Resolver problema de construção usando lugar geométrico e uma translação

Problema:
De uma dada posição $\;P\;$, observam-se dois pontos assinalados $\;A,\;B\;$ segundo um dado ângulo $\;B\hat{P}A=\alpha\;$ e, depois de percorrer uma dada distância numa dada direção $\;UV\;$, na posição $\;Q\;$ observam-se os pontos assinalados $\;A, \;B\;$ segundo um dado ãngulo $\;B\hat{Q}A= \beta\;$.
Determinar as posições $\;P, \;Q\;$ em que foram feitas as observações.

A construção a seguir ilustra a resolução do problema.

© geometrias, 29 de Abril de 2014, Criado com GeoGebra

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Deslocando o cursor $\fbox{n=1, ..., 5}$  (direita ao fundo) pode ver os passos da resolução.

1. São dados dois ângulos $\;\alpha, \;\beta\;$ e um segmento $\;UV\;$ ou $\;u\;$, e os dois pontos $\;A, \;B\;$ observados segundo os ângulos dados antes e depois de percorrer, numa direção paralela, uma distância igual a $\;UV\;$
2. O lugar geométrico dos pontos $\;P$ tais que $\;B\hat{P}A = \alpha\;$ é constituído por 2 arcos (abertos) congruentes para os quais $\;AB\;$ é corda comum um em cada semi-plano dos determinado pela reta $AB$. Na nossa construção tomamos um dos semi-planos definidos por $\;AB\;$ e o arco a verde nesse semi-plano. Do mesmo modo, se determina e se escolhe o arco capaz do ângulo $\;B\hat{Q}A=\beta\;$, a castanho na figura.
3. Na nossa resolução, usando o método da entrada anterior, aplicamos uma translação segundo o vetor $\overrightarrow{UV}$ ao arco verde $\;(O_1)$, obtendo um arco verde (a tracejado na figura).
   Esta arco interseta o arco castanho $\;(O_2)\;$ num ponto que designamos por $\;N_2$. É, por isso, um dos pontos $\;Q\;$, ou seja, $\;\angle B\hat{N_2}A = \beta$.
4. O ponto $N_1$ a que corresponde $N_2$ pela translação $\;{\cal{T}}_{\overrightarrow{u}}\;$ tal que $\;N_1 N_2 =UV$ é um ponto do arco verde $\;(O_1)\;$ original, ou seja, $\;\angle B\hat{N_1}A =\alpha$.
5. Os pontos $N_1$ e $N_2$ são posições de observação pedidas no problema como fica bem ilustrado com a marcação dos ângulos segundo os quais são vistos os pontos assinalados

Este problema é exemplo interessante por ser apresentado com enunciados diversos para vários contextos, propiciar estudo e discussão sobre existência de soluções e mobilizar lugares geométricos e transformações geométricas na sua resolução.

Resolver problema de construção usando a translação

Problema:
Determinar um semento de reta igual e paralelo a um segmento de reta dado que cada um dos seus extremo esteja sobre cada uma de duas circunferências dadas.

A construção a seguir ilustra a resolução do problema.

© geometrias, 28 de Abril de 2014, Criado com GeoGebra

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Clicando sobre o botão Resolução (direita ao fundo) pode ver a resolução.

1. São dadas duas circunferências, $(A)$ e $(B)$, e um segmento $UV$.
2. Na nossa resolução, escolhemos aplicar uma translação segundo o vetor $\overrightarrow{UV}$ à circunferência $(A)$. $$\begin{matrix} &{\cal{T}} _ \overrightarrow{UV}& & \\ (A)&\longrightarrow& (A') & \;\;\;\; \overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{UV} \end{matrix} $$
3. A circunferência $(A')$ interseta $(B)$ em dois pontos, designamo-los por $K'$ e $L'$ que são extremos dos segmentos $KK'$ e $LL'$, em que $$\begin{matrix} &{\cal{T}} _ \overrightarrow{UV}& &\\ (A)&\longrightarrow& (A') &\;\;\;\; \overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{UV}\\ K&\longmapsto&K'&\;\;\;\; K\in (A)\; \wedge \;K'\in (A').(B)\; \wedge \; \overrightarrow{KK'}=\overrightarrow{UV}\\ L&\longmapsto&L'&\;\;\;\; L\in (A)\; \wedge \; L'\in (A').(B)\; \wedge\; \overrightarrow{LL'}=\overrightarrow{UV} \end{matrix} $$
4. Os segmentos $KK'$ e $LL'$ são soluções do problema

Resolver um problema de construção usando uma meia volta

Problema: Determinar a reta que, passando por um dos pontos de interseção de duas circunferências dadas, nestas determina duas cordas iguais.

