Prova-se que a soma das áreas dos três círculos assim obtidos não depende da posição desse ponto na superfície esférica.
adaptado de
Théorème. 30. On donne une sphère et un point fixe P; par ce point on mène trois plans rectangulaires deux à deux et qui déterminent trois cercles; prouver que la somme de ces trois cercles est constante. F.G.-M., Exércices de Géométrie…. 6ème éd., J. de Gigord. Paris:1920, (http://gallica.fr)-
Pode acompanhar as etapas de construção dos planos e dos cortes da esfera deslocando o cursor \;\fbox{n=1, ..., 6}.\;
28 abril 2018, Criado com GeoGebra5
\;\fbox{n=2}\; Apresenta-se o plano vermelho, primeiro de três planos perpendiculares dois a dois que passam por \;P.\; Também é apresentado o segmento da perpendicular a esse plano tirada por \;O, \;a saber \;[OA]\; cujo comprimento \;a \leq r\; representa a distância de \;O\; ao plano vermelho e ao círculo vermelho secção da esfera por ele cortada. Sendo do plano vermelho, \;A\; é ponto médio de qualquer diâmetro do círculo vermelho, já que \;OA\; é perpendicular a todas as retas do plano e, assim \;A\; é o centro do círculo vermelho de centro \;A\; e raio \;\overline{PA}=r_1 \leq r.\;
Em cima, aparece o valor aproximado da área do círculo vermelho calculado: \; \pi \times r_1^2\;
\;\fbox{n=3}\; Oculta-se o plano vermelho e mostra-se o plano verde perpendicular ao vermelho e o respectivo círculo verde ambos a passar por \;P:\;
mais o segmento da perpendicular ao plano verde - \;OB\; de comprimento \;b \leq r\; distância de \;O\; ao plano verde e círculo verde de centro \;B\; e raio \; PB = r_2 \leq r \;
em cima, aparece o valor aproximado da área calculada do círculo verde: \; \pi \times r_2^2.\;
\;\fbox{n=4}\; Oculta-se o plano verde e mostra-se o plano azul perpendicular ao plano verde e ao plano azul e o respectivo círculo azul,ambos a passar por \;P\;
mais o segmento da perpendicular ao plano azul - \;OD\; de comprimento \;d \leq r\; que é a distância de \;O\; aos plano e círculo azul de centro \;D\; e raio \;PD=r_3 \leq r.\;
em cima, aparece o valor aproximado da área calculada do círculo azul: \; \pi \times r_3^2.\;
\;\fbox{n=5}\; Oculta-se o plano azul. Os três círculos nas condições da hipótese do teorema estão apresentados.
\;\fbox{n=6}\; Nesta etapa, ocultamos os círculos e mantemos todos os segmentos cujos comprimentos interessam para a demonstração que já foram sendo construídos e são dependentes (ou não) da posição de \;P\;.
- \;OP\; não depende da posição de \;P\; na superfície da esfera dada de centro \;O\; e raio \;r.\;
\overline{OP}= r - Na figura mostra-se o paralelipípedo de diagonal \;OP\; e dimensões \;\overline{OA}=a, \;\overline{OB}=b, \overline{OD}=d,\; que variam com a posição de \;P\; e, por isso, \overline{OP}^2 = \overline{OA}^2 + \overline{OB}^2+ \overline{OD}^2 \;\;\mbox{ou}\;\; r^2= a^2 + b^2+d^2
- Os raios dos círculos \;r_1 =\overline{PA}, \;r_2 = \overline{PB}, \;r_3 = \overline{PC}\; são diagonais respetivamente dos rectângulos \; b \times d, \;d\times a, \; a \times b \; e por isso, r_1^2=b^2+d^2, \; r_2^2= d^2+a^2, \; r_3^2= a^2+b^2\;
- Finalmente,sobre a soma das áreas dos círculos podemos escrever o seguinte
\pi \times r_1^2 + \pi \times r_2^2 + \pi \times r_3^2 = \pi \times \left(r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 \right) =
= \pi \times \left( b^2+d^2 + d^2+ a^2+ a^2+b^2 \right) = 2\pi \times \left(a^2+b^2+d^2\right)=2\pi r^2
Fica assim provado que, por ser igual a \;2\pi r^2,\; a soma das áreas não depende da posição de \;P\; na superfície esférica dada.
\;\;\;\;\;\blacksquare
O valor aproximado da soma das áreas dos três círculos é calculado e mostrado acima. Pode deslocar o ponto \;P\; na superficie esférica para ver que essa soma não depende da posição de \;P\;
