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27.8.17

Dividir um triângulo em duas partes equivalentes sendo uma delas um triângulo rectângulo

Dividir um triângulo em duas partes equivalentes por uma perpendicular a um lDO
Dividir um triângulo em duas partes equivalentes
por uma perpendicular a um dos seus lados

Apresentamos a seguir uma construção dinâmica a ilustrar que para qualquer triângulo e um dos seus lados há uma perpendicular a esse lado que o divide em dois polígonos equivalentes

O enunciado do problema desta entrada é:
Dado um triângulo acutângulo ABC determinar uma perpendicular a BC,por exemplo, que divide ABC em duas partes iguais em área.

Pode seguir as etapas da nossa construção e notas de demonstração usando a barra de navegação para passos da construção ao fundo do rectângulo de visualização
  1. Apresenta-se inicialmente um triângulo ABC.
    • Sabemos que, das perpendiculares a BC, a altura AD divide o triângulo ABC em duas partes.
      Quando e só quando D é o ponto médio de BC, ABD é equivalente a ACD e o segmento de reta que procuramos é a altura AD
    • Quando a área de ABD é maior que a área de BAD, a reta perpendicular que procuramos é paralela à altura e há-de cortar os lados AB e BC. Designemos por A′ e D′ esses pontos de intersecção que definem a reta perpendicular a BC que divide em duas partes equivalentes o triângulo [ABC]=[A′BD′]∪[AA′D′C]∧Área de [A′BD′]=Área de [AA′D′C]
      Como determinamos D′?
    • Quando a área de ABD é menor que a área de ADC, a reta perpendicular que procuramos é paralela à altura e há-de cortar os lados AC e BC. Designemos por A′ e D′ esses pontos de intersecção que definem a reta perpendicular a BC que divide em duas partes equivalentes o triângulo [ABC]=[A′CD′]∪[D′A′AB]∧Área de [A′D′C]=Área de [D′A′AB]
      Para este caso, a determinação de D′ segue os mesmos passos.

    2. 26 agosto 2017, Criado com GeoGebra

  2. Na figura agora apresentada, estão visíveis todos os elementos construtíveis auxiliares para a determinação da perpendicular A′D′ tal que [ABC]=[A′BD′]∪[AA′D′C]∧Área de [A′BD′]=Área de [AA′D′C]. Se se verificam as condições de divisão de ABC em duas partes equivalentes, então Área de[ABC]=2×Área de[A′BD′]ouÁrea de[A′BD′]=12Área de[ABC] que é o mesmo que dizer BD′×A′D′2=12×BC×AD2 e, tomando o ponto M médio de BC, que é tal que BM=BC2, podemos escrever Área de[A′BD′]=BD′×A′D′2=12(BM×DA) A condição para a posição de A′D′ pode assim resumir-se a BD′×A′D′=BM×DAouBD′BM=DAD′A′ Como A′D′ e AD são perpendiculares à mesma BC, os triângulos ABD e A′BD′ são retângulos com um ângulo comum ˆB. DAD′A′=BDBD′ E podemos assim escrever BD′BM=BDB′D′ouBD′2=BM×BD o que nos determina a posição de D′ sobre BC. Na nossa construção optámos por considerar a potência do ponto B relativa à circunferência de diâmetro MD e como o segmento da tangente a esse círculo tirada por B é tal que BT2=BM×BD sendo T o ponto de tangência, D′ determina-se como um ponto de intersecção [BC]∩(B,BT)
  3. Realçam-se o triângulo A′BD′ de área igual a metade da área de ABC e o equivalente quadrilátero AA′D′C ambos azulados.
  4. Quando passa para a etapa 4 na barra de navegação dos passos de construção, verá o mesmo que viu na etapa anterior a menos que coloque A numa posição para a qual a área de ABD seja menor que a área de CAD. Deslocando A para o lado de B passará pelo caso em que AD divide ABC em dois triângulos iguais e finalmente para o caso em que uma perpendicular a BC divide ABC em duas partes equivalentes: CA′D′ e ABD′A′ esverdeadas.
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Cluzel, R.; Robert, J-P. La Géometrie et ses applications. (Enseignement Technique) Librairie Delagrave. Paris: 1964
Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie -quatrième livre: Les Aires 4. éd.,Librairie Vuibert. Paris:1947
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21.8.17

Dividir um quadrilátero em duas partes equivalentes por uma reta a passar por um vértice

Determinar a reta que passa por um dos vértices de um quadrilátero e o divide em dois polígonos equivalentes
Dividir um quadrilátero em duas partes equivalentes por uma reta a passar por um vértice

Apresentamos a seguir uma construção dinâmica a ilustrar que para qualquer quadrilátero há uma reta a passar por um vértice que o divide em dois polígonos equivalentes

O enunciado do problema desta entrada é:
Dado um quadrilátero ABCD determinar uma reta a passar, por exemplo, por D, que divide ABCD em duas partes iguais em área.