A construção a seguir ilustra a resolução do problema.

© geometrias, 27 de Abril de 2014, Criado com GeoGebra

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Clicando sobre o botão Resolução (direita ao fundo) pode ver a resolução.

1. As duas circunferências dadas, $(A)$ e $(B)$, intersetam-se em dois pontos, correspondendo às condições da hipótese do problema.
2. Escolhemos um pontos de interseção $I$, no caso da nossa resolução e a transformação de meia volta nele centrada. A transformada de uma das circunferências dadas, $(A)$ na nossa resolução, é uma circunferência $(A')$ que interseta a circunferência no ponto $I$, centro da meia volta e fixo para ela, e num outro ponto $J$.
3. A reta $IJ$ é solução do problema

Há outras soluções, claro. Podíamos ter tomado para centro da meia volta o outro ponto de interseção das circunferências dadas. A mais óbvia e imediata solução seria a reta que passa pelos pontos de interseção das circunferências dadas.

Resolver um problema de construção usando uma translação

Problema:
Determinar uma reta de direção dada que determina cordas iguais em duas circunferências $(O_1)$ e $(O_2)$ dadas.

A construção a seguir ilustra a resolução do problema.

© geometrias, 23 de Abril de 2014, Criado com GeoGebra

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Clicando sobre o botão Resolução (direita ao fundo) pode ver a resolução:

1. A translação transforma uma circunferência numa outra circunferência congruente à primeira, sendo que cada corda da primeira é transformada em corda da segunda, de igual comprimento.
2. Para resolver o problema apresentado, bastará efetuar a translação de uma das circunferências segundo um vetor com a direção dada:
   • Tirem-se por $\;O_1\;$ e $\;O_2\;$ perpendiculares à direção dada e logo uma paralela por $\;O_1\;$ (podia ser por $\;O_2\;$) que interseta a perpendicular que passa por $\;O_2\;$ em $\;E\;$. E tome-se o vetor $\;\;\overrightarrow{O_1E}\;$ para vetor da translação.
   • A circunferência $\;(E)\;$ é a imagem de $\;(O_1)\;$ pela translação $\;\;\displaystyle \cal{T}_{\overrightarrow{O_1E}}\;$ , no caso da nossa figura
3. Podia não haver solução, mas na direção dada e n o caso da nossa figura, $\;(E).(O_2) ={F,G}\;$ sendo $\;FG\;$ uma corda comum às duas circunferências $\;(E), (O_2)$. $\;\;FG$ é imagem de uma corda $\;F'G'\;$ de $\;O_1\;$ por $\;\displaystyle \cal{T}_{\overrightarrow{O_1E}}$

Claro que pode não haver solução. Pode deslocar os dados azuis, direção e circunferências, para ver o que se passa em diversas situações.

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (17c)

Problema: Determinar um ponto a partir do qual se veem segundo ângulos iguais três segmentos $\;AB\;$, $\;BC\;$ e $\;CD\;$ sobre uma dada reta $\;a$

A construção abaixo ilustra a resolução do problema proposto que usa os lugares geométricos e os processos já descritos, em detalhe, nas entradas anteriores.

