Resolver problema de construção, usando análise e síntese (3)

---

Problema:     Num dado triângulo, traçar uma linha paralela à base de tal forma que se se traçarem a partir dos seus extremos linhas paralelas aos lados até cortarem a base, somadas meçam o dobro que a linha inscrita. (31/12/1881)

---

Charles Lutwidge Dodgson, Um conto enredado e outros problemas de almofada. RBA: 2008

---

Para obter a solução por construção, temos de fazer a análise do problema a partir do problema como se ele estivesse resolvido. (ilustrada, na figura, para os valores $\;2\;$de $\;n\;$ no cursor $\;\fbox{n=1,..., 4}.\;$

1. São dados $\;A, \;B, \;C\;$. Resolver o problema consiste em determinar, por construção, pontos $\;C'\;$ sobre $\;AB\;$ e $\;B'\;$ sobre $\;AC\;$, de tal forma que $\;B'C' \parallel BC \wedge C'E+B'D = 2\times B'C',\;$ sendo $\;D, \;E\;$ pontos de $\;BC\;$ e $\;B'D \parallel AB\;$ e $\;C'E \parallel AC. \;$
2. Supor que o problema está resolvido é supor que $\;B'C'\;$ está situada de tal forma que $\;B'D\;$ e $\;C'E\;$, paralelas aos lados, somados dêem $\;2B'C'$.
   De acordo com a proposição 34 do Livro I dos Elementos de Euclides
   $\;B'D =C'B\;$ e $\;C'E=B'C\;$ e portanto $\;B'C + C'B = 2B'C'$.
   E há um ponto $\;L\;$ de $\;B'C'\;$ que o divide em duas partes sendo uma igual a metade de $\;B'C\;$ e outra igual a metade de $\;C'B.\;$ Se deteminarmos este ponto $\;L,\;$ por ele passa uma única paralela a $\;BC$...

A construção (sintética, a seguir) está ilustrada para os valores $\;3,\; 4\;$ de $\;n\;$ no cursor $\;\fbox{n=1,..., 4}.\;$



© geometrias, 25 de Junho de 2014, Criado com GeoGebra

---


Considerando a decomposição (análise) do problema antes feita, apresentamos, agora sinteticamente, os passos da determinação da reta $\;B'C'\;$ .
3. Para determinar o ponto $\;L\;$ sobre $\; B'C'\;$ paralela a $\;BC,\;$ de tal modo que $\;2LC'=C'B\;$ e $\;2LB'=B'C \;$ (i.e. $\;2(LC'+LB')= 2C'B' =C'B+B'C = B'D+C'E\;$ ), podemos usar um ponto $\;F\;$ qualquer de $\;AB\;$ (ou de $\;AC\;$) e por ele tirar uma paralela a $\;BC.\;$
4. Depois é só tomar $\;G\;$ sobre essa paralela de tal modo que $\;2FG =FB\;$ e $\;L\;$ estará sobre a reta $\;BG.\;$ Claro que, fazendo o mesmo para o lado $\;AC,\;$ $\;L\;$ estará sobre $\;CK,\;$ estando $\;K\;$ sobre uma paralela a $\;BC\;$ tirada por um ponto $\;H\;$ de $\;AC\;$ sendo $\;2KH=HC.\;$ $\;L\;$ é único $\;CK.BG \;$ e $\;B'C'\;$ é a única paralela a $\;BC \;$ tirada por $\; L$
5. São semelhantes os triângulos $\;[FBG]\;$ e $\;[C'BL]\;$ e os lados opostos ao ângulo $\;\hat{B}\;$ comum são homólogos e $\;BC' = 2C'L,\;$ já que por construção $\;FB=2FG.\;$ Do mesmo modo, se mostra que $\;2LB'=B'C\;$ □

O ponto $\;F\;$ pode tomar as diversas posições sobre $\;AB.\;$ Verá que a variação de $\;F\;$ sobre $\;AB\;$ não afeta a posição de $\;L.\;$ No caso da nossa construção, quando $\;F\;$ toma a posição de $\;C',\;$ $K\;$ toma a posição de $\;B',\;$ $\;G\;$ e $\;K\;$ coincidem com $\;L.\;$ Os pares de arcos iguais (centrados em $\;F\;$ e $\;M,\;$ e em $\;H\;$ e $\;N$)   acompanham a deslocação de $\;F\;$ e ilustram as relações estabelecidas.