Pode seguir os passos da nossa construção e notas de demonstração usando a barra de navegação para passos da construção ao fundo do rectângulo de visualização
  1. Apresenta-se inicialmente um quadrilátero ABCD.
    • Sabemos que, das retas tiradas por D, a diagonal DB divide o quadrilátero ABCD em duas partes.
      Quando ABD é equivalente a BCD o segmento de reta que procuramos é BD
    • Quando a área de ABD é maior que a área de BCD, a reta que procuramos há-de cortar o segmento AB. Designemos por E o ponto de AB para o qual DE divide em duas partes equivalentes o quadrilátero [ABCD]=[AED]∪[BCDE]∧Área de [AED]=Área de [BCDE]
      Como determinamos E?
    • Quando a área de ABD é menor que a área de BCD, o segmento da reta que procuramos há-de ter para segundo extremo um ponto F de BC. para o qual DF divide em duas partes equivalentes o quadrilátero [ABCD]=[ABFD]∪[FCD]∧Área de [ABFD]=Área de [FCD]
      Como determinamos F?

    2. 21 agosto 2017, Criado com GeoGebra

  2. O quadrilátero ABCD com os vértices nas posições apresentadas inicialmente é tal que Área de[ABD]>Área de[BCD] e é, por isso, necessário cortar alguma parte ao [ABD]. E, de acordo com o enunciado, D deve ser um extremo do segmento de reta que corta ABD e divide o quadrilátero em duas partes iguais. Se chamarmos E ao outro extremo do segmento, terá de ser [AED] equivalente a [BCDE].
    Como se vê na figura, tomámos as seguintes retas AB,DB, uma paralela a DB tirada por C que interseta AB em C′ e finalmente a reta DC′.
    Como é óbvio, os triângulos DBC e DBC′ têm uma base DB comum e os vértices C,C′ opostos a DB sobre uma paralela a ela. São, por isso, iguais em área. Assim, Área de[DEBC]=Área de[DEB]+Área de[BCD]=Área de[DEB]+Área de[BC′D]=Área de[DEC′]. Como DE deve ser tal que Área de[DEBC]=Área de[AED], pelo que vimos há pouco Área de[DEBC]=Área de[DEC′] e, em consequência, Área de[AED]=Área de[DEC′] o que, para ser verdade, como a distância de D a AB é a altura comum aos dois triângulos de bases AE,EC′ que têm de ser equivalentes, então E tem de ser o ponto médio de AC′. Ficamos a saber os passos do processo de determinação de E que com D define a reta que corta o quadrilátero em duas partes equivalentes.
  3. No passo 3, precisamos que o leitor desloque, por exemplo C, para uma posição tal que Área de [ABD]<Área de [ABD] em que teremos de procurar/apresentar um ponto F de BC tal que DF divide o quadrilátero ABCD em duas partes equivalentes. O processo é inteiramente análogo ao anterior.
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Cluzel, R.; Robert, J-P. La Géometrie et ses applications. (Enseignement Technique) Librairie Delagrave. Paris: 1964
Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie -quatrième livre: Les Aires 4. éd.,Librairie Vuibert. Paris:1947
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17.8.17

Dados os paralelogramos ABDE e ACFG sobre os lados AB e AC de um triângulo ABC, determinar um paralelogramo BCKL cuja área seja igual à soma das áreas dos outros dois.