1. Dados (a azul): uma reta $\;a\;$ e quatro pontos $\;A, \;B, \;C, \;D\;$ sobre ela. O ângulo $\;\alpha\;$ é apresentado com vértice em $\;A\;$ sendo $\;a\;$ um dos lados e o outro uma reta tracejada a verde que passa por $\;A\;$ e por um ponto verde.
2. Usando o 5º lugar geométrico da lista, para um dado ângulo $\;\alpha$, começamos por determinar os conjuntos dos pontos $P$ tais que
   • $\;A\hat{P}B = \alpha\;$ (constituído por dois arcos de circunferências congruentes de extremos em $\;A, \;B\;$)
   • $\;B\hat{P}C = \alpha\;$ (constituído por dois arcos de circunferências congruentes de extremos em $\;B, \;C\;$)
   • $\;C\hat{P}D = \alpha\;$ (constituído por dois arcos de circunferências congruentes de extremos em $\;C, \;D\;$)




© geometrias, 8 de Abril de 2014, Criado com GeoGebra

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3. Comecemos por olhar para os segmentos $\;AB\;$ e $\;BC\;$, tomamos o triângulo $\;AKC\;$, sendo $\;K\;$ um ponto de interseção do lugar geométrico dos pontos $\;P\;$ para os quais $A\hat{P}B= \alpha\;$ com o lugar geométrico dos pontos $P$ tais que $B\hat{P}C= \alpha\;$. Assim $\;K\;$ é um ponto tal que o triângulo $\;AKC\;$ tem por bissetriz $\;KB\;$ e a circunferência de Apolónio relativa a $\;AKC\;$ cujos extremos do diâmetro são os pés das bissetrizes de $\;A\hat{K}C\;$ é o lugar geométrico dos pontos $\;K, \;K'\;$ quando $\alpha\;$ toma valores entre $\;0\;$ e $\;\displaystyle\frac{\pi}{2}\;$
   $\;K, \;K'\;$ simétricos relativamente a $\;a\;$
4. Para os segmentos $\;BC\;$ e $\;CD\;$, de modo análogo, tomamos o triângulo $\;BHD\;$ e o ângulo $\;B\hat{H}D$ que é bissetado por $\;HC\;$
   A circunferência de Apolónio para o o triângulo $\;BHD\;$ é o lugar geométrico dos pontos $\;H, \;H´\;$ para os quais $\;B\hat{H}C= C\hat{H}D= \alpha\;$ quando $\;\alpha\;$ toma valores entre $\;0\;$ e $\;\displaystyle\frac{\pi}{2}\;$
   $\;H, \;H'\;$ simétricos relativamente a $\;a\;$
5. Dos pontos de interseção das duas circunferências de Apolónio construídas, $\;R, \;S\;$, vimos $\;AB, \;BC, \;CD\;$ segundo um mesmo ângulo que não depende da amplitude de $\;\alpha\;$ mas só das posições de $\;A, \;B, \;C., D\;$.
   

Pode variar o ângulo $\;\alpha\;$ e as posições de $\;A\;$, $\;B\;$, $\;C\;$ e $\;D\;$. Faça isso.

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (17b)

Problema: Determinar o lugar geométrico dos pontos a partir dos quais se veem segundo ângulos iguais dois segmentos $\;AB\;$ e $\;CD\;$ sobre uma dada reta $\;a$

A construção abaixo ilustra a resolução do problema proposto, passo a passo.

1. Dados (a azul): uma reta $\;a\;$ e quatro pontos $\;A, \;B, \;C, \;D\;$ sobre ela.
2. Usando o 5º lugar geométrico da lista, para um dado ângulo $\;\alpha$, começamos por determinar os conjuntos dos pontos $P$ tais que
   • $\;A\hat{P}B = \alpha\;$ (constituído por dois arcos de circunferências congruentes de extremos em $\;A, \;B\;$)
   • $\;C\hat{P}D = \alpha\;$ (constituído por dois arcos de circunferências congruentes de extremos em $\;C, \;D\;$)
   
   
   

