Resolver um problema de construção, usando análise e síntese (6)

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Problema:
Construir um quadrilátero convexo de que conhecem os comprimentos dos quatro lados e a amplitude do ângulo formado por dois lados não consecutivos.

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Th. Caronnet, Exércices de Géométrie. 2^ème livre- La Circonférence. Vuibert. Paris:1947

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Para obter a solução por construção, temos de fazer a análise do problema a partir do problema como se ele estivesse resolvido.
Análise do problema:
Com o problema resolvido, teríamos um trapézio $\;[ABCD]\;$ de lados $\;AB=a, \;BC=b, \; CD=c,\;DA=d, \;$ e sendo $\;\alpha\;$ o ângulo formado pelas duas retas $\;AB\;$ e $\;CD\;$. Uma paralela a $\;AB\;$ tirada por $\;D\;$ fará com $\;DC \;$ um ângulo de amplitude $\;\alpha\;$. Se tomarmos $\;E\;$ para o lado de $\;B\;$ sobre essa paralela a $\;AB\;$ tirada por $\;D\;$ de tal modo que $\;DE=AB\;$, $\;[ADEB]\;$ é um paralelogramo
A construção (sintética, a seguir) é sugerida pelas relações descobertas na análise do problema resolvido. Pode segui-la fazendo variar os valores de $\;n\;$ no cursor $\;\fbox{n=1,..., 6}.\;$

© geometrias, 3 de Julho de 2014, Criado com GeoGebra

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1. A análise feita, sugere-nos que o quadrilátero $\;[ABCD]\;$ requerido se pode reconstruir a partir de um triângulo $\;[CDE]\;$ sendo $\;C\hat{D}E = \alpha, \; CD=c,\; DE=a.\;$
2. Começamos por tomar um ponto $\;C\;$ qualquer no plano.
   E tomamos para $\;D\;$ um ponto qualquer da circunferência de raio $\;c\;$ e centro em $\;C\;$
3. Tomamos $\;DC\;$ para lado de um ângulo de amplitude $\;\alpha\;$, e construímos outro lado a partir de $\;D\;$. Marcamos $\;E\;$ sobre esse segundo lado à distância $\;a\;$ de $\;D\;$
4. $\;B\;$ estará na interseção das circunferências $\; (C, \;b)\;$ e $\;(E,\;d)\;$
5. A paralela a $\;DE\;$ tirada por $\;B\;$ interseta a paralela a $\;BE\;$ tirada por $\;D\;$ no ponto $\;A\;$
6. O quadrilátero $\;[ABCD]\;$ assim obtido satisfaz as condições requeridas no enunciado do problema. □

Variando os comprimentos dos lados, constatará que o problema nem sempre tem solução.

Resolver um problema de construção usando análise e síntese (5)

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Problema:     Construir um trapézio de que se conhecem os quatro lados

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Th. Caronnet, Exércices de Géométrie. 2_ème livre- La Circonférence. Vuibert. Paris:1947

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Para obter a solução por construção, temos de fazer a análise do problema a partir do problema como se ele estivesse resolvido.
Análise do problema:
Suponhamos o problema resolvido: Teríamos um trapézio $\;[ABCD]\;$ que tem por lados $\;AB=a, \;BC=b, \; CD=c, \; DA=d, \;$ sendo $\;AB \;$ a base maior e $\;CD\;$ a base menor do trapézio. Tirando por $\;C\;$ uma paralela a $\;DA\;$, ela corta $\;AB\;$ em $\;E.\;$ Do triângulo $\;[BCE]\;$ conhecemos os comprimentos dos seus três lados: $\;EB=AB-AE=a-c, \;BC=b, \; EC=AD=d\;$.
A construção (sintética, a seguir) é sugerida pelas relações descobertas na análise. Pode segui-la fazendo variar os valores de $\;n\;$ no cursor $\;\fbox{n=1,..., 8}.\;$

© geometrias, 2 de Julho de 2014, Criado com GeoGebra

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1. A análise feita, diz-nos que um triângulo de lados $\;b, \;d, \;|a-c|\;$ é parte do trapézio que pode ser construída e a partir do qual se pode construir um trapézio com os lados dados.
2. Começamos por tomar um ponto $\;B\;$ qualquer
3. O ponto $\;C\;$ pode ser um ponto qualquer da circunferência de raio $\;b\;$ e centro em $\;B\;$
4. Relativamente a esses $\;B\;$ e $\;C\;$, o ponto $\;E\;$ referido na análise do problema é um dos pontos da interseção da circunferência de centro $\;B\;$ e raio igual a $\;|a-c|\;$ (diferença das bases do trapézio) com a circunferência de centro $\;C\;$ e raio $\;d.\;$
5. Temos um triângulo $\;[BCE]\;$, a partir do qual se pode construir o trapézio.
   O que falta para termos o trapézio que procuramos resume-se a obter os dois vértices do paralelogramo de $\;[AECD]\;$ de que conhecemos $\;CE=d =AD, \;CE \parallel AD, \; AE=c=CD, \;AE \parallel CD.\;$
6. $\; A \in BE.(B, \;a)\;$
7. A paralela a $\;CE\;$ tirada por $\;A\;$ interseta a paralela a $\;BE\;$ tirada por $\;C\;$ no ponto $\;D\;$.
8. E, finalmente, podemos apresentar o polígono $\;[ABCDE]\;$ que é o trapézio requerido. □

A existência de solução do problema está ligada às condições de existência do triângulo $\;[BCE]\;$, a saber
$\;|a-c| < b+d, b<|a-c|+d, d<|a-c|+b \;$ que é o mesmo que $\;|b-d|< |a-c| < b+d . \;$
No caso dos dados originalmente apresentados, consideramos$\;c < a\;$ e portanto $\;|a-c|=a-c\;$, isto é, que $\;a\;$ e $\;c\;$ são respetivamente a base maior e a base menor do trapézio.