Dados os paralelogramos ABDE e ACFG sobre os lados AB e AC de um triângulo ABC, determinar um paralelogramo BCKL cuja área seja igual à soma dos outros dois.
Trilátero abc e áreas de paralelogramos construídos sobre a, b, c exteriormente

Apresentamos a seguir uma construção dinâmica a ilustrar que há um paralelogramo em que um dos lados é BC equivalente à soma de dois paralelogramos construídos sobre os lados AB e AC exteriormente ao triângulo ABC

O enunciado do problema desta entrada é:
Construir (e demonstrar) que dado um triângulo ABC qualquer e dois paralelogramos cada um sobre um de dois dos seus lados, por exemplo AB e AC, construídos exteriormente ao triângulo dado, construir um paralelogramo sobre o terceiro lado BC cuja área seja igual à soma das áreas dos primeiros dois paralelogramos.

Pode seguir os passos da nossa construção e notas de demonstração usando a barra de navegação para passos da construção ao fundo do rectângulo de visualização
  1. Apresenta-se inicialmente um triângulo ABC qualquer (A,B,C livres no plano da construção)
  2. Sobre AB aparece construído um paralelogramos ABDE em que D é um ponto qualquer no exterior de ABC e no semiplano determinado por AB sem pontos interiores de ABC. O quarto ponto E do paralelogramo é a interseção da paralela a BD tirada por A com a paralela a AB tirada por D
  3. De modo análogo se construíu o paralelogramo ACFG em que F tem graus de liberdade num semiplano para o exterior de ABC dos determinados por AC.

    4. 17 agosto 2017, Criado com GeoGebra

  4. A construção do paralelogramo BCKL que é tal que Área de[BCKL]=Área de[ABDE]+Área de[ACFG] apoia-se exclusivamente na Proposição XXXV. PROB. do LIVRO I de “Os Elementos”: Os paralelogramos que estão sobre a mesma base, e entre as mesmas paralelas, são iguais.
    • Como as retas AB e AC se intersetam em A também as suas paralelas a AB tirada por D e a AC tirada por F se interseta, denominemos por H o ponto DE.FG
    • E se considerarmos os paralelogramos ABB′H e ACC′H(BB′∥CC′∥AH, pela proposição referida acima, verificam-se as equivalências: [ABDE]≃[ABB′H] e [ACFG]≃[ACC′H].
    • Repare-se que estes paralelogramos têm em comum um lado AH com os mesmos comprimento e direção de BB′ e CC′
    • Se tomarmos as retas BB′ e CC′ paralelas a AH podemos considerar novos paralelogramos entre a reta AH (que é a mesma que MN em que M é AH.BC e MN=AH) por um lado e por outro BL, ou CK. Assim, recorrendo à Prop. XXXV, sabemos que [ABB′H]≃[BLNM] e [ACC′H]≃[CKNM].
    • Ora [BLNM]∪[CKNM]=[BCKL], que é um paralelogramo, e consideradas as equivalências confirmadas, em consequência Área de[BCKL]=Área de[ABDE]+Área de[ACFG].
  5. Finalmente realçam-se os segmentos que são os lados dos diferentes paralelogramos auxiliares das demonstração e construção do paralelogramo BCKL cuja área é igual à soma das áreas dos paralelogramos ABDE e ACFG. □

Cluzel, R.; Robert, J-P. La Géometrie et ses applications. (Enseignement Technique) Librairie Delagrave. Paris: 1964
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11.8.17

Crescente equivalente a um triângulo

Crescente equivalente a um triângulo.
Um Crescente é equivalente a um triângulo

Apresentamos a seguir uma construção dinâmica a ilustrar a equivalência de um triângulo a um Crescente limitado por dois arcos circulares.

O enunciado do problema desta entrada é:
Demonstrar que um Crescente Vermelho (entre dois arcos) na figura é igual em área a um triângulo.

Para além da superfície que estudamos, apresentam-se inicialmente retas, segmentos e arcos que ajudam a compreender a construção e permitem determinar a sua área da superfície em estudo ou a compará-la com outras áreas. Na construção deve recorrer à barra de navegação para passos da construção e seguir etapas da construção e os raciocínios até à demonstração (acompanhados de fórmulas que não escondem o uso dos axiomas da igualdade em geral e neste caso de igualdade entre áreas)
  1. Apresenta-se inicialmente uma circunferência de centro O e diâmetro AB e a mediatriz de AB que intersecta a circunferência em C,D.

