10.8.14

Resolver problema de construção usando rotações (análise e síntese)


Problema: Inscrever num paralelogramo dado $\;[ABCD]\;$, um retângulo $\;[EFGH]\;$ cujas diagonais $\;EG,\;FH\;$ formam um ângulo $\; \angle EÔF=\alpha\;$ dado.

Este problema foi considerado no livrinho de A. Lôbo Vilela, Métodos Geométricos para ilustrar o particular método das transformações e o geral método da análise do problema.
Consideremos as retas dos lados do paralelogramo dado $\;a=AB, \;b=BC, \;c=CD, \;d=DA,\;$ E considerem-se conhecidas as propriedades dos paralelogramos relativas aos lados, ângulos, diagonais, centro,...
As diagonais de um paralelogramo bissetam-se. Chamamos $\;O\;$ ao ponto de interseção das diagonais do paralelogramo $\;AC.BD\;$ e as diagonais de qualquer retângulo nele inscrito intersetam-se no mesmo ponto.
Considerando o problema resolvido temos um retângulo $\;[EFGH]\;$ inscrito em $\;[ABCD], \;$, sendo $\; E\;$ um ponto sobre $\;a=AB,\;$ $\;F\;$ sobre $\;b=BC,\;$, $\;G\;$ sobre $\;c=CD,\;$ e $\;H\;$ sobre $\;d=DA.\;$
Sendo $\;O\;$ o centro comum, o ponto $\;F\;$ é a imagem de $\;E\;$ pela rotação de centro $\;O\;$ e ângulo $\;\alpha\;$ - $\;{\cal{R}}_O ^\alpha$. Como a rotação preserva a incidência o ponto $\;E\;$ de $\;a\;$ é transformado pela rotação $\;{\cal{R}}_O ^\alpha\;$ num ponto de $\;a'\;$ e de $\;b$, já que $\;F\;$ é ponto de $\;b\;$.


Os passos da construção podem ser vistos, fazendo variar os valores $\;n\;$ no cursor $\; \fbox{n=1, 2, …, 5}$
  1. Na nossa construção, apresentamos como dados o ângulo $\;\alpha\;$ de amplitude igual ao ângulo das diagonais do retângulo inscrito no paralelogramo $\;[ABCD]\;$ de centro $\;O\;$
  2. $\fbox{n=2}:\;$ Tomamos as retas que contêm os lados do paralelogramo dado
  3. $\fbox{n=3}:\;$ A análise feita acima, dá-nos $\;F\;$ como $\;a'.b\;$, sendo $\;a'= \;{\cal{R}}_O ^\alpha\;(a).\;$ Conhecido $\;F,\;$ determinamos $\;E\;$ como $\;\;{\cal{R}}_O ^{-\alpha}\;(F)\;$

  4. © geometrias, 9 de Agosto de 2014, Criado com GeoGebra


  5. $\fbox{n=4}:\;\;$ $\;E, \;F\;$ são vértices consecutivos do retângulo, cujas diagonais iguais se bissetam em $\;O\;$. Por isso, os restantes vértices são obtidos por transformação de meia volta de centro $\;O\;$:
    $$\begin{matrix} &{\cal{R}}(O, \pi)&&\\ E&\mapsto & G : & \mbox{ou} \quad \{G\} = EO.CD\\ F&\mapsto & H: & \mbox{ou}\quad \{H\} = FO.DA \\ \end{matrix}$$
  6. $\fbox{n=5}:\;\;$ As diagonais $\;EG\;$ e $\;FH\;$ são diâmetros da circunferência de rotação em que afinal se inscreve o retângulo.
    $H\hat{E}F= E\hat{F}G =F\hat{G}H =G\hat{H}E = \frac{\pi}{2}$ inscritos em semicircunferências.
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