Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (16)

Problema: Por um ponto dado tirar uma reta a intersetar uma dada circunferência em pontos tais que as suas distâncias a uma reta dada têm uma dada soma.

A construção abaixo ilustra a resolução do problema proposto

1. Dados (a azul): um segmento $\;s\;$, um ponto $\; P\;$, uma circunferência e centro $\;O\;$ e uma reta $\;a\;$
2. Tomemos uma reta que passe por $\;P\;$ e corte a circunferência $\;(O)\;$ em $\;A\;$ e $\;B\;$. Na nossa figura, traçamos ainda as distâncias $\;AA'\;$ de $\;A\;$ a $\;a\;$ e $\;BB'\;$ de $\;B\;$ a $\;a\;$
   Como veremos, a resolução do nosso problema resume-se a encontrar o ponto médio da corda definida pela reta a passar por $\;P\;$
   
   

   © geometrias, 2 de Abril de 2014, Criado com GeoGebra

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3. Os pontos $\;A, \;B\;$, colineares com $\;P\;$ que satisfazem o problema são tais que $\;AA'+BB'= s\;$ e para o ponto médio $\;M\;$ de $\;AB\;$ será então $\;2\times MM' =s\;$
   Ou seja o ponto médio de $\;AB\;$ requerido estará à distância conhecida $\displaystyle \frac{s}{2}$ da reta $\;a\;$: retas $\;a', \;a''\;$ (2º lugar geométrico da lista )
4. As retas tiradas por $\;P\;$ que cortam a circunferência $\;(O)\;$ estão entre as retas $\;PT_1\;$ e $\;PT_2\;$ determinando cordas cujos pontos médios estão sobre a circunferência de diâmetro $\;PO\;$. Uma delas contém o diâmetro e $\;O\hat{M}P\;$ é reto ou, como sabemos, $\;OM\;$ é mediatriz da corda $\;AB\;$ de $\;(O)\;$. A existirem soluções para o problema, cada uma delas fica determinada pela construção do ponto médio da corda.
5. O ponto médio da corda $\;AB\;$ determinada por uma reta a passar por $\;P\;$ tal que $\;AA'+BB'= s\;$ é obtido como a interseção do arco $\;T_1T_2\;$ da circunferência de diâmetro $\;PO\;$ com a reta $\;a'\;$ ou $\;a''\;$ (2º lugar geométrico da lista). Uma das soluções do problema, no caso da nossa construção, é a reta $\;PM\;$. Outra solução será $\;PN\;$

Podemos variar o comprimento $\;s\;$ e as posições de $\;P\;$, $\;a\;$ e $\;(O)\;$, verificar as condições de existência de soluções (0, 1 ou 2).

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (15)

Problema: De um quadrilátero $\;ABCD\;$, inscritível numa circunferência, conhecemos um vértice $\;A$, a amplitude do ângulo $\;\angle Â\;$ e os comprimentos de um dos lados adjacentes ao ângulo $\;AB\;$ e das diagonais $\;AC, \;BD$.    Determinar os restantes vértices $\;B, \;C, \;D\;$ desse quadrilátero.

A construção abaixo ilustra a resolução do problema proposto

1. Dados (a azul): um ângulo $\;\alpha\;$ de amplitude igual à do ângulo $\; \angle BÂD\;$ um segmento $\;A_0B_0\;$ de comprimento igual ao lado $\;AB\;$; um segmento $\;A_0C_0\;$ de comprimento igual à diagonal $\;AC\;$; um segmento $\;B_0D_0\;$ de comprimento igual à diagonal $\;BD\;$
2. O vértice $\;B\;$ é um dos pontos que está à distância $\;A_0B_0\;$ do vértice $\;A\;$ (1º lugar geométrico da lista). Tomemos um ponto sobre a circunferência $\;(A, \;A_0B_0)\;$ e designemo-lo por $\;B\;$.
   
   

   © geometrias, 28 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

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3. Os pontos $\;B, \;A\;$ definem a reta $\;AB\;$ e podemos construir o ângulo de vértice $\;A\;$ e lados $\;AB, \;AD\;$
   O ponto $\;D\;$ está no segundo lado do ângulo $\;\angle \alpha\;$ e à distância $\;B_0D_0\;$ de $\;B\;$, ou seja, na interseção da circunferência $\;(B, \;B_0D_0)\;$ com o segundo lado do ângulo $\;\angle BÂD\;$
4. Há um só ponto equidistante dos pontos $\;A, \;B, \;D\;$ (interseção das mediatrizes dos segmentos $\;AB\;$ e $\;BD\;$ - 3º lugar geométrico da lista) e por isso há uma única circunferência a passar por $\;A, \;B, \;D\;$ - 1º lugar geométrico da lista dos pontos equidistantes a um dado ponto.
   Assim, sendo inscritível o quadrilátero terá os seus quatro vértices sobre a circunferência determinada por $\;A, \;B, \;D\;$, a castanho na figura.
   $\;C\;$ está à distância $\;A_0C_0\;$ de $\;A\;$, ou seja na circunferência $\;(A, \;A_0C_0)\;$ (1º lugar geométrico da lista)
   No caso da nossa figura, $\;C\;$ é um dos dois pontos de interseção das circunferências $\;(A, \;B, \;D)\;$ e $\;(A, \;A_0C_0)\;$

Podemos variar a amplitude $\;\alpha\;$ e os comprimentos $\;A_0B_0\;$ $\;A_0C_0\;$ e $\;B_0D_0\;$