29.4.18

3D: Círculos como cortes de uma esfera por planos perpendiculares concorrentes num ponto da superfície esférica.

Teorema: Tomemos três planos perpendiculares dois a dois, que concorrem num ponto da superfície de uma esfera dada. As intersecções dos três planos com a esfera são três círculos que passam pelo ponto comum à esfera e aos planos.
Prova-se que a soma das áreas dos três círculos assim obtidos não depende da posição desse ponto na superfície esférica.


adaptado de
Théorème. 30. On donne une sphère et un point fixe P; par ce point on mène trois plans rectangulaires deux à deux et qui déterminent trois cercles; prouver que la somme de ces trois cercles est constante. F.G.-M., Exércices de Géométrie…. 6ème éd., J. de Gigord. Paris:1920, (http://gallica.fr)-

Pode acompanhar as etapas de construção dos planos e dos cortes da esfera deslocando o cursor $\;\fbox{n=1, ..., 6}.\;$

28 abril 2018, Criado com GeoGebra5

$\;\fbox{n=1}\;$ Apresenta-se uma esfera de centro em $\;O\;$ e raio $\;r,\;$ (igual a 2 no caso da nossa ilustração. E também se mostra o ponto $\;P\;$ da superfície da esfera (que pode tomar qualquer posição dessa região).Claro que também se apresenta segmento de reta $\;[OP]\;$ de comprimento $\;\overline{OP}=r.\;$
$\;\fbox{n=2}\;$ Apresenta-se o plano vermelho, primeiro de três planos perpendiculares dois a dois que passam por $\;P.\;$ Também é apresentado o segmento da perpendicular a esse plano tirada por $\;O, \;$a saber $\;[OA]\;$ cujo comprimento $\;a \leq r\;$ representa a distância de $\;O\;$ ao plano vermelho e ao círculo vermelho secção da esfera por ele cortada. Sendo do plano vermelho, $\;A\;$ é ponto médio de qualquer diâmetro do círculo vermelho, já que $\;OA\;$ é perpendicular a todas as retas do plano e, assim $\;A\;$ é o centro do círculo vermelho de centro $\;A\;$ e raio $\;\overline{PA}=r_1 \leq r.\;$
Em cima, aparece o valor aproximado da área do círculo vermelho calculado: $\; \pi \times r_1^2\;$
$\;\fbox{n=3}\;$ Oculta-se o plano vermelho e mostra-se o plano verde perpendicular ao vermelho e o respectivo círculo verde ambos a passar por $\;P:\;$
mais o segmento da perpendicular ao plano verde - $\;OB\;$ de comprimento $\;b \leq r\;$ distância de $\;O\;$ ao plano verde e círculo verde de centro $\;B\;$ e raio $\; PB = r_2 \leq r \;$
em cima, aparece o valor aproximado da área calculada do círculo verde: $\; \pi \times r_2^2.\;$
$\;\fbox{n=4}\;$ Oculta-se o plano verde e mostra-se o plano azul perpendicular ao plano verde e ao plano azul e o respectivo círculo azul,ambos a passar por $\;P\;$
mais o segmento da perpendicular ao plano azul - $\;OD\;$ de comprimento $\;d \leq r\;$ que é a distância de $\;O\;$ aos plano e círculo azul de centro $\;D\;$ e raio $\;PD=r_3 \leq r.\;$
em cima, aparece o valor aproximado da área calculada do círculo azul: $\; \pi \times r_3^2.\;$
$\;\fbox{n=5}\;$ Oculta-se o plano azul. Os três círculos nas condições da hipótese do teorema estão apresentados.
$\;\fbox{n=6}\;$ Nesta etapa, ocultamos os círculos e mantemos todos os segmentos cujos comprimentos interessam para a demonstração que já foram sendo construídos e são dependentes (ou não) da posição de $\;P\;$.
  • $\;OP\;$ não depende da posição de $\;P\;$ na superfície da esfera dada de centro $\;O\;$ e raio $\;r.\;$
    $$\overline{OP}= r$$
  • Na figura mostra-se o paralelipípedo de diagonal $\;OP\;$ e dimensões $\;\overline{OA}=a, \;\overline{OB}=b, \overline{OD}=d,\;$ que variam com a posição de $\;P\;$ e, por isso, $$\overline{OP}^2 = \overline{OA}^2 + \overline{OB}^2+ \overline{OD}^2 \;\;\mbox{ou}\;\; r^2= a^2 + b^2+d^2$$
  • Os raios dos círculos $\;r_1 =\overline{PA}, \;r_2 = \overline{PB}, \;r_3 = \overline{PC}\;$ são diagonais respetivamente dos rectângulos $\; b \times d, \;d\times a, \; a \times b \;$ e por isso, $$r_1^2=b^2+d^2, \; r_2^2= d^2+a^2, \; r_3^2= a^2+b^2\;$$
  • Finalmente,sobre a soma das áreas dos círculos podemos escrever o seguinte $$\pi \times r_1^2 + \pi \times r_2^2 + \pi \times r_3^2 = \pi \times \left(r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 \right) = $$ $$= \pi \times \left( b^2+d^2 + d^2+ a^2+ a^2+b^2 \right) = 2\pi \times \left(a^2+b^2+d^2\right)=2\pi r^2$$ Fica assim provado que, por ser igual a $\;2\pi r^2,\;$ a soma das áreas não depende da posição de $\;P\;$ na superfície esférica dada. $\;\;\;\;\;\blacksquare$
    O valor aproximado da soma das áreas dos três círculos é calculado e mostrado acima. Pode deslocar o ponto $\;P\;$ na superficie esférica para ver que essa soma não depende da posição de $\;P\;$
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