Transporte de um ângulo: passos da construção: economia, método e razão. Existência.

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A construção da entrada de 16 de Janeiro de 2014, intitulada
Com compasso e régua euclidianos, transferir distâncias
cria o conceito correspondente ao compasso actual, ao demonstrar que com circunferências (definidas por um ponto e um intervalo) e as retas (definidas por dois pontos) se podem transferir distâncias (segmentos), isto é construir um segmento congruente a outro. Este conceito de compasso, correspondente a uma série de operações com retas e circunferências, passa a ser usado em futuras construções.
A proposição I.23 dos "Elementos" trata da transferência de um ângulo. Pode enunciar-se: Dados um segmento $\,[AB]\;$ e um ângulo de vértice $\;D,\;$ e lados $\; DC, \; DE\;$ ou $\; \angle CDE\;$, construir um ângulo $\;\angle BAH\;$ congruente com $\;\angle CDE\;$
Habitualmente segue-se o esquema:

1. $\;(D,\;r)\;$ e $\;(A, \; r)\;$ congruentes ($\;r\;$ qualquer)
   • $\;(D,\;r). \dot{D}C = {E}\;$
     
   • $\;(D,\;r). \dot{D}E = {F}\;$
     
   • $\;(A, \;r). \dot{A}B = {G}\;$
2. $\;(G,\;EF)\;$
   • $\;(G,\;EF). (A,\;r|) = {\ldots, \;H}\;$
3. $\;AH\;$
   • $\; AG =AH= DE=DF\;$ e
     $\; EF=GH\;$ -- cordas iguais correspondentes a arcos iguais de circunferências iguais (congruentes). $$\;(LLL) \rightarrow [GAH]=[EDF]\;$$ $$\angle BAH = \angle GAH = \angle EDF = \angle CDE$$

Resumindo: a transferência pedida exige quatro traçados: três circunferências (compasso novo) e uma reta (régua).


A construção que pode fazer a seguir com as ferramentas euclidianas (únicas fornecidas) segue o raciocínio que apresentámos e que se resume a transferir distâncias, como deve ter observado. Se não quiser fazer a construção, pode seguir as etapas da construção (baseadas no esquema descrito na entrada citada acima) fazendo variar os valores de $\; \fbox{n=i},\; i=1, 2, \ldots, \;6\; $

@geometrias, 7 abril 2016, Criado com GeoGebra

Sigamos os passos da construção, deslocando o cursor n. Procuramos determinar um ponto $\;H: \; \angle BAH = \angle CDE,\;$ usando só a circunferência e a reta, e a partir dos cinco pontos $\;A,\;B,\;C,\;D,\;E.$

1. Partindo dos cinco pontos $\; A,\; B,\;C, \; D,\; E,\;$ começamos por transferir $\;AB\;$ para $\;\dot{D}C\;$ e $\;\dot{D}E\;$ a partir de $\;D\;$
   1. $(D,DA), \; (A, AD)$
      • (D,DA). (A, AD) --> P : ADP é um triângulo equilátero
   2. $\;(A,\;AB)\;$ e $\;AP\;$
      • $\;(A,\;AB).AP \rightarrow Q \;$ sendo $\;AQ= AB\;$
   3. $\;(P, PQ=PA+AQ)\;$ e $\;PD\;$
      • $\;(P, PQ=PA+AQ) . PD\; \rightarrow R$, sendo $\;PR=PD+DR =PQ=PA+AQ,\;$ é $\;DR=AB\;$
2. 1. $\;(D, \;DR)=(D, \;AB)\;$ e $\;DE, \; DC\;$
      • $\;(D, \;AB) . DC \rightarrow F \;$ sendo $\;DF=AB\;$
      • $\;(D, \;AB) . DE \rightarrow G \;$ sendo $\;DG=AB\;$
3. Já temos $\;DCF=DEG= AB.\;$ Procuramos $\;H: \; BH=FG\;$ o que é o mesmo que transferir $\;FG\;$ para uma reta a passar e começando em $\;B\;$
   1. $\;(F, \;FB)\;$ e $\,(B, \;BF)\;$
      • $\;(F, \;FB) . (B, \;BF) \rightarrow S$
      • $\;BF=FS=SB \;$
   2. $\;(F, \;FG)\; $ e $\;SF\;$
      • $\;(F, \;FG) . \;SF \rightarrow T\;$ sendo $\;FT=FG\;$
   3. $\; (S, \; ST)\;$ e $\;SB\;$
   • $\; (S, \; ST) . SB \rightarrow U\;$ sendo $\;ST=SF+FT=SF+FG= SB+FG\;$ e $\;SU= SB+BU.\;$ E, em consequência, $\;BU=FG\;$ já que $\;ST=SU\;$
   4. $\;(A, \;AB)\;$ e $\;(B, \;BU)\;$
      • $\;(A, \;AB) . (B, \;BU) \rightarrow H\;$ sendo $\;BH=BU=FG\;$
      • E assim temos os ângulos $\;\angle BAH = \angle FDG =\angle CDE. \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ □
   
   Comparando o trabalho feito com o compasso novo com este trabalho que recorre só ao compasso euclidiano, compreendemos um pouco melhor a genialidade na organização do estudo por Euclids, na construção de cada conceito (proposição-- problema de construção--, como prova de existência também de novas ferramentas). A partir de pontos, retas e circunferências a geometria de uma imensidão de construtíveis integrados… é um jogo que podemos jogar solitariamente, mas que partilhamos com prazer.
   

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   1. EUCLID’S ELEMENTS OF GEOMETRY The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) from Euclidis Elementa, edidit et Latine interpretatus est I.L. Heiberg, in aedibus B.G. Teubneri, 1883–1885 edited, and provided with a modern English translation, by Richard Fitzpatrick
      
   2. David Joyce. Euclide's Elements
   3. George E. Martins. Geometric Constructions Springer.ew York; 1997
   4. Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2002
   5. Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry Jones and Bartlett Publishers, Boston: 1991.

Construir um paralelogramo de que se conhecem as diagonais e um lado

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Problema:
Construir um paralelogramo $\;[ABCD]\;$ de que conhecemos os comprimentos de um dos seus lados $\;a=AB\;$ e das suas diagonais $\; d_1=AC, \; d_2= BD.$

Um paralelogramo tem os lados opostos paralelos e de comprimentos iguais: $$\;AB\parallel CD \wedge AB=CD; \; BC\parallel DA \wedge BC=DA\;$$ e cada uma das suas diagonais encontra a outra no seu ponto médio, ou seja, há um ponto
$$\;M : \;\;\;\;AM = MC = \frac{d_1}{2},\;\;\; BM = MD = \frac{d_2}{2}\;$$

Pode seguir os passos da construção, fazendo variar o valor de $\;n\;$ no seletor ao fundo da janela.

@geometrias, 21 março 2016, Criado com GeoGebra

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Temos dados bastantes para construir um triângulo $\;[AMB]\;$ de lados $\;a=AB, \;\frac{d_1}{2}=AM, \; \frac{d_2}{2}=BM.\;\;\;\;\;$ E a partir dele, tudo se retira:
$\;\left(M,\;\frac{d_1}{2}, \right).AM \rightarrow C, \;\;\;\left(M,\;\frac{d_2}{2}\right).BM \rightarrow D\;$ □