   © geometrias, 6 de Abril de 2014, Criado com GeoGebra

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3. O ponto $\;H\;$ (ou qualquer um dos outros pontos de interseção dos dois pares de arcos capazes determinados) é um ponto a partir do qual se tiram retas para $\;A\;$ e $\;B\;$ por um lado, e para $\;C\;$ e $\;D\;$ por outro, tais que $\;A\hat{H}B = C\hat{H}D =\alpha\;$
4. Consideremos agora o triângulo $\;AHD\;$, e o ângulo $\;A\hat{H}D$
   Considerando as bissetrizes desse ângulo: uma interna $\;HI\;$ outra externa $\;HE\;$ em que $\;I\;$ e $\;E\;$ são os pés dessas bissetrizes sobre $\;a= AB=CD=AD\;$
   Sabemos que
   $\;A\hat{H}I =;I\hat{H}D$ e
   $\;A\hat{H}B + B\hat{H}I=I\hat{H}C+C\hat{H}D$, temos $\;B\hat{H}I=I\hat{H}C\;$ ou seja $\;HI\;$ é bissetriz interna de $\;B\hat{H}C\;$ e $\;HE\;$ bissetriz externa do mesmo ângulo
5. Fixados $\;A,\;B,\;C, \;D$, o círculo de diâmetro $\;IE\;$ - círculo de Apolónio do triângulo $\;AHD\;$ ou do triângulo $\;BHC$, mantém-se o mesmo para todos as amplitudes $\;\alpha\;$ ou para todos pontos $\;H\;$.
   Pode verificar isso, movendo o ponto verde da reta tracejada a verde que é o mesmo que fazer variar as amplitudes $;\alpha\;$ e observando que deslocando $\;H\;$ este percorre a circunferência de diâmetro fixo $\;IE\;$ que se mantém a mesma, já que $\;(A,D;I,E) =-1\;$.
6. Assim, o lugar geométrico dos pontos $\;P\;$ tais que $\;A\hat{P}B = C\hat{P}D\;$ é a circunferência de Apolónio relativa a um triângulo $\;B\hat{H}C\;$ de que $\;HI\;$ é a bissetriz interna.

Podemos variar o ângulo $\;\alpha\;$ e as posições de $\;A\;$, $\;B\;$, $\;C\;$ e $\;D\;$

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (16)

Problema: Por um ponto dado tirar uma reta a intersetar uma dada circunferência em pontos tais que as suas distâncias a uma reta dada têm uma dada soma.

A construção abaixo ilustra a resolução do problema proposto

1. Dados (a azul): um segmento $\;s\;$, um ponto $\; P\;$, uma circunferência e centro $\;O\;$ e uma reta $\;a\;$
2. Tomemos uma reta que passe por $\;P\;$ e corte a circunferência $\;(O)\;$ em $\;A\;$ e $\;B\;$. Na nossa figura, traçamos ainda as distâncias $\;AA'\;$ de $\;A\;$ a $\;a\;$ e $\;BB'\;$ de $\;B\;$ a $\;a\;$
   Como veremos, a resolução do nosso problema resume-se a encontrar o ponto médio da corda definida pela reta a passar por $\;P\;$
   
   

   © geometrias, 2 de Abril de 2014, Criado com GeoGebra

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3. Os pontos $\;A, \;B\;$, colineares com $\;P\;$ que satisfazem o problema são tais que $\;AA'+BB'= s\;$ e para o ponto médio $\;M\;$ de $\;AB\;$ será então $\;2\times MM' =s\;$
   Ou seja o ponto médio de $\;AB\;$ requerido estará à distância conhecida $\displaystyle \frac{s}{2}$ da reta $\;a\;$: retas $\;a', \;a''\;$ (2º lugar geométrico da lista )
4. As retas tiradas por $\;P\;$ que cortam a circunferência $\;(O)\;$ estão entre as retas $\;PT_1\;$ e $\;PT_2\;$ determinando cordas cujos pontos médios estão sobre a circunferência de diâmetro $\;PO\;$. Uma delas contém o diâmetro e $\;O\hat{M}P\;$ é reto ou, como sabemos, $\;OM\;$ é mediatriz da corda $\;AB\;$ de $\;(O)\;$. A existirem soluções para o problema, cada uma delas fica determinada pela construção do ponto médio da corda.
5. O ponto médio da corda $\;AB\;$ determinada por uma reta a passar por $\;P\;$ tal que $\;AA'+BB'= s\;$ é obtido como a interseção do arco $\;T_1T_2\;$ da circunferência de diâmetro $\;PO\;$ com a reta $\;a'\;$ ou $\;a''\;$ (2º lugar geométrico da lista). Uma das soluções do problema, no caso da nossa construção, é a reta $\;PM\;$. Outra solução será $\;PN\;$

Podemos variar o comprimento $\;s\;$ e as posições de $\;P\;$, $\;a\;$ e $\;(O)\;$, verificar as condições de existência de soluções (0, 1 ou 2).