Resolver problema de construção, usando análise e síntese (2)

---

Problema:     Traçar num dado triângulo um segmento paralelo à base de tal forma que, se a partir dos seus extremos se tirarem segmentos paralelos aos lados até à base, a sua soma seja igual ao primeiro segmento.

---

Charles Lutwidge Dodgson, Um conto enredado e outros problemas de almofada. RBA: 2008

---

São dados $\;A, \;B, \;C\;$. Resolver o problema consiste em determinar, por construção, pontos $\;D\;$ sobre $\;AB\;$ e $\;E\;$ sobre $\;AC\;$, de tal forma que $\;DE \parallel BC \wedge DE= DF+EG,\;$ sendo $\;F, \;G\;$ pontos de $\;BC\;$ e $\;EG \parallel DB\;$ e $\;DF \parallel EC. \;$
Considerando que, para obter a solução por construção, temos de fazer a análise do problema a partir do problema como se ele estivesse resolvido. (ilustrada, na figura, para os valores $\;1,\;2\;$de $\;n\;$ no cursor $\;\fbox{n=1,..., 4}.\;$

1. No problema resolvido temos os pontos dados $\;A, \;B, \;C\;$ e também os pontos $\;D\;$ sobre $\;AB\;$ e $\;E\;$ sobre $\;AC\;$, de tal forma que $\;DE \parallel BC \wedge DE= DF+EG,\;$ sendo $\;F, \;G\;$ pontos de $\;BC\;$ e $\;EG \parallel DB\;$ e $\;DF \parallel EC. \;$
2. $\;[DBGE]\;$ e $\;[DFCE]\;$ são paralelogramos, logo
   $\; DE= EG+DF = DB+EC \;$

A construção (sintética, a seguir) está ilustrada para os valores $\;3,\; 4\;$ de $\;n\;$ no cursor $\;\fbox{n=1,..., 4}.\;$



© geometrias, 22 de Junho de 2014, Criado com GeoGebra

---


Considerando a decomposição (análise) do problema antes feita, apresentamos, agora sinteticamente, os passos da determinação da reta $\;DE\;$ .
3. Começamos por traçar as bissetrizes dos ângulos $\;A\hat{B}C\;$ e $\;B\hat{C}A\;$ e designemos por $\;H\;$ o ponto em que elas se encontram (aliás, este ponto é o incentro do triângulo $\;[ABC]\;$, comum às suas três bissetrizes e equidistante dos seus três lados).
   Por $\;H\;$ tiramos a paralela a $\;BC\;$ que interseta os lados $\;AB\;$ e $\;AC\;$ respetivamente em $\;D\;$ e em $\;E\;$
4. Como $\;DE \parallel BC, \;\; D\hat{H}B =H\hat{B}F= D\hat{B}H\;$ e, em consequência, $\;DB=DH. \;$
   Do mesmo modo, $\;E\hat{H}C= H\hat{C}G = E\hat{C}H \;$ e, em consequência, $\;EC=EH\;$ e
   DE= DH+HE =DB+EC
   Finalmente, já que $\;B, \;E\;$ e $\;D, \;C\;$ são vértices de paralelogramos, então $\;EG=DB, \;DF=EC \;$ e, em consequência, $\;DE= DF+EG.\;\;\;\; $ □

Completam a ilustração, vários elementos que relacionam este problema de construção com o da anterior entrada. Fica assim apresentada uma nova resolução em que $\;H\;$ é olhado como o pé da bissetriz de $\;\hat{A}\;$ no triângulo $\;[ADE].\;$