow&\downarrow&\Downarrow&\downarrow\\ C'A'&=&A'B'&=&B'D' \end{matrix}$$ A corda $\;C'D'\;$ de $\;(O, \;OR)\;$ é trissetada pelos dois raios $\;OR, \;OS\;$