    2. 11 agosto 2017, Criado com GeoGebra

  2. A seguir mostra-se a circunferência de centro em D e raio DA:.
    Como CD é a mediatriz de AB, sabemos que AD=BD; e, como AB é diâmetro de (O,OA) e D∈(O,OA), o triângulo ABD é rectângulo em D. Por isso, AB2=2AD2. Claro que também podíamos ter usado o facto de ODA ser triângulo rectângulo em O para concluir que AD2=2OA2
  3. O semicírculo de centro O e raio OA que designamos por ^ACB¯BA, neste passo evidenciado, tem área π×OA22=π×2.OA24=π×AD24
  4. Chamamos Crescente ao que sobra do semicírculo vermelho após retirarmos o segmento circular ^AB¯BA do círculo (D,DA).
  5. O segmento circular referido tem área igual à área do que sobra do sector circular D^AB (quarto do círculo) π×AD24 depois de lhe retirarmos o triângulo ABD rectângulo em D de área AD22
    6. Por um lado a área do Crescente é igual à área do semicírculo de centro O e raio OA π×AD24 subtraída da área do segmento que é, como vimos, π×AD24−AD22 ou seja, Área do Crescente=π×AD24−(π×AD24−AD22)=AD22=Área do triânguloABD como queríamos demonstrar.

Cluzel, R.; Robert, J-P. La Géometrie et ses applications. (Enseignement Technique) Librairie Delagrave. Paris: 1964
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4.8.17

Uma superfície limitada por três arcos circulares equivalente a um quadrado.

Uma superfície limitada por três arcos circulares equivalente a um quadrado.
Uma superfície de gumes circulares equivalente a um quadrado

Apresentamos a seguir uma construção dinâmica a ilustrar a equivalência de um quadrado a uma superfície limitada por arcos de circunferências.
Tomamos um quadrado ABCD e uma das diagonais, por exemplo, BD e consideremos o arco BD de centro em A e os arcos BGA - de diâmetro AB, centro E - e AGD - de igual diâmetro DA, e centro em F. Estes três arcos circulares limitam uma superfície (a vermelho na figura abaixo)
O enunciado do problema desta entrada é:
Demonstrar que a superfície a vermelho na figura é igual em área a um quadrado de lado AB2 (um quarto do quadrado ABCD).

Nota Daqui para a frente, por exemplo, estamos a usar E,^AGB para designar o semicírculo de diâmetro AB ou (A,^BD) o arco de centro A de extremos B,D (quarto de circunferência na figura). Para além da superfície que estudamos, apresentam-se inicialmente retas, segmentos e arcos que ajuda a compreender a construção e permitem determinar a sua área da superfície em estudo ou a compará-la com outras áreas. Partimos dos seguintes dados:
  • ABCD são vértices de um quadrado;
  • As diagonais BD e AC são perpendiculares e bissectam-se.
  • O arco ^BD é um quarto da circunferência de raio igual ao lado do quadrado ABCD. O quarto do círculo correspondente tem área π×AB24
  • Os arcos ^AGB e ^AGD das circunferências de diâmetros AB e AD são semicircunferências iguais. A área de cada um doss semicírculos correspondentes às semicircunferências é π×(AB2)22=π×AB28, metade da área do quarto de círculo de raio AB.

3 agosto 2017, Criado com GeoGebra

  • Por isso Área de(E,^AGD)+Área de(F,^AGB)=Área de(A,^AB), (A,^AB)∖(F,^AGB)=(E,^AGD) Também sabemos que (F,^AG)=(F,^GD)=(E,^AG)=(E,^GB). Basta agora olhar para (F,^AGA); no lugar de (E,^BGB) para vermos que o semicírculo de centro em E e raio AB2=AE=EB=EG é assim composto: (E,^GAG)∪(E,^BGB)∪Δ[BGA] de conjuntos disjuntos igual à metade do quarto de círculo que contém toda a superfície vermelha acrescentada de um triângulo de base AB e respectiva altura EG cuja área é AB×EG2=(AB×AB2)2=(AB2)2 de um quadrado de lado igual a metade do lado do quadrado ABCD.

      • Usando o botão [mover peças], verá que a nossa superfície vermelha é equivalente à parte do círculo (A,AB) entre a corda [AB] e o arco ^AB e que esta é igual em área ao quadrado de vértices A,G opostos que também se pode ver quando a animação é concluída.

      Cluzel, R.; Robert, J-P. La Géometrie et ses applications. (Enseignement Technique) Librairie Delagrave. Paris: 1964
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